分类讨论思想在高中数学中的应用

钱俊

摘    要： 分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是高中数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题、解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.

关键词： 分类讨论    高中数学    教学应用

分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是高中数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题、解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点，也是高考的一个难点.

一、解决集合与方程问题

例1：已知集合A={x|x■-ax+4=0}，B={x|x■-5x■+2x+8=0}，若A？哿B，求a的取值范围.

【解】B={-1，2，4}，且A？哿B，则集合A可能是空集、单元素集合和两个元素集合，

（1）当△=a■-16<0，即-4

（2）当△=0，即a=±4时，由A？哿B得a=4;当△>0，即a>4或a<-4时，A？埭B.

综上可得，当a∈（-4，4]时，A？哿B.

【注】此题研究对象是一元二次方程x■-ax+4=0的根的判别式△，分成大于零，小于零和等于零这三种情况，这种分类符合同一性原则，没有遗漏任一情况.

二、解决函数与不等式问题

例2：已知a是实数，函数f（x）=2ax■+2x-3-a，如果函数y=  f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围.

【解】若a=0，则f（x）=2x-3=0时，解得x=1.5∈[-1，1]，所以a≠0.

当a≠0时，若△=0，即抛物线与x轴有唯一的一个公共点，此时：

-1≤-■≤12■-8a（-3-a）=0解得-2≤■≤2a■=■，a■=■，则a=■.

当抛物线与x轴在[-1，1]上有唯一的一个公共点，此时：

f（-1）·f（1）≤0，即（a-1）（a-5）≤0，解得1≤a≤5.

因为当a=5时，△=2■-8×5×（-3-5）=324>0，抛物线与轴有两个不同的交点，所以1≤a≤5符合要求.

当抛物线与x轴在[-1，1]上有2个公共点，此时：

Ia>0-1<-■<1f（-1）≥0f（1）≥0△>0或Ⅱa<01<-■<1f（-1）≤0f（1）≤0△>0，解Ⅰ得：a≥5，解Ⅱ得：a<■.

综上，a的取值范围是（-∞，■]∪[1，+∞）.

【注】题目叙述虽然简短，但是对考生的思维深刻和严谨性要求很高.既考查分类讨论的思想方法，又考查学生数形结合思想方法的运用，利用图形的直观性是指导分类的依据.

三、解决数列问题

例3：在数列{a■}中，a■=2，a■=λa■+λ■+（2-λ）2■（n∈N■），其中λ>0.求数列{a■}的前n项和S■.

【解】由a■=λa■+λ■+（2-λ）2■（n∈N■），λ>0，可得■-（■）■=■-（■）■+1，所以{■-（■）■}为等差数列，其公差为1，首项为0，故■-（■）■=n-1，所以数列{a■}的通项公式为a■=（n-1）λ■+2■.

设T■=λ■+2λ■+3λ■+…+（n-2）λ■+（n-1）λ■，①

λT■=λ■+2λ■+3λ■+…+（n-2）λ■+（n-1）λ■，②

当λ≠1时，①式减去②式，

得T■=■-■

=■.

这时数列{a■}的前n项和S■=■+2■-2.

当λ=1时，T■=■.这时数列{a■}的前n项和S■=■+2■-2.

【注】对于等比数列的前n项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论。

通过上面例题分析我们可看出运用分类讨论的思想解题的基本步骤：（1）确定讨论对象和确定研究的全域;（2）对所讨论的问题进行合理的分类;（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决;（4）归纳总结，整合得出结论.

总之，在教学中要注重分类讨论思想方法的培养，在培养学生分类讨论思想的过程中，要充分挖掘教材内容，“授之以鱼，不如授之以渔”，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生.

参考文献：

[1]徐望斌.对解题教学中分类讨论思想方法的探讨.湖北师范学院学报，2005（04）.