由一道五年级分数问题引起的思考

戴磊

对于数学来说，正确答案固然令人欣喜，但一些错误的回答也有价值可寻。通过反思，我们会发现错误本身就是一种资源、一种折射、一种提醒。

例如：“把3块饼平均分给5个小朋友，每个小朋友分得3块饼的（—），是1块饼的（—），是（  ）块饼。”这是苏教版（下同）数学五年级下学期学校数学期中调研卷中的一道填空题，侧重考查的知识点是分数的意义和分数与除法的关系。错误率非常高，而且学生的错误五花八门。我们寻找学生错误的原因，而原因最终都指向对知识点的不完全理解。

这类典型题历来都是五年级学生学习数学时的一个关卡。尽管一些有经验的老师知晓学生常见的错误原因，会小心翼翼地处理好这部分内容的教学，可经过一段时间消化后，仍然会有不少学生踩中“地雷”，收效不尽如人意。这使得笔者开始重新审视这部分内容的学与练。

一、教后反思的深入化

回顾教材，在三年级两次分数教学的基础上，由五年级下册渐进，小学生学习分数才开始逐步完善起来，形成三级台阶。第一级是建立分数的概念，理解分数的意义，例1至例3基本是完成这一级的学习。第二级是建立分数和除法的关系，用分数表示除法的商，用分数表示两个数量之间的倍数关系，把分数化成小数，例4至例9是这一级的学习。第三级是建立分数和比的联系，将在六年级分数除法里完成。

而上述题目横跨第一、二级台阶，其原型可追溯至教材例6。

■

■

图1

在教学时，为了降低坡度，通常会增加一道准备题：“8块、4块、1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？”从整数除法带出商是分数的除法，并通过平均分一块饼的操作得出每人分得■块饼。

在准备题的基础上，继续突出例6平均分的问题用除法计算从而列出除法算式，仍然通过分饼的操作得到除法的商。

然后把3块饼平均分给4个人的经验推广到把3块饼平均分给5个人，引出分数与除法的关系。

从中可以看出，例6的教学中是用分数的意义寻找结果，教学完后则可以用分数与除法的关系解决。分饼看似简单，由8块、4块到1块，再到3块，却是一个由整数到分数，越来越抽象的过程。

小学生的思维特点是正以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象思维为主要形式。这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。以圆片代替饼，让学生经历分、剪、拼的动手操作，数学活动经验在“做”的过程和“思考”的过程中得到积淀，学生理解起来容易多了。这种理解的直观性、即时性、鲜活性很强，一些学生表面上看可能会接受得较快，可稍后的作业出现众多错误反弹的现象。如何来巩固？

经验表明，学生的智力发展很大程度上取决于由形象思维向概念思维过渡，需要多长时间和经历怎样的步骤。越是抽象性的东西，对形象性的依赖越大。一旦迅速远离几何直观，有些学生的理解就开始变得零碎，甚至归零。学困生尤其如此。这是没有真正学会由具体思维过渡到抽象思维的一种表现，是形象思维和概念思维脱节的一种后果。

二、思维方式的开放化

实物（模拟物）—图像（图形）—表象—抽象，是比较具体的学生由形象思维过渡到抽象思维的四重奏。实物（模拟物）的动手操作由于受客观条件的限制，不可能随时随地进行，需要一种能起到同样作用的辅助手段——利用图形描述和分析问题，借助这种几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。数学中解应用题时经常会借助于画图尤其是线段图，以图形的方式将题目中的关系表现出来。

通过画图，学生对所获得的结论（知识）是确信的，这种信任是一种积极的情绪。这种积极的情绪越强烈，学生对知识越有信任感，这就是知识即信念的含义。当知识没有变成信念，就意味着他对知识不信任，知识就是外在于他的词语而已。而学生对知识的理解越深刻，运用越深入，知识越会成为他的信念。这就解释了“有老师一直告诉学生如果问题没有单位名称要用单位1，有单位名称就用数，而一些学生依然不能学以致用”的原因。

