对薄膜干涉实验中若干疑难问题的分析

孙国标　杨丽芬

摘 要：文章引入了半波损失、反射系数、透射系数、光强、反衬度等概念，从理论上对薄膜干涉实验中的若干疑难问题作了分析说明。

关键词：薄膜干涉；半波损失；反射系数；透射系数；光强；反衬度

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）10（S）-0056-3

薄膜干涉现象是光具有波动性的实验证据，在人类对光的本性认识中占有很重要的地位，但限于中学阶段的物理知识水平，教材中没有详细阐述其机理，只是从实验出发对其作定性的分析。笔者在实际教学中，学生对此实验现象提出了不少疑问，尽管可能有些知识已超出中学范畴，但作为教师，有必要向学生澄清疑问，这样并没有增加学生的学习负担，因为运用科学知识疏通了学生心中的疑惑。

1 薄膜干涉的实验现象

实验一：用铁环蘸上肥皂液，形成肥皂薄膜。用自然光照射，从反射光的方向去看，呈现出如图1所示的干涉图样，最上部是黑色条纹（随时间的推移黑色面积增加，直至膜破裂），其下是彩色条纹，而且从上往下条纹间距逐渐变窄（图2也是如此）。

图1 薄膜干涉实验

实验二：改用酒精灯照射（灯芯上撒一些食盐，酒精灯发出黄光），从反射光的方向去看，呈现出如图2所示的清晰的干涉图样（黄黑相间的条纹）。若从透射光的方向去看，则呈现如图3所示的较暗的干涉图样（黄黑相间的条纹），但相对反射光的干涉条纹要模糊一些。

图2 实验图示1 图3 实验图示2

2 中学阶段对薄膜干涉的理解

2.1 薄膜干涉的成因

由于重力作用，肥皂液逐渐向下流动，形成上薄下厚的形状，如图4所示。光射到薄膜表面时（考虑垂直入射的情形），经前后两表面反射后叠加而成。

图4 实验原理图

2.2 亮纹与暗纹的位置

当某一单色光（在真空中的波长为λ）入射到薄膜厚度为d的位置，两反射光的光程差为2nd，其中n为薄膜对这一单色光的折射率，若2nd=kλ，k=0，1，2……，此处为亮条纹； （1）

若2nd=（2k+1）λ/2，k=0，1，2…… ，此处为暗条纹（2）

2.3 条纹间距

若设A处为k级亮条纹，则dk= ，

B处为k+1级亮条，则

dk+1= ，

且设劈尖的顶角为2θ，则条纹间距为

Δx= = （3）

3 对薄膜干涉实验中若干疑难问题的分析

疑问1：由于重力作用，肥皂膜的顶端的厚度很小（当d→0时），前后表面反射光的光程差可忽略不计，那根据（1）式，此处应为亮条纹，但事实上观察到的是暗条纹，而且随时间的推移，暗条纹的面积不断增大，这是为什么？薄膜下方为干涉条纹，从上往下条纹间距逐渐变窄，这又是为什么？

笔者的分析：当光在界面上反射时，若从光疏介质入射到光密介质时，反射光的相位会发生突变，即发生“半波损失”，因此会造成一附加光程差λ/2，结合本实验，前表面反射时会出现半波损失，而后表面反射时没有半波损失，因此厚度为d处的两反射光的光程差为2nd+ ，则（1）式应修正为：2nd+ =kλ，k=0，1，2，……。如果当厚度小于所有可见光在薄膜的波长的1/4时，即d< （λ'为可见光在薄膜中的最长波长），则d< （λ为可见光在空气中的最长波长），于是从膜的前后表面反射回来的光的光程差总小于一个波长，叠加的结果都不会达到加强，回来的光的能量与透射光的能量相比都很小，所以看起来是黑色。随着时间的推移，薄膜上部的厚度都将逐渐变薄直至破裂，因此黑色部分将越来越大。

至于为什么彩色条纹从上往下间距逐渐变窄，原因是薄膜并非图4所示的平面，而是如图5所示的曲面，膜的厚度的变化呈非线性，也可以理解成θ越来越大，因此根据（3）式可知，条纹间距越来越小，故干涉条纹变得越来越窄。

疑问2：当光从空气入射到肥皂薄膜上时，它将在薄膜前后两表面处发生多次反射和折射，从而形成多束反射光和折射光，如图7所示，从实验中我们发现反射光和透射光均可发生干涉现象，但究竟是哪两束反射光（或折射光）叠加形成干涉条纹？

笔者的分析：理论上讲所有反射光（或折射光）都可以发生叠加，但是由于多次反射、折射后能量相差悬殊，因此一般我们只考虑前两束反射光（或折射光）的叠加，下面我们不妨通过计算来说明这一点。

