谈弹簧的弹力和弹性势能

叶正勇

（浙江省衢州第二中学，浙江 衢州 324000）

弹簧是中学物理中常见的研究对象，大量的中学物理问题中均会涉及到弹簧.弹簧问题往往与高中物理的核心规律——牛顿运动定理，能量的转化与守恒规律以及弹力的规律密切相关，从而成为高中物理的重点.然而，教学实践表明，不少的学生在学习了弹簧的相关知识后，在概念、规律的理解上还存在着不少的误区.出现这种现象的原因主要不在学生，而与教师对相关知识的讲解只浮于表面，没有深入透彻的分析有关.本文就弹簧知识的几个核心问题：弹簧模型的特点及弹簧弹力的概念；弹力大小的规律——胡克定理的准确理解及适用范围；弹簧弹性势能的特点等做全面深入的分析，以期提高弹簧知识的教学与学习的效果.

1 在正确建立弹簧模型的基础上准确把握弹簧弹力的概念

弹簧的本质属性是具有弹性（形变后能恢复原状的性质），故弹簧只能模型化为弹性体，而不能模型化为质点或刚体.在中学阶段，学生所学习的最重要的（几乎是唯一的一种）弹性体模型就是弹簧.突出了具有弹性这一本质特征，而忽略了质量、粗细等次要或无关因素的弹簧，称为理想弹簧（或称轻质弹簧，简称弹簧，中学阶段只讨论理想弹簧）.对于理想弹簧，若从质点组的角度来看，可视为由无数个质点（连续介质）所组成的一种特殊质点组，且相邻的质点之间存在着相互的作用力.所谓弹簧的弹力，就是这种质点组中任意两个相邻的质点之间的相互作用力.

在建立了理想弹簧的模型后，中学阶段讲授弹簧弹力的概念时应向学生点明：

（1）弹簧弹力的本质.

弹簧中任意相邻的两部分之间的相互作用力定义为弹簧的弹力.该力起因于所考查的这两部分中的每一部分均发生了弹性形变，且均要恢复原状的弹性.若弹簧处于伸长状态，此时的弹力是相互吸引力；若处于压缩状态，则弹力是相互排斥力.若是只考查弹簧中的某一部分，说到该部分的弹力时，应明确指出是它所受到的弹力还是它所施出的弹力.这样才有确定的含义.

（2）弹力大小的特点.

鉴于理想弹簧的质量不计，发生了弹性形变的弹簧中任意两点的弹力，其大小一定相等.这是因为，以这两点之间的这段弹簧为研究对象，由牛顿第二定律可知，该段弹簧受到的合力为0，故这两点的弹力相等.由于弹力大小的等值性特点（其大小与所考查的弹簧上的点无关），讲到弹簧弹力的大小时，就无需点明是弹簧中哪一点的，而只是笼统地称为是整根弹簧的.在中学阶段，讲到弹簧弹力大小，通常指的是所考察的弹簧两端点的弹力大小（即弹簧对外作用力的大小或者弹簧受到外界作用的力的大小）.一旦将形变的理想弹簧任一端点所受的外力撤去，即该点的弹力为0，则整根弹簧（其上各点）的弹力均变为0，这时，弹簧的形变将立即消失而恢复原长.此外，弹簧弹力大小等值性的特点与所研究的弹簧所处的运动状态无关，即无论弹簧是否处于平衡状态，其上各点弹力的大小均相等.

（3）弹力变化的渐变性特点.

弹簧的弹力起因于它的弹性形变，当受弹簧弹力作用的物体（高中段通常均模型化为刚体）受到的其它力（不含弹簧的弹力）发生变化的瞬间，由于该物体的位置来不及改变，该瞬间弹簧的形变也来不及改变，故它的弹力几乎不变，此即弹簧弹力变化的渐变性，换句话说，此时弹簧的弹力不能发生突变.这是弹簧弹力明显不同于理想轻绳的弹力的重要特征.值得注意的是，不要将弹簧弹力变化的渐变性与弹力大小等值性中所说的弹簧的弹力随着它一端弹力的消失而立即消失的特点相混淆，显然，这两种情形的条件和前提均不同.