如果不采取这种方式，一些学习有困难的学生未必能学会解题和思考习题的条件。即便如此，他们中有的学生甚至还不会把习题的条件用图形画出来。因为他们不仅不会抽象地思维，而且也不会用“形式、声音、色彩和感觉”来思维。对于这类学生，“应当先教会他们形象思维，然后再逐渐转向抽象思维”较为明智。

比如类似的判断题，2米的■和1米的■相等。辅以画图，用直条（长方形）表示，一目了然。这句话是正确的。

■

图2

图像基础上的表象，在心理学中，是指过去感知过的事物形象在头脑中再现的过程。运用表象，上述画图解答习题的过程可以不用笔在纸上呈现，而在脑中默然完成。

为适合不同层次学生学习的“最近发展区”，根据学生自身的需要提出弹性化的要求是合理的。其中的优化，需要我们准确判断学生的思维处于怎样的程度，然后决定在新授或练习时，是更直观一些，还是更抽象一些。对于学习有困难的学生，需要降低难度，更形象一些以便于理解和向抽象过渡;对优秀生，可以提高标准，更抽象一些以便于从更高层面上把握。

三、练习设计的合理化

鉴于能开放学生的思维方式，那么在设计上述题型的巩固练习时，学生出现画图、文字说明、算式等多样化的解题方式也是可以的。因为在新授后的练习伊始，与结果相比，学生的思维过程显得更为重要。否则一模一样的结果很容易得到，老师很难知道学生是否会了，是怎么思考的，思维处于怎样的程度……如有的学生可能是依赖表象解决的，可学生头脑中的表象老师看不见也摸不着，这时不妨以退为进，以图的形式呈现。退到学生的思维起点和数学现实，进到学生的认知结构和问题实质，进到学生的思维深处和应用策略。这类题的思维过程是后续调整的参考。

同时，为避免学生出现对练习方式单一的疲劳症，在练习时基本训练、分组练习、对比辨析、补充条件、补充问题等形式应穿插使用。为方便说明，仍以本文开始的那道题为例，把3块饼平均分给5个小朋友，   ？

可以让学生先补充问题再解答。学生可以填“每个人分到3块饼的几分之几”，也可以填“每个人分到几分之几块饼”。如果学生填“每个人分到几分之几”，严格地讲，还需要引导学生对所提问题的明确性作出进一步思考：是指“每个人分到3块饼的几分之几”，还是指“每个人分到1块饼的几分之几”？这是两个不同的问题。

基本训练，是对新知的“重复”与巩固;分组训练，是对最近发展区中脚手架的拆除，有利于新知的进一步内化;对比训练消除了学生的思维定势，培养了学生抗干扰的能力;而综合训练，确保学生在最近发展区的范围内有挑战性学习。如此，引导学生在实际应用中对比、深化，归纳出解答这类实际问题的关键所在，进一步拓展提升，形成认知网络体系。

还有一点不容忽视，在练习中我们会发现，有些学生的短时记忆很好，某段时间内的正确率很高，但是过了他的记忆保质期，他的正确率就下降了。除了跟上面提到的思维过渡有关，也很有可能跟巩固的频率相关。所以像这类对学生来说比较抽象的典型题，合理运用艾宾浩斯遗忘曲线（如图3）的规律，在学以致用方面的影响不容小觑。

■

图3

根据艾宾浩斯遗忘曲线，遗忘的发生是先快后慢、先多后少。所以抓住关键期，及时复习很重要，可以赶在遗忘大量发生之前使所学加以巩固，事半功倍。

总之，如华应龙老师的融错教育一般，课堂内外的巩固练习也可以如此。对于一些学生常错的典型题进行研究，如果我们“融化”了，就可以为一种资源。这时的错误，是一种反证，同时对学生、对教师无疑也是一种帮助。只是这种研究需要我们有容乃大，循着实践，不断改进。？筻

