借助几何直观教学体悟数学基本思想

◎福建省永泰县东门小学林先铭

借助几何直观教学体悟数学基本思想

◎福建省永泰县东门小学林先铭

借助几何直观，让学生充分体悟蕴含其中的数学基本思想，是有效教学的一种途径。为此，本文主要借助几何直观教学，让学生体悟抽象思想、推理思想和建模思想，以期学生终身获益。

几何直观；抽象思想；推理思想；建模思想

冯·诺依曼说过，数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。数学思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。被构思出来就是抽象；经历它本身所特有的生命，就是推理；能主动寻找数学内容的现实原型，主动利用数学发现现实世界中的问题，提出数学问题，并加以分析和解决，就是建模。几何直观是指利用图形描述和分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象。由此可见，几何直观既能帮助学生有效地解决数学问题，又能引领学生体悟数学基本思想。鉴于这种认识，笔者结合自己教学实践，谈谈如何借助几何直观来引导学生感悟蕴含其中的数学基本思想。

一、借助几何直观，让学生体悟抽象思想

抽象思想是将现实世界中的数量关系和空间形式进行适度抽象，是从异彩纷呈的事物中抽象出最具共性的本质的东西，它需要经历从感性认识到理性认识的过程。几何直观对学生理解算理，掌握算法，建构法则有不可估量的作用，为运算能力的提高奠定坚实基础。如，在教学“两位数乘两位数”时，笔者借助几何直观，来引导学生体验并感悟建构法则的逐步抽象过程。

1.创设情境。教师呈现现实情境：“双休日，小东的爸爸为了增长孩子的知识，便带小东去三元书店购买《名家文学读本》，每套12本，每本24元。”这里所提供的买书情境，为后面提出问题和列出算式做了很好的铺垫。

2.列出算式。教师先让学生读题明意，并指出“你获取了那些信息”。接着教师引导学生根据情境，能否提出问题？学生提出：“买这1套书应付多少钱？”，列出算式“24×12”。此时的数学问题不再是课本知识上的数学问题，而是富有生活实际意义的数学问题，是学生从感性认识到理性认识的一次飞跃。

3.以图示理。学生虽弄清了题意，学会了列式。但如何计算，还是不知所措，为让学生理清两位数乘两位数的算理，教师可引导学生观察直观模型，厘清计算思路。如上述情景题，教师可以利用多媒体呈现一个每行24格，共有12行的格子图，随后，让学生观察思考格与行之间的关系，最后让学生计算出一共有多少格。（格子图略）此格子图能形象直观地呈现24和12的关系，学生一目了然，茅塞顿开。这时，教师应趁势引导学生自主阐述，可以先算10行有多少格，再算2行有多少格，列式为24×10=240，24×2=48，240+48=288。教学到此，学生对算理已有所领悟，为下面抽象概括和理解法则起到了举足轻重的作用。

4.符号表征。教学“符号表征”这一步，教师应着力把语言表述与符号表征进行无缝对接，并互相转换。可借助已有的直观经验，用“先算什么，再算什么，最后算什么”等语言表述，来解决符号表征对应问题。此时，教师应做好两件事：一是根据学生语言表述，利用课件把计算法则逐步呈现出来；二是将学生语言表述的内容抽象成用数学符号表征的形式（即竖式）。（如下图）

由此可见，“以图示理”是最直接、最形象的，它能让学生领悟算理；“符号表征”是最简洁、最明了的，它能让学生明白算法，抽象出法则。让学生经历“情境创设—列出算式—以图示理—符号表征”之抽象渐进过程，是让学生体会抽象思想的一种好的策略。

二、借助几何直观，让学生体悟推理思想

推理是数学的重要思维方式。置身在形态各异、色彩纷呈的现实世界中，人们时常会遇到繁杂的数学问题，但仔细一想，这些问题都有一些数量结构和几何结构蕴含其中。面对这些问题，教师可引导学生借助几何直观，把复杂的问题简单化、条理化、明晰化，让学生在观察和操作、比较和分析、抽象和概括中尝试推理，构建新知。运用假设丰富推理活动经验，感悟推理思想，是一条好的途径。如教学“假设应用题”时，教师引导学生经历“感知情境—借助直观—运用假设—总结规律”这一过程，以此来体悟推理思想。具体教学流程如下四步进行。

第一步，出示题目，感知情境，激发欲望。教师出示“有五元、二元人民币共10张，共32元，两种钱各几张？”，让学生审题、思考、动笔计算，由于学生尚未进行推理训练，解题无头绪，一片茫然，所示答案也是各不相同。