2 准确理解胡克定律及其适用范围

实验表明，弹簧弹力的大小与它的形变量（即伸长量或压缩量）成正比，弹力的大小与形变量的比值称为弹簧的劲度系数.这就是胡克定律.胡克定律定量揭示了弹簧弹力大小的决定因素，是弹性力学的基础.为了使学生掌握好该定律，在教学中应阐明：

（1）定律中所涉及的每一个量的确切含义.

一是定律涉及的力是所考察的对象——弹簧的弹力.在一般情形中，该力不是弹簧下悬挂物的重力.二是弹簧的形变量意指处于形变状态下的弹簧的长度与它的自然长度之差.需强调的是，弹簧的自然长度（又称原长）应是弹簧中的各点均不受弹力时（即弹簧处于自然状态下）的长度.如将一根要计重量的弹簧自由悬挂处于静止状态时，其长度就不是该弹簧的自然长度.三是劲度系数是描述弹簧自身属性（弹性）的物理量，由弹簧自身的因素（弹簧的自然长度，材料等）决定，与弹簧所处的状态（形变程度及弹力大小）无关.对于给定的弹簧，其劲度系数是一定值.而不同的弹簧通常劲度系数不同，即它们的弹性不同.劲度系数越大的弹簧，同样形变状态下弹力越大，这种弹簧就越硬.可以证明：在其他因素均相同、仅自然长度不同的情形下，弹簧的劲度系数与它的自然长度成反比.

（2）定律和适用范围.

物理规律是对实验事实的总结，它是在某些特定的条件下，对物理事件的普遍必然联系的反映，因此任何物理规律均有成立的前提条件或适用范围.对于胡克定律的适用范围应明确：

一是对于理想弹簧（即轻质弹簧）胡克定律成立.此时定律中的弹力大小既是所研究的弹簧上任一点的弹力大小（该点两侧相互作用的一对力中任一个力的大小），也是弹簧的两端点中的任一端所受到的外力大小或者两端点中的任一端对外界所施加的作用力的大小.在高中阶段的弹簧问题绝大多数属于这种情形.

图1

二是对处于二力平衡状态下的质量不能忽略的弹簧，胡克定律也适用.这时弹簧弹力的大小同样具有等值性，均等于弹簧的任一端所受到的外力大小.例如用图1所示的实验装置来验证胡克定律，就属于这种情形.图中实验桌水平光滑，弹簧在二力（一个是弹簧左侧的挡板对它的作用力，另一个是砝码的重力通过理想定滑轮对弹簧的拉力）作用下处于平衡状态，此时弹簧中各点的弹力大小均等于砝码的重力大小.

图2

图3

整根弹簧的总伸长量x应为每一小段dl的伸长量dx的累加，积分有

对于图4的情形，将质量为m0，劲度系数为k的弹簧竖起悬挂后再在其下端挂上质量为m的砝码处于平衡状态.此时，弹簧上各点的弹力显然也不同，胡克定理对整根弹簧也不成立.用上面的方法，同理可证明，此时弹簧的伸长量x为

图4

（1）式表明：对整根弹簧而言，弹簧下端的弹力大小（等于砝码重力mg）与弹簧的伸长量并不成正比，但两者具有线性关系，且Δ（mg）/Δx＝k.这就是在高中物理实验中依然采用图4所示的装置来验证胡克定律的原因（实验中所用的弹簧严格来说质量不能忽略）.但应明确的是，图4的实验直接验证的是（1）式，并没有验证本义上的胡克定律.当然，若把弹簧的伸长量规定为，挂了砝码时的弹簧长度与不挂砝码时弹簧长度的差值x′，即规定x′＝xm0g/（2k），由（1）式可知，x′的确与弹簧下端的弹力成正比，即mg＝kx′，若实验验证了mg＝kx′，也就间接地验证了胡克定律.

