关于高阶行列式的求解方法在教学中的探讨

郑 攀 胡学刚 李 玲

（重庆邮电大学理学院，中国 重庆 400065）

0 引言

行列式的计算是线性代数基本问题之一，特别是关于高阶行列式的计算.从理论上来讲都是可是按定义来求的，但其过程是相当复杂的，而且仅仅使用定义也无法快速计算，还需要其他相关的数学技巧和方法.因此，探讨高阶行列式的计算方法和技巧是相当必要的.本文主要通过举例来探讨和总结了几种特殊的计算技巧和方法—-定义法、化三角形法、范德蒙行列式、递推法、数学归纳法.这对于激发学生的学习热情，促进学生的数学思维发展，培养学生的创新能力，将起着积极的作用.

1 求解方法

1.1 定义法[1]

根据n阶行列式的定义可知其展开式中包含n！项，所以直接使用其定义是相当麻烦的，除非其行列式中0元素比较多，这样可以大大减少行列式展开的项数.除此之外，还可以利用其定义来证明两个行列式相等.下面举例来说明.

例1 设

证明：D1＝D2

证：由行列式的定义有

其中t是排列p1p2…pn的逆序数.而p1+p2+…+pn=1+2+…+n所以有D2＝∑…anpn=D1证毕.

1.2 用化三角形行列式计算[2－3]

将行列式化为上三角形、下三角形或者对角形,从而得出其值.

解：将第2，3，n+1列都加到第1列，可得

提取第一列的公因式b+na，得到

将第 1 列（-a）的倍加到第 2，3，…,n+1 列，可得

1.3 利用范德蒙行列式计算[4]

首先利用行列式的基本性质将所求行列式转化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出所求行列式的值.

解：首先观察Dn中各行元素的特点：分别是一个数的不同方幂，方幂的次数由1递升到n.于是提取各行的公因子，则方幂次数便从0增至n-1，从而可以变成相应的范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果可以得到：

1.4 用递推法计算[5]

这种计算方法其实就是利用Dn和Dn-1的递推形式先建立起两者之间的相应关系，然后再根据此公式代入计算出行列式的值.解：把Dn从第n列拆成两个行列式之和：

上式右端的第一个行列式将第n列的（-1）倍分别加到第1，2，n-1列，右端的第二个行列按第n列展开，于是有

从而有

Dn＝x1x2…xn－1a＋xnDn－1

由此递推，得

Dn－1＝x1x2…xn－2a＋xn－1Dn－2

于是得

Dn＝x1x2…xn－1a＋x1x2…xn－2axn＋xnxn－1Dn－2

如此继续下去，可得

当x1x2…xn≠0时，还可以改写成

1.5 数学归纳法[6]

证：对阶数n用数学归纳法.

因为 D1=cosα，D2==2cos2α-1=cos2α 所以当n=1，n=2 时，结论成立.

假设对于阶数小于n的命题成立，下证对于阶数对于n的该命题也成立.将Dn按最后一行展开，可知

Dn=2cosαDn-1-Dn-2

由归纳假设有

Dn-1=cos n-（）1 α，

Dn-2=cos n-（）2 α

从而可得

所以对一切自然数n结论成立.证毕.

2 小结

只要在高阶行列式计算过程中，按照行列式的一定的计算顺序和步骤进行计算，并且灵活地运用这些解题的技巧和方法，那么既可以在保证快速解题，又能保证计算的正确率，而且还可以将高阶行列式计算变得简单易学.

［1］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版杜，2007.

［2］龚秀芳.高阶行列式求解方法探讨[J].菏泽学院学报,2005(27):73-76.

［3］黄基廷，赵丽棉.高阶行列式的计算方法与技巧[J].科技信息,2010(23):8-9.

［4］曾令淮,段辉明，李玲.高等代数与解析几何[M].北京：清华大学出版社,2014.

［5］钱学明.一类行列式的计算公式[J].河北北方学院学报：自然科学版，2010(26):18-22.

［6］同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版杜，2007.