对于数学来说，正确答案固然令人欣喜，但一些错误的回答也有价值可寻。通过反思，我们会发现错误本身就是一种资源、一种折射、一种提醒。

例如：“把3块饼平均分给5个小朋友，每个小朋友分得3块饼的（—），是1块饼的（—），是（  ）块饼。”这是苏教版（下同）数学五年级下学期学校数学期中调研卷中的一道填空题，侧重考查的知识点是分数的意义和分数与除法的关系。错误率非常高，而且学生的错误五花八门。我们寻找学生错误的原因，而原因最终都指向对知识点的不完全理解。

这类典型题历来都是五年级学生学习数学时的一个关卡。尽管一些有经验的老师知晓学生常见的错误原因，会小心翼翼地处理好这部分内容的教学，可经过一段时间消化后，仍然会有不少学生踩中“地雷”，收效不尽如人意。这使得笔者开始重新审视这部分内容的学与练。

一、教后反思的深入化

回顾教材，在三年级两次分数教学的基础上，由五年级下册渐进，小学生学习分数才开始逐步完善起来，形成三级台阶。第一级是建立分数的概念，理解分数的意义，例1至例3基本是完成这一级的学习。第二级是建立分数和除法的关系，用分数表示除法的商，用分数表示两个数量之间的倍数关系，把分数化成小数，例4至例9是这一级的学习。第三级是建立分数和比的联系，将在六年级分数除法里完成。

而上述题目横跨第一、二级台阶，其原型可追溯至教材例6。

■

■

图1

在教学时，为了降低坡度，通常会增加一道准备题：“8块、4块、1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？”从整数除法带出商是分数的除法，并通过平均分一块饼的操作得出每人分得■块饼。

在准备题的基础上，继续突出例6平均分的问题用除法计算从而列出除法算式，仍然通过分饼的操作得到除法的商。

然后把3块饼平均分给4个人的经验推广到把3块饼平均分给5个人，引出分数与除法的关系。

从中可以看出，例6的教学中是用分数的意义寻找结果，教学完后则可以用分数与除法的关系解决。分饼看似简单，由8块、4块到1块，再到3块，却是一个由整数到分数，越来越抽象的过程。

小学生的思维特点是正以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象思维为主要形式。这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。以圆片代替饼，让学生经历分、剪、拼的动手操作，数学活动经验在“做”的过程和“思考”的过程中得到积淀，学生理解起来容易多了。这种理解的直观性、即时性、鲜活性很强，一些学生表面上看可能会接受得较快，可稍后的作业出现众多错误反弹的现象。如何来巩固？

经验表明，学生的智力发展很大程度上取决于由形象思维向概念思维过渡，需要多长时间和经历怎样的步骤。越是抽象性的东西，对形象性的依赖越大。一旦迅速远离几何直观，有些学生的理解就开始变得零碎，甚至归零。学困生尤其如此。这是没有真正学会由具体思维过渡到抽象思维的一种表现，是形象思维和概念思维脱节的一种后果。

二、思维方式的开放化

实物（模拟物）—图像（图形）—表象—抽象，是比较具体的学生由形象思维过渡到抽象思维的四重奏。实物（模拟物）的动手操作由于受客观条件的限制，不可能随时随地进行，需要一种能起到同样作用的辅助手段——利用图形描述和分析问题，借助这种几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。数学中解应用题时经常会借助于画图尤其是线段图，以图形的方式将题目中的关系表现出来。

通过画图，学生对所获得的结论（知识）是确信的，这种信任是一种积极的情绪。这种积极的情绪越强烈，学生对知识越有信任感，这就是知识即信念的含义。当知识没有变成信念，就意味着他对知识不信任，知识就是外在于他的词语而已。而学生对知识的理解越深刻，运用越深入，知识越会成为他的信念。这就解释了“有老师一直告诉学生如果问题没有单位名称要用单位1，有单位名称就用数，而一些学生依然不能学以致用”的原因。

