让“逆”在数学解题中充分体现

陈天红

摘要：逆向解题思维是数学解题思维中的一种重要思维模式，它是在解题探索中，从对立统一的角度把握数学知识的内在联系，能克服在解决数学问题时出现的思维定势、方法刻板等现象，利于解题的敏捷性和灵活性、广阔性和深刻性、独立性和创造性，是体现数学解题与实践应用的良好过渡.在提高逆向思维能力的过程中，从逆向解决简单的练习巩固入手，逐步形成较为完整的逆向解题思维体系。

关键词：数学解题；逆向思维；培养

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）24-0231-02

逆向思维是指根据一种观念（概念、原理、思想）、方法及研究对象的特点，从它的相反或否定的方面去进行思考，以产生新的观念.在数学解题中，通常是从已知条件到结论的思维方式，然而，有部分数学问题若按照顺向思维方式则是比较困难的，而且常常伴随较大的运算量，有时甚至无法解决.在这种情况下，只要我们多注意思维的逆向性，正难则反，常会使问题简化，收到令人满意的效果。

1.在数学解题中培养逆向思维的重要性

在学习和研究数学的过程中，有机地、适当地注意从所考虑的数学问题的相反方面或否定方面进行思考，从对立统一的角度把握数学知识的内在联系，有利于澄清对某些数学概念的模糊认识，更深刻、更透彻地理解教材，巩固所学知识，并能克服在解决数学问题时出现的思维定势、方法刻板等现象，从而大大地培养了解决数学问题的能力。

1.1打破思维定势的局面。由于逆向思维的特点主要表现在：善于从不同的立场，不同的角度，不同的层次和不同的侧面去进行探索，当某一思路受阻碍时，能够迅速地转移到另一种思路上去，从而使问题得到顺利解决.因而，它就打破了人们长期学习过程中，解决由此及彼的单一训练思维模式，从而改变了学生知识上的缺陷和思维过程中单向定势的顽固习惯.因此，逆向思维对数学解题能力的影响主要表现在以下几个方面。

1.1.1有利于解题的敏捷性和灵活性。通常在解决数学问题时不能一次找到正确的解题思路，需要及时、灵活地进行思维转换、再次探索，而逆向思维则正是以其逆向性和双向性来探索问题，这样就可以形成从多角度去研究问题的情境，那么解决问题的速度就自然提高，时间也因而缩短，这就恰当地反映了思维的敏捷性和灵活性.反之，如果长久坚持一种习惯了的、有迷惑力的、然而确实也是错误的单一思维模式，就会浪费精力、贻误时间，并且加剧思维的迟钝.同时，还应注意逆向思维解题要涉及一系列定理、公式、规律性例题的逆运用，正难则反，常常会使问题得到简化，经常性地注意这方面的训练对人们用简单问题去解决复杂问题可是很有启发。

1.1.2有利于解题的广阔性和深刻性。我们知道思维的逆向是建立在比较好的正向思维基础上，它是一般、简单思维的拓展和加深，有利于沟通知识内部之间的联系，是形成良好知识系统的重要工具.比如：逆向思维可以将一个知识点否定，去考虑与之相反的知识点所涉及的问题，因而它就不只是涉及解原问题，还包括了解与原问题相关的系列问题，在此揭露了逆向思维有利于解题的广阔性和深刻性。

具体地，解题的广阔性是指能从众多的知识领域和多方面的题型出发来解决问题，是思路开阔而全面的表现.逆向解完一道题后，再考虑解该题的基本特征与特殊因素，进行多角度的观察、联想、找到更多的思维通路，领会更多逆向思维的妙处，这是有助于培养解题的广阔性。

而解题的深刻性则表现在能透过表面现象和外部联系，揭露题目的本质，进而深入的考虑问题.逆向解完一道题后，反思题目特征，加深对题目的本质领悟，抓住逆向思维在解决问题中的可逆之处，从而获得一系列的逆向解题思路成果，这也正培养了人们解题的深刻性。

1.1.3有利于解题的独立性和创造性。逆向解题思维是相对于习惯思维而言的，也就是从事物的相反方向来考虑问题的思维方法，它常常与事物常理相悖，起到出奇不意的效果.因此，在独创性解题思维中，逆向思维可是最活跃的部分。

解题的独立性是指在解题过程中独立思考、独立检查，有根据地作出肯定或否定质疑的品质.逆向解一道题时，要认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并，哪些过程又可以转换，解题中的"逆"是否合情合理.显而易见，逆向思维是培养解题独立性的良好途径。

而解题的创造性是指在解题过程中，能以独特的心理操作方式来展开解题思维，是其解题成果新颖、与众不同的品质.逆向解题时，思考此题要求的结论，能否从其它的角度重新审视题目，得出更加简捷优美的解法，因而逆向思考有助于培养解题的创造性。

1.2体现知识"质"的飞跃。在解题意识上，如果怀着为了解题而解题的观点就失去了素质教育的意义.创新教育呼唤数学知识应用于实践、应用于生活，而利用逆向思维解题，利于人们把解决此类型题目的思维应用于生活，或许这就是人们在生活实践中的一种必要思维了.因而不仅表现了数学题飞出了课本，连解题思想、解题方法也飞出了课本。

如这样一个题：小远买了1角钱的邮票和2角钱的邮票共100张，一共花了17元钱，问他买了1角和2角邮票各多少张？解决此问题时，先假设买来的100张全是2角的邮票，那么总钱数应为2×100=200（角）=20（元）.可实际上小远只花了17元钱，比假设少了3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票.若有一张1角的邮票，总钱数就少了1角.由此可求出1角邮票张数为3（元）=30（角），30÷1=30（张）.则2角邮票张数为：100-30=70（张）。

因而用逆向思维来解决生活中的问题是简单而且必要的.实际上，逆向思维就是一种求异思维，正确运用逆向思维不仅是解题本身的需要，也间接表露出生活实践的需要.

