学生解题思维的暴露策略

刘萍

摘 要：数学选择题在高中各种考试中不仅是常见的题型，而且还占有三分之一的比重，可见其重要性。然而，它在存在着诸多优势的同时也存在着诸多缺陷，特别是它的解答只有结果而没有过程，其中怎样暴露学生“问题解决”的思维过程，是教师迫切需要解决的一个难题。本文就学生解题思维的暴露进行了实践探究，提出了几点暴露学生思维的方法。

关键词：数学选择题;学生思维;调查时机

一、问题的提出

暴露学生的解题思维，不仅仅对教师的教学指导有意义，对学生的学习反思更有促进作用。数学选择题是当今各类考试中的重要题型，在高考中它占整张试卷总分的三分之一，具有考试容量大、批阅方便、评分客观等优势。但由于选择题提供了4个备选答案，解答时又不需要写出完整的过程，所以也存在着多方面的缺陷。第一，易掩盖学生的知识缺陷。有的时候学生没能比较有把握地解答问题，就随便蒙一个答案，教师也没办法发现其真正掌握了多少内容。第二，易助长学生的思维惰性。对于稍微难一点的问题，学生不作深入探究就“想当然”地下结论，教师也不知道其究竟有没有花时间探究过这个内容。第三，不易如实反馈教学信息。如思考方法准确但是计算错误这样的问题，对于真实地暴露学生的思维是不公正的，因为“问题解决”重要的是看学生的思维方法、思维方向是否准确，掌握知识的重点是方法而不是计算答案。

这些缺陷存在的主要原因在于选择题的解答只呈现了结果而没有暴露学生解答的过程。因此，补救的唯一措施就是教师要把学生的思维过程及时地给予暴露、展示。这就需要我们对学生的解题思维进行调查。只有通过调查，学生的知识及思维缺陷才会充分暴露，教师收到最直接、最真实的信息，根据这些信息组织教学，才能做到有的放矢。

二、调查的目的与依据

调查学生的解题思维，目的就是为了了解学生对知识点的掌握情况，为教师后续教学提供最可靠的依据。同时也可以促进学生对自己的发挥情况、知识点的掌握情况进行一次有依据的反思。

美国心理学家布鲁姆在掌握学习理论中指出，“许多学生在学习中未能取得优异成绩，主要问题不是学生智慧能力欠缺，而是由于未得到适当的教学条件和合理的帮助造成的”，教师“如果提供适当的学习条件，大多数学生在学习能力、学习速度、进一步学习动机等多方面就会变得十分相似”。对学生的解题思维进行及时、有目标、有针对性的调查，就是为学生提供这种适合自己的学习条件以及合理的帮助。特别是在数学选择题的教学中，学生解决每个问题时的思考风格是不一样的，教师很难一一判别他们的思考过程是否完整或者正确，那么教师就应当针对学生解题的具体情况提供适合的条件帮助学生。

调查题目及调查对象的选择取决于学生对题目的解答情况。

三、调查的时机

准确地把握学生思维误区的调查时机，即哪些题目须对学生进行解题思维的调查，哪些题目不需要重新讲解，这不仅仅关系到提高课堂教学效率的问题，更是减轻学生课业过重负担的一个有效途径。因为及时的思维调查可以使学生在“问题解决”过程中知己知彼，事半功倍。实践表明，当下列情况出现时就应对学生的解题思维进行调查。

1.试题答案明显趋向于某一“陷阱”时须思维调查

数学选择题的几个选择支，是制卷（题）教师明显地根据学生“有可能”出现的思维错误情况而安排的。如果试题的得分错误基本倾向于某一选择支时，那么教师就应该好好地反思自己平时的教学情况：“课堂教学中有没有真正帮助学生落实了知识点？”

