关于二维连续型随机变量中的积分计算问题

陈向阳

摘 要：本文主要讨论了概率论中二维连续型随机变量分布的积分计算问题，并给出了求解此类积分的步骤与简单实用的方法。

关键词：二维随机变量;重积分;计算

一、引言

概率论中积分的计算是学生深感头疼的问题。对于一维连续型随机变量分布的积分基本没问题，但对于二维连续型随机变量的分布，很多学生就不知所措了。因此，本文对概率论中二维连续型随机变量中重积分的计算进行归纳整理，得出简单实用的计算方法。

二、二维连续型随机变量中积分的计算

1.二维连续型随机变量中概率的计算

命题1：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），D为xoy平面上的区域，则（X，Y）落入D内的概率为P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的关键在于二重积分的计算。事实上，只需三步即可准确无误地计算出结果，第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形，第二步，画出平面区域D与上述非零区域的公共部分区域;第三步，根据公共部分区域的形状定出x，y的积分限计算二次积分即可。

例1：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00   其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形（第一象限整个区域）;第二步，画出区域D：Y≤X的图形与f（x，y）的非零区域的公共部分区域（第一象限的角平分线下方部分区域），第三步，根据其为X型区域，分别定出x，y的积分限为{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二维连续型随机变量中边缘概率密度的计算

命题2：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则X和Y作为一维连续型随机变量，其边缘概率密度分别为fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

计算边缘概率密度的关键是计算上述积分，下面以例子来说明积分方法和步骤。

例2：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=4.8y（2-x） 0≤x≤1，x≤y≤10    其他

求边缘概率密度fX（x），fY（y）。

第一步，画出f（x，y）的非零区域（第一象限的上三角形区域）;第二步，定积分限，作与积分变量相同的坐标轴（分别是x轴和y轴）的平行线去穿过上述非零区域，找出穿入点（分别为x和0）和穿出点（分别为1和y）即为积分的下限和上限。从而有fX（x）=■f（x，y）dy=■4.8y（2-x）dy 0≤x≤10      其他

=2.4（2-x）（1-x2） 0≤x≤10      其他

fY（y）=■f（x，y）dx=■4.8y（2-x）dx 0≤x≤10      其他

=2.4y（4y-y2） 0≤x≤10     其他

3.二维连续型随机变量函数的概率密度的计算

二维连续型随机变量函数的概率密度的求法是难点，难在重积分的计算，下面以二维连续型随机变量的和的分布为例介绍积分的方法和步骤。

命题3：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则Z=X+Y的概率密度为fZ（z）=■f（x，z-x）dx或fZ（z）=■f（z-y，y）dy;特别地当X和Y独立时，设X和Y的边缘概率密度分别为fX（x）和fY（y），则上面的公式可化为fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=■fX（z-y）fY（y）dy。

上述命题给出了两个随机变量的和的概率密度计算公式，但要计算结果关键是掌握积分的方法。

例3：设随机变量X和Y独立，若X服从（0，1）上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。

由于X～fX（x）=fX（x）=1 0<x<10 其他，Y～fY（Y）=e-y y>00 其他，

fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

=■e-（z-x）dx z>1■e-（z-x）dx 0<z≤1=e1-z-e-z z>11-e-z  0<z≤10    其他0    其他

其中的关键在于上述第二个等号的积分限如何确定：第一步，在zox坐标平面上画出被积函数的非零区域x>0z-x>0即x>0z>x;第二步，因为是对变量x积分，作平行于x轴的平行线去穿过该区域，穿入点和穿出点即为积分的上下限。

三、结束语

通过以上分析，在计算二维连续型随机变量的积分问题时，由上述介绍的方法，只要三步即画图、定限、计算，即可准确无误地计算出相应的积分，从而对二维连续型随机变量的积分问题得到很好解决，得出关于计算二维连续型随机变量积分的简单、实用的方法。

参考文献：

[1]徐安农，黄文韬，李郴良.概率论与数理统计（理工类）[M].北京：中国人民大学出版社，2010.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