设r和t表示由空气射向薄膜时的反射系数和透射系数，r'和t'表示由薄膜射向空气时的反射系数和透射系数。

图6 薄膜多次反射示意图

当研究正入射的情况下，即θ≈0°，且不考虑介质吸收，则有

r=r'= ，t= ，t'= （4）

若设入射光的振幅为A0，则各反射光的振幅依次为

A1=rA0，A2=tr't'A0，A3=t（r'）3t'A0……（5）

各透射光的振幅依次为

A'1=tt'A0，A'2=t（r'）2t'A0，A'3=t（r'）4t'A0……（6）

考虑到光的强度与振幅的平方成正比，

即I=A2，

则入射光的光强为I =A ，各反射光的光强依次为

I反1=r2I0，I反2=t2r'2t'2I0，I反3=t2r'6t'2I0 （7）

各透射光的光强依次为

I透1'=t2t'2I0，I透2'=t2（r'）4t'2I0，I透3'=t2（r'）8t'2I0 （8）

若记入射光的光强为I0=1，且肥皂薄膜的折射率取n膜=1.33，空气的折射率取n空=1，根据（4）-（8）式，则各反射光和折射光的相对光强见表1：

表1

由表1可以看出，在研究反射光的干涉时，可以只考虑前两束反射光，其余光束对干涉图样的贡献很小，可以忽略不计；而研究透射光的干涉时，也可以只考虑前两束透射光，其它光束对干涉图样的影响亦可以忽略不计。

疑问3：反射光的干涉条纹与透射光的干涉条纹之间又有怎样的联系？

笔者的分析：如图7所示，肥皂薄膜处于空气中（空气的折射率约等于1），薄膜对光的折射率为n膜，当入射光以θ角入射，折射角为r，则反射光1和2的光程差为

图7 薄膜反射示意图

δ1=n膜（AB+BC）-CD+ ≈2n膜dcosr+ （9）

其中 为反射时由于半波损失引起的附加光程差。

透射光1'和2'的光程差为

δ2=n膜（BC+CE）-BF≈2n膜dcosr（10）

当研究正入射的情况，即θ≈0°，则r≈0°

δ1≈2n膜d+ =kλ亮条纹 （2k+1）暗条纹，k=0，1，2，3…（11）

δ2≈2n膜d+ =k'λ亮条纹 （2k'+1）暗条纹，k'=0，1，2，3…（12）

可见反射光和透射光均能产生稳定的干涉图样，而且值得注意的是d1和d2相差 ，这就意味着当反射光1，2叠加后产生亮条纹时，透射光1'，2'叠加后产生的是暗条纹，反之亦然。也就是说，反射光的干涉图样和透射光的干涉图样是互补的，这也符合能量守恒的规律。

疑问4：那为什么反射光的干涉图样非常清晰，便于观察，而透射光的干涉图样会很模糊，不易观察呢？

笔者的分析：要回答这个问题，需要引入一个概念——反衬度V，V= （13），其中Imax为亮条纹的光强，而Imin为暗条纹的光强，反衬度越大，干涉条纹越清晰，当V=1干涉条纹最清晰，而V=0干涉条纹最模糊，而一般情形下在0到1之间。

设两束光的光强分别为I1和I2，其合成后的光强为

I=I1+I2+2 cos（Δφ） （14）

Δφ为合成后两列波的相位差。

对于亮条纹的光强为

Imax=（ + ）2

暗条纹的光强为

Imin=（ - ）2

则反衬度V可表示为

V= （15）

根据表1计算得到反射光和透射光产生的干涉条纹的反衬度分别为

V反=0.99979 V透=0.12629（16）

反射光的干涉条纹的反衬度接近于1，表明反射光的干涉图样比较清晰，而透射光的干涉条纹的反衬度比较小，表明透射光的干涉图样相对比较模糊，在光线较暗的环境下才可以看得比较清楚。

参考文献：

[1]程守洙，江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]赵凯华，钟锡华.光学（上册）[M].北京：北京大学出版社，1982.

[3]冯遵栋，高强.薄膜干涉实验的改进[J].物理教学探讨，2003，（11）：44.

（栏目编辑 王柏庐）

表1

由表1可以看出，在研究反射光的干涉时，可以只考虑前两束反射光，其余光束对干涉图样的贡献很小，可以忽略不计；而研究透射光的干涉时，也可以只考虑前两束透射光，其它光束对干涉图样的影响亦可以忽略不计。

疑问3：反射光的干涉条纹与透射光的干涉条纹之间又有怎样的联系？

笔者的分析：如图7所示，肥皂薄膜处于空气中（空气的折射率约等于1），薄膜对光的折射率为n膜，当入射光以θ角入射，折射角为r，则反射光1和2的光程差为

图7 薄膜反射示意图

δ1=n膜（AB+BC）-CD+ ≈2n膜dcosr+ （9）

其中 为反射时由于半波损失引起的附加光程差。

透射光1'和2'的光程差为

δ2=n膜（BC+CE）-BF≈2n膜dcosr（10）

当研究正入射的情况，即θ≈0°，则r≈0°

δ1≈2n膜d+ =kλ亮条纹 （2k+1）暗条纹，k=0，1，2，3…（11）

δ2≈2n膜d+ =k'λ亮条纹 （2k'+1）暗条纹，k'=0，1，2，3…（12）

可见反射光和透射光均能产生稳定的干涉图样，而且值得注意的是d1和d2相差 ，这就意味着当反射光1，2叠加后产生亮条纹时，透射光1'，2'叠加后产生的是暗条纹，反之亦然。也就是说，反射光的干涉图样和透射光的干涉图样是互补的，这也符合能量守恒的规律。