例：设α、β是实系数方程x2-2kx+k+6=0的两个根，求（α-1）2+（β-1）2的最小值是：（A）-■;（B）8;（C）18;（D）不存在。

评卷时发现很多学生都选择了（A）。调查其原因：

利用韦达定理得α+β=2k，αβ=k+6，∴（α-1）2+（β-1）2=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2=4k2-6k-10=4（x-■）2-■.一般学生一看到这个二次三项式里面有个-■，也就不深入分析了，毫不犹豫地选了（A）。这正是“问题解决”思维受到制卷教师的“诱导”而滑入了陷阱，不去考虑变量k隐含的允许值范围所出现的问题。事实上，由于原方程有两个实数根，所以判别式△=4k2-4（6+k）=4k2-4k-24≥0，得k≥3或k≤-2，从而不难得出本题正确选择为（B）。这就是教师在平时的教学中对于运用“韦达定理”要注意“根的判别式”强调得不够所致。

2.试题的整体得分率偏底时须思维调查

试题中的某一个题目的得分率偏底，就意味着学生在解答此题时存在着较严重的知识和方法上的错误，此时就应该在出错的学生当中选取代表进行调查，了解是属于解题时的思维方向性错误还是属于计算过程中的技术性错误。

例：如果|cosθ|=■（■<θ<3π），那么sin■的值等于：（A）-■;（B）■;（C）-■;（D）■。

在高三的一次单元测试中我们发现，有近15℅的学生选（D），错误明显在于符号。

经过分析认为产生错误的原因有二：一是粗心大意，没有考虑符号;二是分不清应该是θ所在象限的符号还是■所在象限的符号。但是作为高三学生，不应该有这么多的学生犯这种错误。于是我们对出错的学生进行了调查，并且如愿以偿地收集到了多数学生的错误解法。他们的错误过程如下：

先根据条件■<θ<3π得出2π+■<θ<2π+π，但在实际操作时去掉2π而成了：■<θ<π，这个方法在判断θ的象限时是正确的，故得cosθ=-■，然后在■<θ<π两边同除以2得：■<■<■从而选（D）。

可见学生出错的根源在于式子■<θ<π，他们把与已知条件有相同象限的■<θ<π错误地等同于已知条件，造成两边除以2后出错。针对学生暴露的思维缺陷，我们作了针对性的讲评，使学生认识到了在实际操作时去掉2π的危害。

3.试题的得分率与试题的难度不符时须思维调查

教师认为较难的试题而学生的得分率比较高的时候，就应对全体学生进行调查，要求他们写出具体的解答过程，用以判断到底是自己做出来的还是蒙的，也就是是真做对了还是是假做对了，是否有蒙混或者作弊现象等。

例：等差数列|an|，|bn|的前n项和分别是sn和Tn，若■=■，则■■等于：（A）■;（B）■;（C）1;（D）■。

对这个题目的解答进行了调查，结果是全班45人的答案全部正确，而解法只有一个人对的。这个例子告诉我们，如果对不正常的高得分率感到满足的话，将会失去发现学生的错误的机会，学生也会在“正确”的鼓励下强化他们的错误方法。

4.试题的解答在个别学生身上出现异常时须思维调查

一个不难的选择题，恰好被一个成绩好的学生做错了，或一个难题恰巧又被成绩差的学生做对了。这就产生了学生解答的异常情况。对这些学生进行调查，常可发现学生的缺陷或闪光点。

例：设函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，且f（x），-■，f（x-1）成等差数列，则x的值为：（A）2;（B）3;（C）2或3;（D）2或-3。

此题班中只有5个学生解错，但其中有一位学生的成绩很好，且她在所选的答案旁打有“？”。针对这种异常情况，我们对对这个学生进行了调查，学生先说了她在考试时的做法：

∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，∴f（x-1）=x2-6x+8……（1）又∵f（x），-■，f（x-1）成等差数列，∴f（x）+f（x-1）=-1，把（1）代入解得f（x）=-x2+6x+9……（2），在（2）中用x-1代替x得：f（x-1）=-（x-1）2+6（x-1）-9，联合（1）解得x=-3和x=-4。显然这个答案选择支中没有。但是在考试时又没有过多的时间细想，看到（D）中有-3，故而选（D），并在旁边打了“？”。