如果不采取这种方式，一些学习有困难的学生未必能学会解题和思考习题的条件。即便如此，他们中有的学生甚至还不会把习题的条件用图形画出来。因为他们不仅不会抽象地思维，而且也不会用“形式、声音、色彩和感觉”来思维。对于这类学生，“应当先教会他们形象思维，然后再逐渐转向抽象思维”较为明智。

比如类似的判断题，2米的■和1米的■相等。辅以画图，用直条（长方形）表示，一目了然。这句话是正确的。

■

图2

图像基础上的表象，在心理学中，是指过去感知过的事物形象在头脑中再现的过程。运用表象，上述画图解答习题的过程可以不用笔在纸上呈现，而在脑中默然完成。

为适合不同层次学生学习的“最近发展区”，根据学生自身的需要提出弹性化的要求是合理的。其中的优化，需要我们准确判断学生的思维处于怎样的程度，然后决定在新授或练习时，是更直观一些，还是更抽象一些。对于学习有困难的学生，需要降低难度，更形象一些以便于理解和向抽象过渡;对优秀生，可以提高标准，更抽象一些以便于从更高层面上把握。

三、练习设计的合理化

鉴于能开放学生的思维方式，那么在设计上述题型的巩固练习时，学生出现画图、文字说明、算式等多样化的解题方式也是可以的。因为在新授后的练习伊始，与结果相比，学生的思维过程显得更为重要。否则一模一样的结果很容易得到，老师很难知道学生是否会了，是怎么思考的，思维处于怎样的程度……如有的学生可能是依赖表象解决的，可学生头脑中的表象老师看不见也摸不着，这时不妨以退为进，以图的形式呈现。退到学生的思维起点和数学现实，进到学生的认知结构和问题实质，进到学生的思维深处和应用策略。这类题的思维过程是后续调整的参考。

同时，为避免学生出现对练习方式单一的疲劳症，在练习时基本训练、分组练习、对比辨析、补充条件、补充问题等形式应穿插使用。为方便说明，仍以本文开始的那道题为例，把3块饼平均分给5个小朋友，   ？

可以让学生先补充问题再解答。学生可以填“每个人分到3块饼的几分之几”，也可以填“每个人分到几分之几块饼”。如果学生填“每个人分到几分之几”，严格地讲，还需要引导学生对所提问题的明确性作出进一步思考：是指“每个人分到3块饼的几分之几”，还是指“每个人分到1块饼的几分之几”？这是两个不同的问题。

基本训练，是对新知的“重复”与巩固;分组训练，是对最近发展区中脚手架的拆除，有利于新知的进一步内化;对比训练消除了学生的思维定势，培养了学生抗干扰的能力;而综合训练，确保学生在最近发展区的范围内有挑战性学习。如此，引导学生在实际应用中对比、深化，归纳出解答这类实际问题的关键所在，进一步拓展提升，形成认知网络体系。

还有一点不容忽视，在练习中我们会发现，有些学生的短时记忆很好，某段时间内的正确率很高，但是过了他的记忆保质期，他的正确率就下降了。除了跟上面提到的思维过渡有关，也很有可能跟巩固的频率相关。所以像这类对学生来说比较抽象的典型题，合理运用艾宾浩斯遗忘曲线（如图3）的规律，在学以致用方面的影响不容小觑。

■

图3

根据艾宾浩斯遗忘曲线，遗忘的发生是先快后慢、先多后少。所以抓住关键期，及时复习很重要，可以赶在遗忘大量发生之前使所学加以巩固，事半功倍。

总之，如华应龙老师的融错教育一般，课堂内外的巩固练习也可以如此。对于一些学生常错的典型题进行研究，如果我们“融化”了，就可以为一种资源。这时的错误，是一种反证，同时对学生、对教师无疑也是一种帮助。只是这种研究需要我们有容乃大，循着实践，不断改进。？筻