图5

如图5所示，质量不能忽略的弹簧其一端在恒定外力F（弹簧所受的唯一的外力）作用下做匀加速直线运动（运动方向沿弹簧轴线）.在这种情形中，根据牛顿第二定律，该弹簧上不同点的弹力显然不同，即弹簧上的弹力也不具有等值性，故胡克定律同样不成立.根据前面的思路同理可以证明，此时弹簧的伸长量为F/（2k）.该结论可以从对称性和叠加思想加以解释：在图5中，若弹簧的左端再作用一个大小为F，方向向左的外力，如图6（c）所示，此时，弹簧处于平衡状态，其上各点的弹力大小均等于F，胡克定律成立，因此弹簧的伸长量为F/k.而图6的情形可以视为图6（a）和图6（b）两种情况的叠加；又因为对图6（a）与图6（b）两种情形，外力对弹簧的作用是对称的，弹簧有着相同的伸长量，因此，每一种情况（即图5情形）的伸长量为F/（2k）.

图6

概括以上3点，对于胡克定律适用范围，准确的理解是：胡克定律只适用于弹簧上各点的弹力具有等值性的弹簧，换句话说，对于理想弹簧（无论处于何种运动状态——平衡态以及非平衡态）胡克定律均成立；而对于要计及质量的非理想弹簧，胡克定律并不一定成立，此时需要具体问题具体分析.因此，在高中阶段的实际教学中，考虑到学生的可接受性，涉及到的弹簧均应视为理想化的轻质弹簧，即胡克定律成立的弹簧.

3 准确把握弹簧弹力做功特点，全面深入理解弹簧的弹性势能

图7

理想弹簧可模型化为质点组，如图7所示.图中轻质弹簧（劲度系数为k）两端连接有两只刚性小球A、B，开始时，弹簧处于压缩状态（压缩量为x）.一旦弹簧的状态发生变化，其中的各个质点均有位移，且每个质点又受到弹力作用（来自于弹簧中的与其相邻的其他质点），因此弹力将对每个质点做功.所谓弹簧弹力做的功（简称弹簧做功），其确切的含义是：将弹簧模型化为质点组后，弹力对质点组中的每一个质点所做功的代数和，而每个质点所受到的弹力则来自于与其相邻的质点组中的另外的质点.可见，弹簧做功的实质是弹簧系统的内力（即相邻质点间的弹力）做的总功.对于理想弹簧，弹力做功具有以下特点：

（1）弹簧弹力做的功等于弹簧系统中首、尾两质点以弹力相互作用的一对内力的合功.

在图7中，研究弹簧从图示状态变为自然状态的过程，对该过程的任一元过程，弹簧系统中1、2、3…n－1、n各质点的元位移分别为dx1、dx2、dx3、…dxn－1、dxn，由于是理想弹簧，任意两个相邻的质点间相互作用的弹力的大小均相等，设为F，则该弹簧系统的内力对系统中所有n个质点做的总元功（即弹簧弹力做的元功）为

该式表明，弹簧系统中所有质点相互作用的内力做的总功（即弹簧弹力做的功）可等效为弹簧的首、尾两质点之间存在着弹力相互作用，且等于这一对相互作用的弹力做的合功.

在图7中，考虑到弹簧与刚性球A、B相连，由于A球的位移与质点1的位移相同，为dx1，B球的位移为dxn，且A、B两球受到的弹簧作用力的大小均为F，故上述元过程中弹簧对A球做的功dWA＝dW1，对B球做的功dWB＝dWn，因此得到

此式进一步表明，弹簧弹力做的功（本义是弹簧系统内所有质点间相互作用的内力——弹力做的总功）等于弹簧对与之相连的外物施加的作用力对外物做的总功.

图8

（2）弹簧弹力做的功仅取决于弹簧的初、末状态，而与过程的细节无关.

如图8所示，理想弹簧的一端固定在O点，另一端与小球P（视为质点）相连，小球P的初位置在A点，由于弹簧状态的变化，它的末位置变到B点.在此过程中，弹簧弹力做的功等于弹簧对A球的作用力对A球做的功.设弹簧的自然长度为l0，劲度系数为k，对任一元过程r－r＋dr，弹力做的元功

式中F为该元过程中弹簧对小球的作用力，此力满足胡克定律，r为该元过程小球相对于O点的初位矢，dr是小球的元位移，l是小球在元过程的初位矢的大小，即此时弹簧的长度，dl为小球元过程中位矢大小的变化量，即弹簧长度的变化量.