考试后她又得到了另一种解法：在（1）中用x代替（x-1）得f（x）=（x+1）2-6（x+1）+8，联合（2），解得x=2和x=3。但是她不能判断哪一种解法是对的。其他学生也有做了方法一因没有答案改做方法二的。做对了但仍不能判别第一种解法的错误所在。这时学生在解答此题时最主要的错误被发现了：那就是学生分不清变量与未知数的关系。事实上，（2）中的x是未知数，尽管“未知”但是此时实质上就是一个常数，故（2）式只对某些常数成立，所以不能用（x-1）代替x。而（1）中的x是变量，故（1）式对任意x成立，所以可用x代替（x-1），由此可以判断解法二的正确性。为了更彻底地消除学生中存在的这种错误，可对如何分辨变量与未知数作了专题复习。

四、调查的方式

思维调查分直接和间接两种。直接调查，主要针对少部分学生检测结果特别反常的时候，教师可以通过面对面地询问，了解该生的解题思路、产生错误的原因。间接调查，主要可以通过以下两种方法进行：一个是教师在试卷上写上评语，要求学生在另外的作业纸上写出当时解题的思路。对于有新意的解题方法，教师要都要表扬，鼓励学生把自己当时的思考方法表述清楚，以便在班级里面进行推广;对于错误比较严重的学生，要告诉他怎样把当时自己的思考方法、推理思路写出来，并分析产生这个错误的原因。二是教师制订比较规范的表格（如图），发到学生手中，让他们自己根据考试的具体情况进行认真地填写，然后教师根据他们的填写情况进行汇总分析，再有针对性地对学生进行分别辅导。也可以选择比较典型的根据错误进行全班性讲解，分析的重点是要求学生知道产生错误的原因以及补救、矫正的方法。

■

不管用何种方法调查，一定要及时。以桑代克为代表的联结学习认为，凡是一种刺激——反应的联结产生的是满意的反应，则学习者乐于重复这种反应（奖赏律）;反之，凡是这种联结引起的是烦恼的反应，则学习者力求避免这一反应（惩罚律）。有机体只有了解了学习结果，练习才能起作用。联结派的学习理论主要强调某种刺激与某种反应之间建立联系、联结的过程，强调外部强化和奖赏在学习中的作用。这在调查学生的解题思维上给我们的启示是：其一，学生产生错误的思维调查一定要及时，让学生看见自己的最终结果，才能根据这个结果来调整自己;其二，信息的反馈一定要有效，调查的目的一定要成为某种刺激作用于学生;其三，要在内容和形式等方面上对解题错误的调查进行不断地调整，以达到最优最有效的学习反馈效果。

参考文献：

[1]朱智贤，林崇德.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986.

[2]唐绍友.试论数学客观题的负面效应[J].数学通报，1996（9）.

[3]潘玉进.建构主义理论及其在教育上的启示[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2000（4）.

3.试题的得分率与试题的难度不符时须思维调查

教师认为较难的试题而学生的得分率比较高的时候，就应对全体学生进行调查，要求他们写出具体的解答过程，用以判断到底是自己做出来的还是蒙的，也就是是真做对了还是是假做对了，是否有蒙混或者作弊现象等。

例：等差数列|an|，|bn|的前n项和分别是sn和Tn，若■=■，则■■等于：（A）■;（B）■;（C）1;（D）■。

对这个题目的解答进行了调查，结果是全班45人的答案全部正确，而解法只有一个人对的。这个例子告诉我们，如果对不正常的高得分率感到满足的话，将会失去发现学生的错误的机会，学生也会在“正确”的鼓励下强化他们的错误方法。

4.试题的解答在个别学生身上出现异常时须思维调查

一个不难的选择题，恰好被一个成绩好的学生做错了，或一个难题恰巧又被成绩差的学生做对了。这就产生了学生解答的异常情况。对这些学生进行调查，常可发现学生的缺陷或闪光点。

例：设函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，且f（x），-■，f（x-1）成等差数列，则x的值为：（A）2;（B）3;（C）2或3;（D）2或-3。