摘 要：本文主要讨论了概率论中二维连续型随机变量分布的积分计算问题，并给出了求解此类积分的步骤与简单实用的方法。

关键词：二维随机变量;重积分;计算

一、引言

概率论中积分的计算是学生深感头疼的问题。对于一维连续型随机变量分布的积分基本没问题，但对于二维连续型随机变量的分布，很多学生就不知所措了。因此，本文对概率论中二维连续型随机变量中重积分的计算进行归纳整理，得出简单实用的计算方法。

二、二维连续型随机变量中积分的计算

1.二维连续型随机变量中概率的计算

命题1：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），D为xoy平面上的区域，则（X，Y）落入D内的概率为P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的关键在于二重积分的计算。事实上，只需三步即可准确无误地计算出结果，第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形，第二步，画出平面区域D与上述非零区域的公共部分区域;第三步，根据公共部分区域的形状定出x，y的积分限计算二次积分即可。

例1：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00   其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形（第一象限整个区域）;第二步，画出区域D：Y≤X的图形与f（x，y）的非零区域的公共部分区域（第一象限的角平分线下方部分区域），第三步，根据其为X型区域，分别定出x，y的积分限为{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二维连续型随机变量中边缘概率密度的计算

命题2：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则X和Y作为一维连续型随机变量，其边缘概率密度分别为fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

计算边缘概率密度的关键是计算上述积分，下面以例子来说明积分方法和步骤。

例2：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=4.8y（2-x） 0≤x≤1，x≤y≤10    其他

求边缘概率密度fX（x），fY（y）。

第一步，画出f（x，y）的非零区域（第一象限的上三角形区域）;第二步，定积分限，作与积分变量相同的坐标轴（分别是x轴和y轴）的平行线去穿过上述非零区域，找出穿入点（分别为x和0）和穿出点（分别为1和y）即为积分的下限和上限。从而有fX（x）=■f（x，y）dy=■4.8y（2-x）dy 0≤x≤10      其他

=2.4（2-x）（1-x2） 0≤x≤10      其他

fY（y）=■f（x，y）dx=■4.8y（2-x）dx 0≤x≤10      其他

=2.4y（4y-y2） 0≤x≤10     其他

3.二维连续型随机变量函数的概率密度的计算

二维连续型随机变量函数的概率密度的求法是难点，难在重积分的计算，下面以二维连续型随机变量的和的分布为例介绍积分的方法和步骤。

命题3：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则Z=X+Y的概率密度为fZ（z）=■f（x，z-x）dx或fZ（z）=■f（z-y，y）dy;特别地当X和Y独立时，设X和Y的边缘概率密度分别为fX（x）和fY（y），则上面的公式可化为fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=■fX（z-y）fY（y）dy。

上述命题给出了两个随机变量的和的概率密度计算公式，但要计算结果关键是掌握积分的方法。

例3：设随机变量X和Y独立，若X服从（0，1）上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。

由于X～fX（x）=fX（x）=1 0<x<10 其他，Y～fY（Y）=e-y y>00 其他，

fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

=■e-（z-x）dx z>1■e-（z-x）dx 0<z≤1=e1-z-e-z z>11-e-z  0<z≤10    其他0    其他

其中的关键在于上述第二个等号的积分限如何确定：第一步，在zox坐标平面上画出被积函数的非零区域x>0z-x>0即x>0z>x;第二步，因为是对变量x积分，作平行于x轴的平行线去穿过该区域，穿入点和穿出点即为积分的上下限。

三、结束语

通过以上分析，在计算二维连续型随机变量的积分问题时，由上述介绍的方法，只要三步即画图、定限、计算，即可准确无误地计算出相应的积分，从而对二维连续型随机变量的积分问题得到很好解决，得出关于计算二维连续型随机变量积分的简单、实用的方法。

参考文献：

[1]徐安农，黄文韬，李郴良.概率论与数理统计（理工类）[M].北京：中国人民大学出版社，2010.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