将上式对上球从A位置到B位置的全过程积分，即得整个过程中弹簧的弹簧做的功W，故有

式中xA、xB分别表示弹簧在初、末位置的形变量.

上式表明，弹簧弹力做的功取决于弹簧的自身属性（劲度系数k）以及它的初、末状态（初、末态弹簧的长度或形变量），而与它从初态变到末态过程的细节无关，换句话说，弹簧的弹力是保守力.

（3）弹簧弹力做的功与参考系的选择无关.

图9

在图8的情形中，若弹簧的另一端并不固定，而是与另一只小球Q相连（见图9），在这种情况下，当弹簧状态发生变化的过程中，弹簧弹力所做的功将等于弹簧对P，Q两球分别做功的代数和.由于弹簧对P的作用力与对Q的作用力具有等大反向共线的特点，这一对力做的合功只取决于相互作用力的特点及变化过程中两球的相对位移.换句话说，这一对力做的合功与参考系的选取无关，无论选择哪个参考系，这一对力的合功都是相同的.因此，在图9的情况下，只要选小球Q为参考系，在此参考系中，求得弹簧对小球P做的功，即弹簧对P、Q两球做的总功.显然，以Q球为参考系，弹簧弹力做的功与图8的情形完全相同，即

从该式也可明显看出，弹簧弹力做的功取决于弹簧自身的属性及其状态的变化，而与参考系的选取无关.

从本质上来说，弹簧弹力做功其实是弹簧系统内部相互作用的内力做的总功，由于成对内力（相互作用的一对力）做功的绝对性（功与参考系的选取无关）必然可得出弹簧弹力做功也具有绝对性（与参考系选择的无关性）.

在全面把握弹簧弹力做功特点的基础上，根据势能的普遍定义，建立了弹簧弹性势能的概念.对于弹簧弹性势能的理解，应明确以下几点.

（1）弹簧弹性势能符合势能的普遍定义.

对某一个力学系统，若系统中相互作用的内力为保守力，即系统中成对的相互作用力做的总功与受力体的路径无关，则可引入与该保守力相对应的势能，且势能的减量（增量的负值）定义为保守内力做的总功.设系统从状态A变化到状态A0，这两个状态的势能分别为EpA、EpA0，则有EpA－EpA0＝WAA0.

根据保守力作用的特点及产生的原因的不同，有不同的保守力就对应着不同的势能.若保守力是重力，对应的势能即重力势能；保守力是万有引力，对应的势能为引力势能；保守力是分子力，对应的势能为分子势能；保守力是电荷间的相互作用力，对应的势能就是电势能等等.

理想弹簧系统的弹力做功也具有与路径无关的特点，即弹簧的弹力也是保守力，因而可引入弹簧的弹性势能.根据势能的普遍定义，弹簧弹性势能的减量定义为弹簧弹力做的功.从前面的分析可知，弹簧弹力做功的本义即弹簧系统中相互作用的内力——弹力做的总功，该功也等于弹簧的弹力对外界做的总功.根据上述定义，弹簧弹力做正功的过程就是弹簧的弹性势能减少（或释放）的过程，从能量转化的观点来看，也就是弹簧的弹性势能转化为其它能量的过程；反之，弹簧弹力做负功的过程，是弹簧的弹性势能增加的过程，也就是其它形式的能量转化为弹性势能的过程.且弹簧弹力做功的数值是弹性势能变化的量度.

就理想弹簧而言，由于它模型化为有弹力相互作用的质点系统，且忽略各质点的质量，因此该弹簧只有弹性势能而没有动能和重力势能.从能量转化的视角来看，当弹簧弹力做功改变弹性势能时，弹性势能的变化（增加或减少）只能来自于与弹簧相接触的外界的其他能与之发生的相互转化，此时的弹力做的功是外界的其它能量与弹簧的弹性势能发生转化的量度.在中学阶段要进行定量研究的主要就是这种情形.

