基于非线性滑模面的多PMSM 变结构同步控制

曹玲芝，王 宏，谢晓磊

(郑州轻工业学院，郑州450002)

0 引 言

随着现代工业生产自动化水平的逐步提高和生产规模的逐渐扩大，越来越多的生产领域，如拉拔、纺织、印染、造纸、轧钢等需要多电机的同步控制。在这些领域中多电机的同步控制的好坏，直接影响到生产效率和产品质量［1］。然而多电机的同步性能会受到各传动轴的驱动特性不匹配、负载扰动等因素的影响，因此，多电机的同步控制成为研究的热点和难点［2］。

目前存在的多电机耦合控制方法主要有主从控制、虚拟总轴控制、交叉耦合控制、偏交叉耦合控制和相邻交叉耦合控制［3－6］。其中相邻交叉耦合控制在同步误差控制过程中只考虑相邻两台电机的同步状态，使控制系统得到简化，所以非常适用于数目较多电机的同步控制。本文在相邻交叉耦合控制的基础上把首尾两台电机耦合建立了相邻交叉耦合环形系统。

在多电机的同步控制中，控制算法的好坏直接影响着系统的可靠性和同步精度［7］。常规的PID控制要求控制对象建模要准确，且容易受到外部扰动和内部参数变化的影响，所以很难使控制达到满意的调速或定位性能［8］。滑模变结构控制(SMC)自20 世纪50 年代出现，由于其响应快速、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点，被广泛应用于各种控制系统中［9］。关于滑模变结构控制当滑模面为线性时，在采用饱和函数削弱滑模控制的抖振问题时，存在着控制精度和削弱抖振之间的矛盾［10］，针对这个问题，本文提出了非线性滑模面的变结构控制，运用这种控制方法再采用饱和函数削弱抖振的同时，能够保证控制的精度。

1 永磁同步电机的数学模型

永磁同步电机在忽略铁心饱和、气隙磁场正弦分布、不计涡流和磁滞损耗、转子上没有阻尼绕组、永磁体也没有阻尼作用，且Ld=Lq=La，在d，q 旋转坐标系下建立数学模型:

式中:Ra为定子电阻;ω 为转子旋转的电角度;ψf为永磁体磁通;D 为微分算子，D=d/dt;id，iq为d，q 轴定子电流;ud，uq为d，q 轴定子电压;Ld，Lq为交、直轴电感。

永磁同步电机的转矩方程:

永磁同步电机的运动方程:

式中:p 为极对数;J 为转动惯量;TL为负载转矩。

2 相邻交叉耦合环形系统

相邻交叉耦合控制是针对每一台电机仅考虑它和相邻两台电机的状态误差，例如要对n 台电机进行同步控制，其中的第i 台电机除了要对它相对于设定的参考转速的跟踪误差进行控制，还要控制它和第i－1 台和第i+1 台电机的同步误差。

第i－1，i，i+1 台电机的跟踪误差分别:

式中:ω*为设定的参考转速;e(i－1)(i－1)为第i－1 台电机的跟踪误差;ωi－1为第i－1 台电机的反馈转速;eii为第i 台电机的跟踪误差;ωi为第i 台电机的反馈转速;e(i+1)(i+1)为第i +1 台电机的跟踪误差;ωi+1为第i+1 台电机的反馈转速。第i 台电机和第i－1 台电机的同步误差:

式中:ei(i－1)为第i 台和第i－1 台电机的同步误差。

第i 台电机和第i+1 台电机的同步误差:

式中:ei(i+1)为第i 台和第i+1 台电机的同步误差。

对n 台电机进行同步控制，把第n 台电机和第1 台电机进行耦合，这样对n 台电机的同步耦合控制就形成了一个首尾相连的圆环，从而组成了相邻交叉耦合环形控制系统。

例如4 台电机相邻交叉耦合环形系统的控制框图如图1 所示。

图1 4 台电机的相邻交叉耦合环形同步控制系统

每一台电机有3 个控制器，控制器1 是跟踪误差控制器，控制器2，3 为同步误差控制器，对于第i台电机希望的控制结果是在很短的时间内所有的误差趋于零，即:

3 控制器的设计

3.1 跟踪误差控制的数学模型

取永磁同步电机的状态变量:

式中:ω*为设定的转速;ω 为反馈转速;x1为跟踪误差。

由永磁同步电机的数学模型式(2)、式(3)得:

根据式(8)可把永磁同步电机跟踪误差控制描述为如下形式:

3.2 同步误差控制的数学模型

对于第i－1 台和第i+1 台电机取状态变量:

式中:e1为同步误差。

由永磁同步电机的数学模型式(2)、式(3)得:

根据式(11)可以把多永磁同步电机同步误差控制描述为如下形式:

3.3 控制器的设计

通过比较式(9)和式(12)可以得出跟踪误差控制的状态方程和同步误差控制的状态方程形式相同，因此控制器u1和控制器u2可以相同，可以把式(9)和式(12)统一表示为如下形式:

设计非线性滑模面为如下形式:

此时:

把u 代入到式(16)得:

从式(18)可以得出，当滑模面s 取非线性滑模面式(14)，控制器u 取式(17)时，ss· 在全局内都满足＜0 的到达条件，这样在控制的过程中不会出现超调量，能够提高控制效率。

4 削弱滑模变结构控制的抖振

从式(17)可以看出，控制器u 中含有切换函数sign(s)，为了削弱抖振，常采用饱和函数来代替切换函数，饱和函数的形式如下:

饱和函数有一个边界层厚度δ，边界层厚度越大，削弱抖振的能力越强，但是边界层厚度越大，使最终的状态变量不能收敛到原点，而是收敛到原点的一个邻域内，这样就造成了最终的控制误差［10］。所以用饱和函数削弱抖振，存在着削弱抖振和产生最终控制误差的矛盾。

比如采用线性滑模面如下:

此时结合饱和函数式(19)，让δ=20，得到:

图2 线性滑模面和饱和函数结合结果

从图2 可以看出，当采用饱和函数削弱滑模变结构控制抖振时，状态变量由于边界层厚度的存在而不能收敛到零，而是收敛到零点的一个邻域内，这就造成了最终的控制误差。但是正是因为边界层的存在使控制信号的光滑性变好，而且边界层厚度越大，光滑性越好，削弱抖振的能力越强，所以削弱抖振和保证控制精度之间就存在着矛盾。当采用式(14)的非线性滑模面时，δ=20，此时:

从图3 可以看出，当采用非线性滑模面时，在远离原点处边界层较厚，这有利于削弱抖振，而在原点附近边界层较薄，这有利于保证最终的控制精度，所以采用非线性滑模面和饱和函数结合很好地解决了在削弱抖振和保证控制精度之间的矛盾。

图3 非线性滑模面和饱和函数结合

5 仿真及结果

在MATLAB/Simulink 中构建如图1 所示的基于相邻交叉耦合环形控制的四台永磁同步电机的同步控制系统，对于单台电机采用的控制方法如图4 所示。其中PMSM 模块的参数设定:Ra=2.875 8 Ω，p=4，Ld=Lq=8.5×10－3H，J=8.5×10－3kg·m2。

设定参考转速v=700 r/min。

对单台电机的控制，采用基于电压空间矢量PWM(SVPWM)的id=0 的转速和电流双闭环控制，电流环的控制采用常规的PI 控制，控制框图如图4所示，其中控制器1 为跟踪误差控制器，控制器2、3为同步误差控制器。

图4 单台电机的控制框图

4 台电机都不带负载，跟踪误差控制器1 和同步误差控制器2、3 都采用非线性滑模面变结构控制时稳定后的稳态误差如图5 中的A 线所示;当控制器1、2、3 都采用线性滑模面变结构控制时稳定后的稳态误差如图5 中的B 线所示;当控制器1、2、3 都采用PID 控制时稳定后的稳态误差如图5 中的C 线所示。

图5 稳定时各种转速同步控制方法的稳态误差比较

从图5 可以看出，在不带负载的情况下采用基于非线性滑模面的滑模变结构控制的控制精度最高。PID 控制的控制精度最差。

在0.03 s 时四台电机的参考转速由原来的650 r/min 变为700 r/min。在0.05 s 时对电机2 加入负载1.5 N·m 作为外部干扰，采用三种控制方法的仿真结果如图6 所示。

从图6 可以看出，非线性滑模变结构控制在改变负载后同步精度最高，抖振最弱。把图6 中非线性滑模变结构控制和PID 控制的0.05 ～0.058 s 放大，如图7 所示。

图6 三种控制方法在改变转速和负载的情况下仿真结果

图7 带负载时PID 控制和非线性滑模面滑模变结构控制转速同步稳态比较

电机2 的负载改变时，根据图1 可以看出，电机1 和电机3 的所处状态相同，所以在图7 中电机1和电机3 的转速线完全重合。在图7 中可以看出，在采用基于非线性滑模面的滑模变结构同步控制时在0.05 ～0.054 s 中四台电机的速度相差最小，并且在0.054 s 后依然是基于非线性滑模面的滑模变结构同步控制的同步性能最好。

6 结 语

通过分析和仿真得出滑模变结构控制的滑模面为非线性时，采用饱和函数在削弱抖振的同时能够较好地保证同步控制精度，这就解决了线性滑模面和饱和函数结合时保证控制精度和减弱抖振之间的矛盾。通过基于相邻交叉耦合环形系统对四台电机同步控制的仿真，以及和线性滑模面变结构控制、PID 控制的比较得出，非线性滑模面变结构控制的同步精度最高、抖振最弱，且控制的鲁棒性能最强。

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