多机器人并联绳牵引系统的运动学及动力学解

李 巍，赵志刚，石广田，孟佳东

（兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州730070）

多机器人并联绳牵引系统的运动学及动力学解

李 巍，赵志刚，石广田，孟佳东

（兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州730070）

对于多台机器人通过绳索协同牵引负载的并联系统，考虑了每个机器人与绳索的连接点具有任意移动的3个平动自由度的一般性情况.对该系统建立广义性的运动学方程，分别利用牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程建立系统的动力学方程.根据机器人、绳索、负载三者之间的关系，分成三大类问题，从方程是否有解的角度，分别对各类问题下解的情况进行分析.从实际应用的角度，讨论各种情况下解的处理方法.对于无解或无穷解时，提出解决方法.对于有解时，提出舍去不符合设计要求的解的方法.若存在多组解，则提出一个寻找最优解的方法.通过举例仿真验证系统的运动学和动力学模型并说明解的处理方法.

多机器人系统；绳牵引系统；运动学；动力学

随着机器人技术的发展，为了满足一些应用场合的任务需求，需要多机器人间协同作业.在实际应用中可能遇到多机器人对一大重物的拖曳、吊运、调整重物姿态等操作，该类多机器人系统的特点是通过绳索将负载与机器人相连，其工作特点类似并联机器人，因此可以看成绳牵引并联机器人.该类系统具有低转动惯量、承载能力强、工作空间大、响应速度快、可重构和模块化设计等特点.

20世纪80年代，Landsberger[1]首先设计了一种用于海下作业的3自由度绳牵引并联机构，并对此机构进行了力学分析及控制.Ming等[2]首次提出将绳牵引并联机器人分为两大类：1）当m≤n时，为不完全约束定位机构（IRPM）.其中，m为绳的根数，n为定位物体的自由度数；2）当m≥1+n时，为完全约束定位机构（CRPM）.Ming等[2]考虑的机构是绳的一端连在负载上，另一端是通过固定不动的滑轮连接马达，而不是连在能够移动的机器人上，因此需要做成特定的机构，并且只能通过变化绳长来实现负载的运动，同时负载的工作空间不具有扩展性.Yamamoto等[3-4]研究的不完全约束机构与Yu 等[5]研究的3种6自由度绳牵引门式起重机机器人机构类似，都是绳的一端连在有轨电车上，电车能够在导轨上沿着一个方向移动，这样绳与电车的连接点具有一个自由度，但有一定的局限性.Kumar 等[6-9]建立了m台四旋翼无人机通过绳索协同吊运负载的静平衡方程，其中每个无人机具有3个自由度，但对此系统逆运动学和动力学分析时，主要考虑的是3台无人机的情况；因此，并未分析该类系统有解的必要条件.

针对上述文献中的一些不足，有必要考虑一般性情况.本文研究的m（m≥1）台机器人通过绳索协同牵引负载的并联系统，是在文献[2]的基础上，考虑每个机器人与绳索的连接点具有3个平动自由度的一般性情况.每个机器人与一根绳索相连，负载具有n（1≤n≤6）个自由度，绳长可以变化，也可以不变.于是，每个机器人具有任意移动性，系统变得更加灵活，负载的工作空间可大可小.系统中的机器人间可以随意重组，这样机器人不局限于特定的机构，可以是有特定导轨的吊运车、底座固定的串联机器人、地面上移动的机器人，也可以是空中飞行的无人机等.本文对该系统建立广义的运动学和动力学方程，分析机器人个数与负载自由度个数满足什么关系时达到有解的必要条件，提出对于无解和无穷解情况时的一些解决方法和一个寻找最优解的方法.

1 运动学方程的建立

m台机器人通过绳索协同牵引负载如图1所示，由m根绳和1个n自由度负载组成.本文重点研究的是绳索与机器人连接点的运动情况，未考虑机器人本身，因此可以把机器人看成质点进行分析.由于机器人看成质点，绳索与机器人的连接点Pm即机器人的位置，通过机器人位置的变化和绳长的变化来实现对负载的牵引.负载指的是多绳牵引的不发生变形的刚性物体.绳索与负载的连接点分别用Bm表示.在地面上建立全局坐标系O-XYZ，在负载的质心上建立局部坐标O＇-X＇Y＇Z＇.