（2）弹簧弹性势能的计算公式.

③弹簧弹性势能的状态性和与参考系无关的绝对性.作为弹簧弹性势能的决定式，从（3）式可知，影响弹簧弹性势能的因素有：弹簧自身的属性（劲度系数）以及弹簧所处的状态（所考察的状态及参考状态的形变量）两个方面，而与其他因素一概无关.因此弹簧弹性势能具有状态性（取决于弹簧所处的状态，而不是过程）和与参考系的选取无关的绝对性.状态性是各种形式能量的普遍特征，而与参考系选择无关的绝对性则不尽然，如动能就与参考系的选择直接相关.是满足胡克定律的弹簧弹力做的功，自然（3）式也只适用于计算遵守胡克定律的弹簧的弹性势能，故在高中阶段计算弹性势能时，均要求是理想弹簧.

（3）弹簧弹性势能的特点.

从弹簧弹性势能的定义及其计算公式，可以看出，弹簧的弹性势能具有如下特点.

① 弹性势能是归属于弹簧系统自身的.谁拥有弹性势能？是发生弹性形变的系统（即弹性体）自身；弹性势能储存在弹性形变的系统内部.对于不会发生形变的物体（如质点或刚体）就没有弹性势能.因此，弹簧的弹性势能应是这根弹簧自身所具有的.

②弹性势能的相对性，弹性势能变化的绝对性.从（3）式可知，弹簧在某一状态下的弹性势能，由于常数C的取值不同，具有不确定性；只有当人为规定了弹簧在某一特定状态（称参考态）下的弹性势能（通常规定为0），即C才有确定的数值后，其它状态的弹性势能才能随之确定.因此，弹簧的弹性势能是相对于参考态而言的，它将随参考态选取的不同而不同，这就是弹性势能的相对性.通常默认取弹簧的自然状态为参考态，即x＝0时，规定Ep＝0，由（3）式得C＝0.在这种情况下，弹簧的弹性势能具有最简单的表达形式

④ 弹簧的弹性势能是广延量，具有累加性.弹簧在某一状态的弹性势能等于在该状态下其中各个部分弹性势能的累加，即总的弹性势能等于各部分弹性势能之和，兹证明如下.

图10

如图10所示，劲度系数为k的理想弹簧在某状态下的形变量为x，设弹簧的原长为l0，则从l－l＋dl的任一小段弹簧的形变量

因此该一小段弹簧的弹性势能为

将这根弹簧上每一小段的弹性势能累加，积分得

可见，结果正好是整根弹簧的弹性势能.因此弹性势能具有累加性.

综上所述，在高中阶段弹簧知识的教学中，为了取得良好的教学效果，使学生深刻理解弹簧的相关知识并能正确解决弹簧问题，关键在于通过透彻的分析阐述，使学生明白：高中阶段所研究的弹簧均是理想弹簧（弹簧的质量跟和它接触的物体的质量相比可忽略的弹簧）.对于理想化的弹簧，其核心知识包括以下几点.

（1）弹簧的弹力意指弹簧中任意相邻的两部分之间的相互作用力，理想弹簧的弹力具有等值性（其上各点弹力的大小相等）.

（2）理想弹簧弹力的大小遵守胡克定律，胡克定律求得的是弹簧上任一点的弹力大小，该大小指的是弹簧中任一点两侧相互作用的一对弹力中任意一个力的大小，且该定律与弹簧的运动状态无关.

（3）理想弹簧弹力做的功意指弹簧系统内力对系统中各个质点做的总功，该功又等于弹簧对外界所做的功；弹簧弹力做的功具有跟路径无关的保守性及参考系的选取无关的绝对性.弹性势能是弹簧自身所具有的，它可以通过弹簧弹力做功与外界的其他能量发生转化，且弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能增量的负值；弹性势能具有相对性（与参考态的选取有关），系统性（归属于弹簧系统自身），绝对性（与参考系的选取无关）以及累加性（总势能等于各部分势能之和）的特点.