此题班中只有5个学生解错，但其中有一位学生的成绩很好，且她在所选的答案旁打有“？”。针对这种异常情况，我们对对这个学生进行了调查，学生先说了她在考试时的做法：

∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，∴f（x-1）=x2-6x+8……（1）又∵f（x），-■，f（x-1）成等差数列，∴f（x）+f（x-1）=-1，把（1）代入解得f（x）=-x2+6x+9……（2），在（2）中用x-1代替x得：f（x-1）=-（x-1）2+6（x-1）-9，联合（1）解得x=-3和x=-4。显然这个答案选择支中没有。但是在考试时又没有过多的时间细想，看到（D）中有-3，故而选（D），并在旁边打了“？”。

考试后她又得到了另一种解法：在（1）中用x代替（x-1）得f（x）=（x+1）2-6（x+1）+8，联合（2），解得x=2和x=3。但是她不能判断哪一种解法是对的。其他学生也有做了方法一因没有答案改做方法二的。做对了但仍不能判别第一种解法的错误所在。这时学生在解答此题时最主要的错误被发现了：那就是学生分不清变量与未知数的关系。事实上，（2）中的x是未知数，尽管“未知”但是此时实质上就是一个常数，故（2）式只对某些常数成立，所以不能用（x-1）代替x。而（1）中的x是变量，故（1）式对任意x成立，所以可用x代替（x-1），由此可以判断解法二的正确性。为了更彻底地消除学生中存在的这种错误，可对如何分辨变量与未知数作了专题复习。

四、调查的方式

思维调查分直接和间接两种。直接调查，主要针对少部分学生检测结果特别反常的时候，教师可以通过面对面地询问，了解该生的解题思路、产生错误的原因。间接调查，主要可以通过以下两种方法进行：一个是教师在试卷上写上评语，要求学生在另外的作业纸上写出当时解题的思路。对于有新意的解题方法，教师要都要表扬，鼓励学生把自己当时的思考方法表述清楚，以便在班级里面进行推广;对于错误比较严重的学生，要告诉他怎样把当时自己的思考方法、推理思路写出来，并分析产生这个错误的原因。二是教师制订比较规范的表格（如图），发到学生手中，让他们自己根据考试的具体情况进行认真地填写，然后教师根据他们的填写情况进行汇总分析，再有针对性地对学生进行分别辅导。也可以选择比较典型的根据错误进行全班性讲解，分析的重点是要求学生知道产生错误的原因以及补救、矫正的方法。

■

不管用何种方法调查，一定要及时。以桑代克为代表的联结学习认为，凡是一种刺激——反应的联结产生的是满意的反应，则学习者乐于重复这种反应（奖赏律）;反之，凡是这种联结引起的是烦恼的反应，则学习者力求避免这一反应（惩罚律）。有机体只有了解了学习结果，练习才能起作用。联结派的学习理论主要强调某种刺激与某种反应之间建立联系、联结的过程，强调外部强化和奖赏在学习中的作用。这在调查学生的解题思维上给我们的启示是：其一，学生产生错误的思维调查一定要及时，让学生看见自己的最终结果，才能根据这个结果来调整自己;其二，信息的反馈一定要有效，调查的目的一定要成为某种刺激作用于学生;其三，要在内容和形式等方面上对解题错误的调查进行不断地调整，以达到最优最有效的学习反馈效果。

参考文献：

[1]朱智贤，林崇德.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986.

[2]唐绍友.试论数学客观题的负面效应[J].数学通报，1996（9）.

[3]潘玉进.建构主义理论及其在教育上的启示[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2000（4）.

3.试题的得分率与试题的难度不符时须思维调查

教师认为较难的试题而学生的得分率比较高的时候，就应对全体学生进行调查，要求他们写出具体的解答过程，用以判断到底是自己做出来的还是蒙的，也就是是真做对了还是是假做对了，是否有蒙混或者作弊现象等。

例：等差数列|an|，|bn|的前n项和分别是sn和Tn，若■=■，则■■等于：（A）■;（B）■;（C）1;（D）■。

对这个题目的解答进行了调查，结果是全班45人的答案全部正确，而解法只有一个人对的。这个例子告诉我们，如果对不正常的高得分率感到满足的话，将会失去发现学生的错误的机会，学生也会在“正确”的鼓励下强化他们的错误方法。