图1 绳牵引系统示意图Fig.1 Schematic diagram of cable-driven system

负载质心O＇在全局坐标系的位置为

局部坐标系相对于全局坐标系X轴、Y轴、Z轴的欧拉角分别为γ、β、α，则局部坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵为

式中：c表示cos，s表示sin.

绳索与机器人的连接点Pm在全局坐标系的位置表示为Pm=[xPm，yPm，zPm]T，绳索与负载的连接点Bm在全局坐标系的位置表示为Bm=[xBm，yBm，zBm]T.设bm是Bm在局部坐标系中的坐标，则可得

由Pm、Bm可得绳长公式：

将式（1）～（3）代入式（4）可以得到负载的位置、欧拉角与Pm之间的关系，即系统的运动学方程.同时可以得到推论1：m根绳（即m台机器人）能够建立m个运动学方程.

2 动力学方程的建立

分别利用牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程建立系统的动力学方程，来验证推论2.

2.1 基于牛顿-欧拉方程的动力学

每根绳用零节距的单位旋量在全局坐标系下表示为

设负载的质量为M，则重力用零节距的单位旋量在全局坐标系表示为

负载在全局坐标系的速度和角速度分别为v、ω，则

负载在局部坐标系中的惯性矩阵为I，则在全局坐标系中的惯性矩阵为

设每根绳的张力分别为T1，T2，…，Tm，对负载利用牛顿-欧拉方程[10]可得

式中：I3为3×3单位矩阵.

联立式（5）～（10）可得系统的动力学方程.

2.2 基于拉格朗日方程的动力学

负载质心的动能为

负载的转动动能为

负载的总动能为

负载的重力势能为

建立广义坐标qi分别为x、y、z、α、β、γ的拉格朗日方程：

作用在负载上的广义力为

绳长向量为

系统的雅可比矩阵为

绳的拉力向量为

利用虚功原理[11]可得

联立式（11）～（21）可以得到系统的动力学方程.

通过2.1节和2.2节所建立的动力学方程都可以转换成AT=C的形式，其中A为n×m的矩阵，A与绳向量有关.T为m×1的绳拉力矩阵.由此可以得到推论2：无论是牛顿-欧拉方程还是拉格朗日方程，负载有n个自由度能够建立n个动力学方程.

3 关于三类问题的解的讨论

由于每个机器人与绳索的连接点具有3个平动自由度，有m（m≥1）台机器人，故机器人共有3m个变量.有m根绳，故绳长变量有m个，拉力变量有m个.负载有n个自由度，故有n（1≤n≤6）个变量.

以下讨论中的前提条件是除了一些变量给定固定值外，其他变量默认都与时间t之间存在关系.需要特别说明的是，研究的系统处于非奇异状态，同时利用了文献[2]的一些结论.本节仅是从数学的角度，讨论了各类问题下解的情况，一般须考虑动力学，判断绳的拉力是否满足要求.4章将详细讨论求解的方法.

根据机器人、绳索、负载三者的关系，可以分成三大类问题，详述如下.

3.1 正问题

3.1.1 绳长未知

1）正运动学：已知机器人的运动状态求负载的运动状态和绳长.机器人的运动状态指的是机器人的3m个变量.负载的运动状态指的是负载的n个变量.以下同理.

根据第2章的推论可知，m台机器人能够建立m个运动学方程，故方程数为m个.未知变量为负载的自由度和绳长变量，共有m+n个.由于m＜m+n，方程个数小于未知量个数，该类情况存在无穷解.以下同理.

2）加入正动力学：已知机器人的运动状态求负载的运动状态、绳长和绳的拉力.

根据第2章的结论可知，无论是牛顿-欧拉方程还是拉格朗日方程，负载有n个自由度能够建立n个动力学方程，加入动力学方程后，总方程数为m+ n个.未知变量为负载的自由度、绳长变量和拉力变量，故共有m+m+n个.由于m+n＜m+m+n，方程个数小于未知量个数，该类情况存在无穷解.以下讨论方法同理.可得推论3：当绳长未知时，无论正运动学还是加入正动力学，都存在无穷解.