疑问4：那为什么反射光的干涉图样非常清晰，便于观察，而透射光的干涉图样会很模糊，不易观察呢？

笔者的分析：要回答这个问题，需要引入一个概念——反衬度V，V= （13），其中Imax为亮条纹的光强，而Imin为暗条纹的光强，反衬度越大，干涉条纹越清晰，当V=1干涉条纹最清晰，而V=0干涉条纹最模糊，而一般情形下在0到1之间。

设两束光的光强分别为I1和I2，其合成后的光强为

I=I1+I2+2 cos（Δφ） （14）

Δφ为合成后两列波的相位差。

对于亮条纹的光强为

Imax=（ + ）2

暗条纹的光强为

Imin=（ - ）2

则反衬度V可表示为

V= （15）

根据表1计算得到反射光和透射光产生的干涉条纹的反衬度分别为

V反=0.99979 V透=0.12629（16）

反射光的干涉条纹的反衬度接近于1，表明反射光的干涉图样比较清晰，而透射光的干涉条纹的反衬度比较小，表明透射光的干涉图样相对比较模糊，在光线较暗的环境下才可以看得比较清楚。

参考文献：

[1]程守洙，江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]赵凯华，钟锡华.光学（上册）[M].北京：北京大学出版社，1982.

[3]冯遵栋，高强.薄膜干涉实验的改进[J].物理教学探讨，2003，（11）：44.

（栏目编辑 王柏庐）

表1

由表1可以看出，在研究反射光的干涉时，可以只考虑前两束反射光，其余光束对干涉图样的贡献很小，可以忽略不计；而研究透射光的干涉时，也可以只考虑前两束透射光，其它光束对干涉图样的影响亦可以忽略不计。

疑问3：反射光的干涉条纹与透射光的干涉条纹之间又有怎样的联系？

笔者的分析：如图7所示，肥皂薄膜处于空气中（空气的折射率约等于1），薄膜对光的折射率为n膜，当入射光以θ角入射，折射角为r，则反射光1和2的光程差为

图7 薄膜反射示意图

δ1=n膜（AB+BC）-CD+ ≈2n膜dcosr+ （9）

其中 为反射时由于半波损失引起的附加光程差。

透射光1'和2'的光程差为

δ2=n膜（BC+CE）-BF≈2n膜dcosr（10）

当研究正入射的情况，即θ≈0°，则r≈0°

δ1≈2n膜d+ =kλ亮条纹 （2k+1）暗条纹，k=0，1，2，3…（11）

δ2≈2n膜d+ =k'λ亮条纹 （2k'+1）暗条纹，k'=0，1，2，3…（12）

可见反射光和透射光均能产生稳定的干涉图样，而且值得注意的是d1和d2相差 ，这就意味着当反射光1，2叠加后产生亮条纹时，透射光1'，2'叠加后产生的是暗条纹，反之亦然。也就是说，反射光的干涉图样和透射光的干涉图样是互补的，这也符合能量守恒的规律。

疑问4：那为什么反射光的干涉图样非常清晰，便于观察，而透射光的干涉图样会很模糊，不易观察呢？

笔者的分析：要回答这个问题，需要引入一个概念——反衬度V，V= （13），其中Imax为亮条纹的光强，而Imin为暗条纹的光强，反衬度越大，干涉条纹越清晰，当V=1干涉条纹最清晰，而V=0干涉条纹最模糊，而一般情形下在0到1之间。

设两束光的光强分别为I1和I2，其合成后的光强为

I=I1+I2+2 cos（Δφ） （14）

Δφ为合成后两列波的相位差。

对于亮条纹的光强为

Imax=（ + ）2

暗条纹的光强为

Imin=（ - ）2

则反衬度V可表示为

V= （15）

根据表1计算得到反射光和透射光产生的干涉条纹的反衬度分别为

V反=0.99979 V透=0.12629（16）

反射光的干涉条纹的反衬度接近于1，表明反射光的干涉图样比较清晰，而透射光的干涉条纹的反衬度比较小，表明透射光的干涉图样相对比较模糊，在光线较暗的环境下才可以看得比较清楚。

参考文献：

[1]程守洙，江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]赵凯华，钟锡华.光学（上册）[M].北京：北京大学出版社，1982.

[3]冯遵栋，高强.薄膜干涉实验的改进[J].物理教学探讨，2003，（11）：44.

（栏目编辑 王柏庐）