2.如何培养在解题中的逆向思维能力

对逆向思维的培养首先要体会逆向思维解题的重要性，当然并非正向思维就是一种陈旧的思维形式，逆向思维是建立在正向思维的基础之上的，它离不开正向常规思维，我们要重视正向思维的训练，与此同时加强逆向思维的训练，克服思维定势，要认识到这是实在的与数学解题有着密切联系的思维形式。

其次，培养逆向思维要重视互逆概念的比较，互逆公式的使用，加强分析法、反证法等重要方法的训练，并且还有如运算与逆运算、函数与反函数、分析与综合、顺证与反证等都为逆向思维的培养提供了丰富的材料，以利于揭示逆向思维的解题规律。

2.1在概念中渗透逆向思维。在学习数学概念的过程中，要注重相关概念对应的逆向问题，以培养双向考虑问题的习惯.在数学教材中，很多概念都可以提出逆向问题，譬如乘法公式、分母有理化等，注意对这些重要概念逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透切，更能培养学生养成逆向考虑问题的好习惯。

有时还可以针对某些概念举出逆向运用的简单例子，让学生们独立的、自觉的去探索这些简单问题的解法，让他们在概念逆运用的过程中有逆向解题这么一个意识.这样在遇到一些难度较大、而正面解决又比较困难的数学问题时，就会自然的改变思考角度，从反面入手试试，这样或许会出现柳暗花明的境地。

2.2在公式、定理、法则中渗透逆向思维。公式、定理、法则的运用有正向的，也有逆向的，人们往往对正向运用比较熟悉，错误较少，而对其逆运用常不习惯，错误较多，并容易形成消极的思维定势.为了解决这个问题，要求在刚开始学习公式、定理、法则时就引起高度重视，并还要从最简单的公式、定理、法则的逆运用开始。

在学习公式过程中应注意公式的顺用与逆用，以及公式的"聚合"与"展开".学了某一公式的顺用之后，紧接着举一些该公式逆用的例子，可以给学生一个完整的印象.如学会用公式a2=|a|解题后，应练习用|a|=a2解题的相应例子，这对培养解题逆向思维很有益处.关于公式的"聚合"与"展开"，我们知道有的公式从左到右是"展开"，如（a±b）2=a2±2ab+b2，而有的从左到右是"聚合"，如a2±2ab+b2=（a±b）2.我们不仅要求会对"展开"的公式"聚合"，还要求会对"聚合"的公式进行"展开"，并且这两个过程在解决较复杂的数学问题时更需要表现出应用自如.这样可是培养逆向思维能力的有效途径.

当然不是所有定理的逆命题都是正确的，但对于那些可逆定理书中只给了一部分，而另一部分教材中没有直接给出，却在解题中应用到了，如根的判别式的逆定理、韦达定理的逆定理等.因此，引导学生探求定理的逆命题的正确性，不仅能使学生学到的知识更加完备，而且激发了学生逆向思维的培养。

最后在运算法则中也涉及逆向思维，如加法和减法、乘法和除法、乘方和开方等都是一对对互为逆运算，它们彼此相互依存，共同反映某种变化中的数量关系.同时通过这些简单运算法则的逆向运算，加快了逆向思维在解题中的运算速度，增强了在解题中的逆向意识。

2.3在简单的练习巩固中渗透逆向思维。如果一开始在那些较抽象、有一定难度的数学题中应用逆向思维不仅本身有一定难度，对培养逆向思维能力也没有多大的积极作用.这就要求我们从简单的、基本的练习入手应用逆向思维.逆向解题思维的训练是一个持久的过程，需要精心安排练习，题目应由简单到复杂、由单一到多向进行转化.在完成这些练习之后有明显的逆向解题思路，感觉到逆向解题所独有的妙处，在激发学生兴趣的过程中，而有效地训练他们的逆向思维。

3.结论

培养学生的双向思维是创新教育的重要目的，而逆向解题思维则是双向思维的重要组成部分.因此，理解逆向解题思维的重要性势在必行，认识到它是打破消极思维定势的重要工具，能够灵活地将书面知识、数学题库运用于生活实践.在其具体运用多向性上，要求我们找到逆向解题各分类的思维入向口，有很清晰的思维过程.这就涉及到由基本知识入手，由简单练习入手，它不是训练一两题就达到较好效果，需要众多的练习巩固以及长期坚持才能把握逆向解题的思维精华，日益形成一套完整的逆向解题思维系统。