3.1.2 绳长已知 绳长已知指的是绳的长度不变且已知，也可以是绳长随时间t变化的函数已知.

1）正运动学：已知机器人的运动状态和绳长求负载的运动状态.

运动学方程数为m个，未知变量为负载的自由度，共n个.可以得到推论4：当绳长已知时，正运动学中，当m=n时，方程个数等于未知量个数，该类情况有解.当m＞n时，方程个数大于未知量个数，为了获得解，考虑（m-n）根的绳长未知，可以得到解.当m＜n时，方程个数小于未知量个数，存在无穷解.

2）加入正动力学：已知机器人的运动状态和绳长求负载的运动状态和绳的拉力.

运动学方程和动力学方程总数为m+n个，未知变量为负载的自由度和拉力，共m+n个.由于m+n=m+n，可以得到推论5：当绳长已知时，联立正运动学和正动力学，无论m、n满足什么关系，该类情况都有解.

3.2 逆问题

3.2.1 绳长未知

1）逆运动学：已知负载的运动状态求机器人的运动状态和绳长.

运动学方程数为m个，未知变量为机器人的变量和绳长变量，共m+3m个.由于m＜4m，方程个数小于未知量个数，该类情况存在无穷解.

2）加入逆动力学：已知负载的运动状态求机器人的运动状态、绳长和绳的拉力.

运动学方程和动力学方程总数为m+n个，未知变量为机器人的变量、绳长变量和拉力变量，共3m+m+m个.为了获得解，m+n=3m+m+m，即n=4m.由于m≥1、1≤n≤6且m、n都为正整数，只有当m=1，n=4时，有解.当m=1，n=5、6时，可能有解.除上述情况外，方程个数都小于未知量个数，因此存在无穷解.

3.2.2 绳长已知

1）逆运动学：已知负载的运动状态和绳长求机器人的运动状态.

运动学方程数为m个，未知变量为机器人的变量，共3m个.由于m＜3m，方程个数小于未知量个数，该类情况存在无穷解.

2）加入逆动力学：已知负载的运动状态和绳长求机器人的运动状态和绳的拉力.

运动学方程和动力学方程总数为m+n个，未知变量为机器人的变量和拉力变量，共3m+m个.为了获得解，m+n=3m+m，即n=3m.由于m≥1，1≤n≤6且m、n都为正整数，只有当m=1，n=3和m=2，n=6时有解.当m=1，n=4、5、6时，可能有解.除上述情况外，方程个数都小于未知量个数，因此存在无穷解.

通过上面的分析可以得到推论6：在逆问题中，除了少数几种情况有解或可能有解，大部分情况下，方程个数小于未知量个数，存在无穷解.在实际应用中，逆问题的求解比较重要，因此在4章中将详细叙述解决方法.

3.3 特殊情况

1）运动学：已知机器人和负载的运动状态求绳长.

运动学方程数为m个，未知变量为绳长变量，共m个.由于m=m，且从式（1）～（4）可以看出，绳长公式里根号下全已知，因此可以得到推论7：特殊情况的运动学中有解且唯一，如果已知的是机器人和负载的变量的解析式，那么可以得到绳长唯一的解析式.

2）加入动力学：已知机器人和负载的运动状态求绳长和绳的拉力.

运动学方程和动力学方程总数为m+n个，未知变量为绳长变量和拉力变量，共m+m个.可以得到推论8：特殊情况中联立运动学和动力学后，当m+n=m+m，即n=m时，该类情况有解.当n＞m 时，可能有解.当n＜m时，有无穷解.

4 求解方法

第3章仅从数学中方程是否有解的角度，讨论了各类问题下解的情况，分为无穷解、有解、可能有解3种情况.本节从实际应用角度，讨论求解的方法，其中解方程组、4.3节解的判断和4.4节寻找最优解的方法都可以通过编程实现，求解方法详细描述如下.