摘 要：本文主要讨论了概率论中二维连续型随机变量分布的积分计算问题，并给出了求解此类积分的步骤与简单实用的方法。

关键词：二维随机变量;重积分;计算

一、引言

概率论中积分的计算是学生深感头疼的问题。对于一维连续型随机变量分布的积分基本没问题，但对于二维连续型随机变量的分布，很多学生就不知所措了。因此，本文对概率论中二维连续型随机变量中重积分的计算进行归纳整理，得出简单实用的计算方法。

二、二维连续型随机变量中积分的计算

1.二维连续型随机变量中概率的计算

命题1：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），D为xoy平面上的区域，则（X，Y）落入D内的概率为P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的关键在于二重积分的计算。事实上，只需三步即可准确无误地计算出结果，第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形，第二步，画出平面区域D与上述非零区域的公共部分区域;第三步，根据公共部分区域的形状定出x，y的积分限计算二次积分即可。

例1：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00   其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，画出f（x，y）的非零区域的图形（第一象限整个区域）;第二步，画出区域D：Y≤X的图形与f（x，y）的非零区域的公共部分区域（第一象限的角平分线下方部分区域），第三步，根据其为X型区域，分别定出x，y的积分限为{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二维连续型随机变量中边缘概率密度的计算

命题2：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则X和Y作为一维连续型随机变量，其边缘概率密度分别为fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

计算边缘概率密度的关键是计算上述积分，下面以例子来说明积分方法和步骤。

例2：设二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=4.8y（2-x） 0≤x≤1，x≤y≤10    其他

求边缘概率密度fX（x），fY（y）。

第一步，画出f（x，y）的非零区域（第一象限的上三角形区域）;第二步，定积分限，作与积分变量相同的坐标轴（分别是x轴和y轴）的平行线去穿过上述非零区域，找出穿入点（分别为x和0）和穿出点（分别为1和y）即为积分的下限和上限。从而有fX（x）=■f（x，y）dy=■4.8y（2-x）dy 0≤x≤10      其他

=2.4（2-x）（1-x2） 0≤x≤10      其他

fY（y）=■f（x，y）dx=■4.8y（2-x）dx 0≤x≤10      其他

=2.4y（4y-y2） 0≤x≤10     其他

3.二维连续型随机变量函数的概率密度的计算

二维连续型随机变量函数的概率密度的求法是难点，难在重积分的计算，下面以二维连续型随机变量的和的分布为例介绍积分的方法和步骤。

命题3：设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），则Z=X+Y的概率密度为fZ（z）=■f（x，z-x）dx或fZ（z）=■f（z-y，y）dy;特别地当X和Y独立时，设X和Y的边缘概率密度分别为fX（x）和fY（y），则上面的公式可化为fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=■fX（z-y）fY（y）dy。

上述命题给出了两个随机变量的和的概率密度计算公式，但要计算结果关键是掌握积分的方法。

例3：设随机变量X和Y独立，若X服从（0，1）上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。

由于X～fX（x）=fX（x）=1 0<x<10 其他，Y～fY（Y）=e-y y>00 其他，

fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

=■e-（z-x）dx z>1■e-（z-x）dx 0<z≤1=e1-z-e-z z>11-e-z  0<z≤10    其他0    其他

其中的关键在于上述第二个等号的积分限如何确定：第一步，在zox坐标平面上画出被积函数的非零区域x>0z-x>0即x>0z>x;第二步，因为是对变量x积分，作平行于x轴的平行线去穿过该区域，穿入点和穿出点即为积分的上下限。

三、结束语

通过以上分析，在计算二维连续型随机变量的积分问题时，由上述介绍的方法，只要三步即画图、定限、计算，即可准确无误地计算出相应的积分，从而对二维连续型随机变量的积分问题得到很好解决，得出关于计算二维连续型随机变量积分的简单、实用的方法。

参考文献：

[1]徐安农，黄文韬，李郴良.概率论与数理统计（理工类）[M].北京：中国人民大学出版社，2010.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.