对于数学来说，正确答案固然令人欣喜，但一些错误的回答也有价值可寻。通过反思，我们会发现错误本身就是一种资源、一种折射、一种提醒。

例如：“把3块饼平均分给5个小朋友，每个小朋友分得3块饼的（—），是1块饼的（—），是（  ）块饼。”这是苏教版（下同）数学五年级下学期学校数学期中调研卷中的一道填空题，侧重考查的知识点是分数的意义和分数与除法的关系。错误率非常高，而且学生的错误五花八门。我们寻找学生错误的原因，而原因最终都指向对知识点的不完全理解。

这类典型题历来都是五年级学生学习数学时的一个关卡。尽管一些有经验的老师知晓学生常见的错误原因，会小心翼翼地处理好这部分内容的教学，可经过一段时间消化后，仍然会有不少学生踩中“地雷”，收效不尽如人意。这使得笔者开始重新审视这部分内容的学与练。

一、教后反思的深入化

回顾教材，在三年级两次分数教学的基础上，由五年级下册渐进，小学生学习分数才开始逐步完善起来，形成三级台阶。第一级是建立分数的概念，理解分数的意义，例1至例3基本是完成这一级的学习。第二级是建立分数和除法的关系，用分数表示除法的商，用分数表示两个数量之间的倍数关系，把分数化成小数，例4至例9是这一级的学习。第三级是建立分数和比的联系，将在六年级分数除法里完成。

而上述题目横跨第一、二级台阶，其原型可追溯至教材例6。

■

■

图1

在教学时，为了降低坡度，通常会增加一道准备题：“8块、4块、1块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？”从整数除法带出商是分数的除法，并通过平均分一块饼的操作得出每人分得■块饼。

在准备题的基础上，继续突出例6平均分的问题用除法计算从而列出除法算式，仍然通过分饼的操作得到除法的商。

然后把3块饼平均分给4个人的经验推广到把3块饼平均分给5个人，引出分数与除法的关系。

从中可以看出，例6的教学中是用分数的意义寻找结果，教学完后则可以用分数与除法的关系解决。分饼看似简单，由8块、4块到1块，再到3块，却是一个由整数到分数，越来越抽象的过程。

小学生的思维特点是正以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象思维为主要形式。这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。以圆片代替饼，让学生经历分、剪、拼的动手操作，数学活动经验在“做”的过程和“思考”的过程中得到积淀，学生理解起来容易多了。这种理解的直观性、即时性、鲜活性很强，一些学生表面上看可能会接受得较快，可稍后的作业出现众多错误反弹的现象。如何来巩固？

经验表明，学生的智力发展很大程度上取决于由形象思维向概念思维过渡，需要多长时间和经历怎样的步骤。越是抽象性的东西，对形象性的依赖越大。一旦迅速远离几何直观，有些学生的理解就开始变得零碎，甚至归零。学困生尤其如此。这是没有真正学会由具体思维过渡到抽象思维的一种表现，是形象思维和概念思维脱节的一种后果。

二、思维方式的开放化

实物（模拟物）—图像（图形）—表象—抽象，是比较具体的学生由形象思维过渡到抽象思维的四重奏。实物（模拟物）的动手操作由于受客观条件的限制，不可能随时随地进行，需要一种能起到同样作用的辅助手段——利用图形描述和分析问题，借助这种几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。数学中解应用题时经常会借助于画图尤其是线段图，以图形的方式将题目中的关系表现出来。

通过画图，学生对所获得的结论（知识）是确信的，这种信任是一种积极的情绪。这种积极的情绪越强烈，学生对知识越有信任感，这就是知识即信念的含义。当知识没有变成信念，就意味着他对知识不信任，知识就是外在于他的词语而已。而学生对知识的理解越深刻，运用越深入，知识越会成为他的信念。这就解释了“有老师一直告诉学生如果问题没有单位名称要用单位1，有单位名称就用数，而一些学生依然不能学以致用”的原因。