4.试题的解答在个别学生身上出现异常时须思维调查

一个不难的选择题，恰好被一个成绩好的学生做错了，或一个难题恰巧又被成绩差的学生做对了。这就产生了学生解答的异常情况。对这些学生进行调查，常可发现学生的缺陷或闪光点。

例：设函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，且f（x），-■，f（x-1）成等差数列，则x的值为：（A）2;（B）3;（C）2或3;（D）2或-3。

此题班中只有5个学生解错，但其中有一位学生的成绩很好，且她在所选的答案旁打有“？”。针对这种异常情况，我们对对这个学生进行了调查，学生先说了她在考试时的做法：

∵f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8，f（x+1）-f（x-1）=4x-8，∴f（x-1）=x2-6x+8……（1）又∵f（x），-■，f（x-1）成等差数列，∴f（x）+f（x-1）=-1，把（1）代入解得f（x）=-x2+6x+9……（2），在（2）中用x-1代替x得：f（x-1）=-（x-1）2+6（x-1）-9，联合（1）解得x=-3和x=-4。显然这个答案选择支中没有。但是在考试时又没有过多的时间细想，看到（D）中有-3，故而选（D），并在旁边打了“？”。

考试后她又得到了另一种解法：在（1）中用x代替（x-1）得f（x）=（x+1）2-6（x+1）+8，联合（2），解得x=2和x=3。但是她不能判断哪一种解法是对的。其他学生也有做了方法一因没有答案改做方法二的。做对了但仍不能判别第一种解法的错误所在。这时学生在解答此题时最主要的错误被发现了：那就是学生分不清变量与未知数的关系。事实上，（2）中的x是未知数，尽管“未知”但是此时实质上就是一个常数，故（2）式只对某些常数成立，所以不能用（x-1）代替x。而（1）中的x是变量，故（1）式对任意x成立，所以可用x代替（x-1），由此可以判断解法二的正确性。为了更彻底地消除学生中存在的这种错误，可对如何分辨变量与未知数作了专题复习。

四、调查的方式

思维调查分直接和间接两种。直接调查，主要针对少部分学生检测结果特别反常的时候，教师可以通过面对面地询问，了解该生的解题思路、产生错误的原因。间接调查，主要可以通过以下两种方法进行：一个是教师在试卷上写上评语，要求学生在另外的作业纸上写出当时解题的思路。对于有新意的解题方法，教师要都要表扬，鼓励学生把自己当时的思考方法表述清楚，以便在班级里面进行推广;对于错误比较严重的学生，要告诉他怎样把当时自己的思考方法、推理思路写出来，并分析产生这个错误的原因。二是教师制订比较规范的表格（如图），发到学生手中，让他们自己根据考试的具体情况进行认真地填写，然后教师根据他们的填写情况进行汇总分析，再有针对性地对学生进行分别辅导。也可以选择比较典型的根据错误进行全班性讲解，分析的重点是要求学生知道产生错误的原因以及补救、矫正的方法。

■

不管用何种方法调查，一定要及时。以桑代克为代表的联结学习认为，凡是一种刺激——反应的联结产生的是满意的反应，则学习者乐于重复这种反应（奖赏律）;反之，凡是这种联结引起的是烦恼的反应，则学习者力求避免这一反应（惩罚律）。有机体只有了解了学习结果，练习才能起作用。联结派的学习理论主要强调某种刺激与某种反应之间建立联系、联结的过程，强调外部强化和奖赏在学习中的作用。这在调查学生的解题思维上给我们的启示是：其一，学生产生错误的思维调查一定要及时，让学生看见自己的最终结果，才能根据这个结果来调整自己;其二，信息的反馈一定要有效，调查的目的一定要成为某种刺激作用于学生;其三，要在内容和形式等方面上对解题错误的调查进行不断地调整，以达到最优最有效的学习反馈效果。

参考文献：

[1]朱智贤，林崇德.思维发展心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1986.

[2]唐绍友.试论数学客观题的负面效应[J].数学通报，1996（9）.

[3]潘玉进.建构主义理论及其在教育上的启示[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2000（4）.