1）先确定已知条件和未知条件，根据第3章的分类，确定属于哪一类问题.

2）利用第3章中的推论3～8，根据机器人个数m与负载自由度个数n满足什么关系，判断是否达到有解的条件.

3）若属于无穷解的情况，则按4.1节进行处理.若属于可能有解的情况，则按4.2节进行处理.通过上述处理后，使之达到满足有解的条件.

4）在达到有解的条件后，将已知条件代入式（1）～（4）联立得到的运动学方程和式（5）～（10）或式（11）～（21）联立得到的动力学方程进行求解.

5）除了3.3节运动学中能够获得唯一解析式外，3章中其他问题一般得不到解析式，且大部分是多组数值解，因此从实际应用的角度需要对解进行判断，判断方法见4.3节.

6）对解判断后，会有以下3种结果.

a）在比较多的时刻没有满足要求的解，此时需要调整已知条件，重新求解.

b）对解判断后，一些时刻仍存在多组解.在正问题中，若得到多组解，则可以得到负载在空间可能的位置.在逆问题中，若得到多组解，则需要寻找最优解，具体方法见4.4节.

c）在少量个别时刻无解，考虑插入平均值.若其他某些时刻有多组解，则按b）中的结果处理.

4.1 无穷解的情况

对于无穷解的情况，可以考虑添加约束k个，减少未知量的个数，使方程个数等于未知量个数，从而获得解.其中对一个变量的限制即一个约束.变量的限制可以是变量具体值已知、随时间t变化的函数已知、也可以是各变量之间满足什么关系.如m根绳的张力始终相等，大小未知，相当于添加了m-1个约束.

例如，在3.2节的逆问题中，大部分情况下存在无穷解.在实际应用中，逆问题比较重要，因此考虑添加约束，从而获得解.在3.2.1节中绳长未知时，加入动力学后，方程总数为m+n，未知量总数为3m+m+m.添加k个约束，使m+n=3m+ m+m-k，从而获得解.此时，约束k可以是对机器人的自由度限制、绳长限制和绳的张力限制.在3.2.2节绳长已知时，加入动力学后，方程总数为m+ n，未知量总数为3m+m.添加k个约束，使m+n= 3m+m-k，从而获得解.此时，约束k可以是对机器人的自由度限制和绳的张力限制，此时的情况可以看作是在3.2.1节绳长未知时的基础上多添加了m个约束.

4.2 可能有解的情况

可能有解的原因是方程个数大于未知量个数，造成方程约束过多，有2种结果——有解或无解.此

式中：s表示经过上面解的判断后满足要求的解，s的上标表示时刻，下标表示此时刻满足要求的第几个解；N为总共相减的次数，即圆括号的个数.

若s为机器人坐标值，则Δ表示机器人整体平均速度的倍数，用来考虑机器人轨迹是否平滑.若s为绳的拉力，则Δ表示绳的拉力整体平均变化值的倍数，用来考虑绳的拉力变化是否平滑.若s为绳长，则Δ表示绳长整体平均速度的倍数，用来考虑绳长变化是否平滑.

2）每个变量的多组数值解经过4.3节的处理后，必定在一些时刻数值解的个数小于其他时刻.从解的个数最少时刻出发，分别向上和向下，选择两时刻解的差值离Δ最接近的值.于是，每个变量能够选出少量几条解，由于各个变量之间的解存在对应的关系，各个变量对应的解也能被选出来.

3）由于每个变量都有一个Δ，多个变量可以选出多条解.此时，可以考虑从下面几点中选出最优解，下面几点也可以并用.

a）从实际控制的角度来考虑，比较机器人轨迹平滑度、绳长变化平滑度、绳拉力变化平滑度等哪个更重要，这样便于控制，从而选出最优解.

b）直观比较哪个图更平滑，从而选出最优解.

c）比较每个变量的|Δ|的值，选择|Δ|最小的作为最优解，|Δ|越小，说明变量的值整体变化程度越小，或者在步骤2）中选出的几条解的基础上求Δ，再比较每个变量的|Δ|的值，从而选出最优解.时，需要具体情况具体分析.若无解，则可以考虑减少已知变量的个数，使方程个数等于未知量个数，从而获得解.