如果不采取这种方式，一些学习有困难的学生未必能学会解题和思考习题的条件。即便如此，他们中有的学生甚至还不会把习题的条件用图形画出来。因为他们不仅不会抽象地思维，而且也不会用“形式、声音、色彩和感觉”来思维。对于这类学生，“应当先教会他们形象思维，然后再逐渐转向抽象思维”较为明智。

比如类似的判断题，2米的■和1米的■相等。辅以画图，用直条（长方形）表示，一目了然。这句话是正确的。

■

图2

图像基础上的表象，在心理学中，是指过去感知过的事物形象在头脑中再现的过程。运用表象，上述画图解答习题的过程可以不用笔在纸上呈现，而在脑中默然完成。

为适合不同层次学生学习的“最近发展区”，根据学生自身的需要提出弹性化的要求是合理的。其中的优化，需要我们准确判断学生的思维处于怎样的程度，然后决定在新授或练习时，是更直观一些，还是更抽象一些。对于学习有困难的学生，需要降低难度，更形象一些以便于理解和向抽象过渡;对优秀生，可以提高标准，更抽象一些以便于从更高层面上把握。

三、练习设计的合理化

鉴于能开放学生的思维方式，那么在设计上述题型的巩固练习时，学生出现画图、文字说明、算式等多样化的解题方式也是可以的。因为在新授后的练习伊始，与结果相比，学生的思维过程显得更为重要。否则一模一样的结果很容易得到，老师很难知道学生是否会了，是怎么思考的，思维处于怎样的程度……如有的学生可能是依赖表象解决的，可学生头脑中的表象老师看不见也摸不着，这时不妨以退为进，以图的形式呈现。退到学生的思维起点和数学现实，进到学生的认知结构和问题实质，进到学生的思维深处和应用策略。这类题的思维过程是后续调整的参考。

同时，为避免学生出现对练习方式单一的疲劳症，在练习时基本训练、分组练习、对比辨析、补充条件、补充问题等形式应穿插使用。为方便说明，仍以本文开始的那道题为例，把3块饼平均分给5个小朋友，   ？

可以让学生先补充问题再解答。学生可以填“每个人分到3块饼的几分之几”，也可以填“每个人分到几分之几块饼”。如果学生填“每个人分到几分之几”，严格地讲，还需要引导学生对所提问题的明确性作出进一步思考：是指“每个人分到3块饼的几分之几”，还是指“每个人分到1块饼的几分之几”？这是两个不同的问题。

基本训练，是对新知的“重复”与巩固;分组训练，是对最近发展区中脚手架的拆除，有利于新知的进一步内化;对比训练消除了学生的思维定势，培养了学生抗干扰的能力;而综合训练，确保学生在最近发展区的范围内有挑战性学习。如此，引导学生在实际应用中对比、深化，归纳出解答这类实际问题的关键所在，进一步拓展提升，形成认知网络体系。

还有一点不容忽视，在练习中我们会发现，有些学生的短时记忆很好，某段时间内的正确率很高，但是过了他的记忆保质期，他的正确率就下降了。除了跟上面提到的思维过渡有关，也很有可能跟巩固的频率相关。所以像这类对学生来说比较抽象的典型题，合理运用艾宾浩斯遗忘曲线（如图3）的规律，在学以致用方面的影响不容小觑。

■

图3

根据艾宾浩斯遗忘曲线，遗忘的发生是先快后慢、先多后少。所以抓住关键期，及时复习很重要，可以赶在遗忘大量发生之前使所学加以巩固，事半功倍。

总之，如华应龙老师的融错教育一般，课堂内外的巩固练习也可以如此。对于一些学生常错的典型题进行研究，如果我们“融化”了，就可以为一种资源。这时的错误，是一种反证，同时对学生、对教师无疑也是一种帮助。只是这种研究需要我们有容乃大，循着实践，不断改进。？筻