第二步，借助直观，引导假设，产生矛盾。教师让学生先假设10张全是2元的，随机问学生你发现了什么？学生发现了，假设结果与题中已知条件相矛盾。原题中人民币总值32元，假设后总值只有20元，少了12元。这是什么原因呢？如上图所示。

第三步，思考原因，发现问题，解决问题。教师让学生说出其中原因，并找出解决问题的办法，学生经过观察分析，找到了矛盾的原因和解决问题的办法。即，刚才假设中把其中五元的人民币都看成2元，这样每张5元人民币都少了3元，一共少了12元，算式：12÷3，就可以求出5元人民币的张数。

第四步，进行验证，总结规律，运用规律。教师引领学生继续探究：刚才我们是把10张人民币假设成全是2元的，现在把10张人民币假设成全是5元的，又会产生什么矛盾呢？学生通过计算发现，人民币的总值比已知多了18元，那是因为把2元看成5元，每张多了3元，算式：18÷3，就可以求出2元人民币的张数。教学至此，教师让学生观察比较这两个算式，看看有什么发现？学生通过这两种假设比较，发现：（1）假设都是2元时，先求出的是5元的张数；（2）假设都是5元时，先求出的是2元的张数；（3）少的总钱数÷每张少的钱数=5元人民币的张数；（4）多的总钱数÷每张多的钱数=2元人民币的张数。为了巩固深化知识，运用假设方法，让学生进行自主解决生活实际问题，教师再次出示题目：“30元1千克的茶叶和50元1千克的茶叶共5千克，共用去190元。问两种茶叶各有多少千克？”这一训练，促使学生知其然知其所以然。

由此可见，教学中，通过图案或图形，对情境描述的量进行假设，促进学生直观、有序地进行数学思考，找准问题穴点，疏通解题思路，掌握推理方法，长此训练，就能提高学生推理能力。

三、借助几何直观，让学生体悟建模思想

数学模型是联系数学与现实世界的桥梁。数学建模就是建立数学模型的过程，即“情境体验—图示理解—建立模型—应用模型”的过程，让学生获得数学建模的直接经验和体验，进而逐步体会、感悟建模思想。几何直观对于数学问题的分析，具有“一画胜百言”的作用，在众多数学问题的解决中，灵感大多出自几何直观。如教学《相遇行程应用题》时，教师可以这样展开教学。

1.情境体验。教师创设情境引导学生实施。（1）演示。教师提出演示要求：设定AB两地，让甲乙两位学生进行表演，由教师发出指令，学生行走，再让几位学生用秒表为他们计时。具体演示内容：①甲乙同时出发，相向而行，结果相遇；②甲先行，乙后行，结果相遇；③甲乙同时同地相背而行，X秒后到达AB两地。（2）观察。教师要求学生仔细观察两位同学的演示过程。（3）思考。教师让学生思考行程中的出发地点、出发时间、运动方向、运动时间、运动结果等各个基本要素的变化情况。

2.图示理解。教师引导学生在充分观察、思考、交流、尝试的基础上，将实践体验的众多信息用线段图形式描绘出来。图示情况如下：

（1）甲乙同时从两地出发，相向而行，结果相遇。

（2）甲乙从两地出发，甲先行，乙后行，结果相遇。

（3）甲乙同时同地相背而行，X秒后到达AB两地。

纵观上图，学生通过画线段图，直观地呈现相遇行程问题的模型，可见学生对如何解决此类问题有个初步的认识。

3.建立模型。教师引导学生利用上面线段图，找出等量关系式：①从两地同时出发，相向而行，所用时间相同，即甲行的路程+乙行的路程=全程；②从两地出发，甲先行，乙后行，相向而行，所用时间不同，即甲先行的路程+甲后行的路程+乙行的路程=全程；③同时同地相背而行，所用时间相同，即甲行的路程+乙行的路程=全程。

4.应用模型。为了深化和拓展所学知识，教师趁势呈现信息：①小虎和小丽同时从两地出发相向而行；②两地相距540米；③小虎每分钟走65米；④小丽每分钟走70米；⑤经过4分钟两人相遇。接着教师提出要求：请选择适当条件，编写相遇应用题，并自主列式解答。

从上面教学过程可以看出，引导学生建构数学模型，让学生体悟模型思想，教师要充分利用情境体验，运用直观图形，构建起相应的数量关系模型，从而利用模型解决实际问题，在应用模型的过程中不断完善对已建立的数学模型的理解，有助于提高学生发现数学、创造数学、运用数学的素养和能力。

（责任编辑：陈志华）