4.3 解的判断

1）从解中舍去虚数解、绳的拉力小于等于零和超过绳的张力极限的情况.各个变量之间的解存在对应的关系，因此对应的解要舍去.

2）从解中舍去同一时刻各个机器人间有相同的坐标点的解，否则机器人会碰在一起，还要舍去绳索交错在一起的解.各个变量之间对应的解要舍去.

3）从解中舍去不符合设计前提条件的解，各个变量之间对应的解要舍去.例如，算出来的机器人位置超出了设计范围.

4.4 寻找最优解的方法

1）先求出目标函数：

5 实例仿真

在实际应用中，3.2节的逆问题和3.3节的特殊情况问题应用较多，本节将分别举例仿真说明.5.1 逆问题仿真

根据3.2节的推论可知，无论是逆运动学还是加入逆动力学，3根绳牵引6自由度负载，存在无穷解.按照4.1节的思想可知，运动学和动力学方程总共9个，假设绳长变化且未知，这样绳长变量和拉力变量共6个，还有3个变量.考虑每个机器人都有一个变量，如3个机器人都走直线，行走的位移为变量.机器人可以是门式起重机中的电车[5]，也可以是底座固定的串联机器人或是其他移动机器人等.可以考虑3个机器人的初始位置E1（2.5，51.5）、E2（-2.5，5，1.5）成正三角形，边长D=5 m.3个机器人分别行走的位移为S1、S2、S3，位移与全局坐标系XOY面平行，示意图如图2所示.

设负载是一个正三角形，顶点分别为B1、B2、B3，也是绳索与负载的连接点.质量M=1kg，负载质心O＇到顶点的距离d=0.1 m.设负载质心O＇在全局坐标系中期望的轨迹方程和负载的姿态角方程如下：

可得如图3所示期望的轨迹.该轨迹有6个自由度.

图2 3台机器人位移示意图Fig.2 Displacement schematic diagram of three robots

图3 逆问题仿真：负载期望的轨迹Fig.3 Desired trajectory of payload for inverse case simulation

图4 逆问题仿真结果Fig.4 Simulation results of inverse case

联立第1、2章建立的运动学和动力学方程组，解出每个变量每个时刻有8个值.按照4.3节的方法对解进行处理后，发现剩余的解在同一时刻是相同的，因此，得出每个变量每个时刻只有一个解.绳长随时间变化的曲线如图4（a）所示，拉力变化的曲线如图4（b）所示.每个机器人的位移变化曲线如图4（c）所示.

从图3和式（23）可以看出，负载在向E3点方向靠近；从图4（c）可以看出，机器人2在向E3点方向靠近，因此在图4（a）上反映出绳2和绳3的长度整体呈减少的趋势，绳1的长度呈增加的趋势.由于负载在向E3点方向靠近，图4（c）中机器人3的位移减少.负载在X、Y轴负方向作加速运动，同时向Z轴负方向匀速运动，因此绳与Z轴正方向的夹角减少.为了平衡X、Y轴方向的加速度，所需的拉力会变大，所以在图4（b）中反映出3根绳的拉力都呈变大的趋势.

5.2 特殊情况仿真

对于轨迹已知的地面上移动的机器人或空中飞行的无人机等牵引有期望轨迹的负载时，只能通过变化绳长来实现，因此可以利用3.3节的推论.如3台移动机器人要牵引6自由度负载，根据3.3节的推论7可知，运动学中能够得到唯一解，但为了确认负载期望轨迹能够实现，加入动力学，再根据推论8可知，自由度数多于绳数，可能会无解，如下文的实例仿真无法直接得到解.为了保证有解，考虑将负载的6个自由度分2步进行，先平动3个自由度再姿态变化3个自由度.

设3台移动机器人保持正三角形队形平行于全局坐标系XOY平面，且向Y轴正方向移动，三角形边长D=5 m，3个机器人P1、P2、P3的坐标方程为

设负载是正三角形，参数与5.1节相同.负载质心O＇在全局坐标系中期望的轨迹方程和负载的姿态角方程如下：

式（24）将负载的6个自由度分解成平动和转动2步进行，则得到如图5所示期望的轨迹.

图5 特殊情况仿真：负载期望的轨迹Fig.5 Desired trajectory of payload for special case

联立第1、2章建立的运动学和动力学方程组，解出每个变量每个时刻只有1个值.绳长随时间变化的曲线如图6（a）所示，拉力变化的曲线如图6（b）所示.

图6 特殊情况仿真结果Fig.6 Simulation results of special case

从图5和式（24）可以看出，负载在0～5 s内的轨迹是随着机器人一起移动的螺旋线，因此在图6中绳长和拉力变化都类似于正弦或余弦曲线.图6（a）中，3条曲线在0～5 s时都呈下降的趋势，是因为负载有Z轴正方向的速度，离机器人越来越近，所以绳长有变小的趋势.图6（b）中，3条曲线在0～5 s时都呈上升的趋势，是因为绳与Z轴正方向的夹角增大，绳的拉力Z轴正方向的分力有减少的趋势；为了克服重力，所以绳的拉力有变大的趋势.在第5 s时刻，负载的轨迹发生变化，因此图6（b）中的拉力会发生突变，但2个轨迹是对接的，所以图6（a）中的绳长不会发生突变.在5～10 s内，负载随着机器人一起移动仅作姿态的变化，且变化角度不大，因此在图6中，绳长和拉力变化都平缓.

6 结 论

（1）对该系统建立了广义的运动学和动力学方程，通过分析得到推论1：m个机器人能够建立m个运动学方程.推论2：负载有n个自由度就能建立n个动力学方程.

（2）根据机器人、绳索、负载三者的关系，进行三大类的划分；然后分别讨论各种情况下机器人个数与负载自由度个数满足什么关系时解的情况，即推论3～8.

（3）对于无穷解和可能有解时，提出一些求解方法，考虑添加或减少约束，使方程个数等于未知量个数，从而获得解.对于存在多组解时，提出了舍去不符合设计实际要求的解的判断方法和一个寻找最优解的方法.

本文未详细讨论防止绳索交错的方法，仅是从解上判断.在设计时，须提前考虑每个机器人的空间范围，负载的姿态角不宜偏转过大，来防止绳索交错.本文的研究结果将为多机器人绳牵引系统的设计方案提供参考，同时用于进一步研究系统的刚度、稳定性分析和系统的控制等.

（

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Solutions ofkinematics and dynamics for parallel cable-driven system with multi-robots

LI Wei，ZHAO Zhi-gang，SHI Guang-tian，MENG Jia-dong

（School of Mechatronic Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

The general situation of connection point that has three translational degrees of freedom with free movement between each robot and the cable was considered for the parallel system of multi-robots cooperatively towing a payload by cables.The generalizedkinematic equations of the system were established，and the dynamic equations of the system were established by respectively using the Newton-Euler equation and Lagrange equation.The system was divided into three types of issues according to relation among robots，cables and payload.The situations of solution to allkinds of issues were respectively analyzed from the view whether equations have solutions.Then the processing method was discussed in each case from the view of practical application.When there were no solution or infinite solutions，some solving methods were proposed.When there were solutions，the method of removing the solutions that don’t meet the design requirements was proposed.If there were multiple groups of solutions，a method of searching for optimal solution was proposed.Thekinematic and dynamic model were verified by simulation examples，and the processing method of the solutions was illustrated.

multi-robots system；cable-driven system；kinematics；dynamics

TP242

A

1008-973X（2015）10-1916-08

2015-03-05.浙江大学学报（工学版）网址：www.journals.zju.edu.cn/eng

国家自然科学基金资助项目（51265021）；教育部高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20126204120004）；甘肃省自然科学基金资助项目（1212RJZA067）；教育部科学技术研究重点资助项目（212184）.

李巍（1988—），男，硕士生，从事多机器人技术和复杂系统建模的研究.E-mail：skhkzxx@163.com

赵志刚，男，教授.ORCID：0000-0002-5998-891X.E-mail：zhaozhg@mail.lzjtu.cn