一类宿主具有垂直传染的媒介传染病模型分析

肖亚男 薛亚奎

（中北大学理学院，山西 太原 030051）

0 引言

传染病是由各种病原体(大部分是微生物，小部分为寄生虫)引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病。一直以来，传染病的流行就是人类生存的大敌，其中媒介传染病是很常见的一种。由于传染病不能采取实验形式进行研究，通过建立传染病动力学模型进行理论性定量研究就显得至关重要，近年来得到了许多显著成果并对传染病的防治起到了重要的作用[1-2]。本文建立了一类宿主具有垂直传染的媒介传染病模型，给出了决定疾病是否爆发的阈值—基本再生数，并对系统平衡点的稳定性进行了分析，最后通过Matlab进行了数值模拟，以图形的形式给出平衡点稳定性的说明。

1 动力学模型

考虑宿主为具有垂直传染和预防接种的SIR模型，假设染病媒介叮咬易感人群使人患病，而易感媒介通过叮咬染病人群而被感染。将人口分为易感类、染病者类和康复类，用SH(t),IH(t),RH(t)分别表示t时刻的易感，染病，康复类的人群数量，NH(t)=SH(t)+IH(t)+RH(t)。假设不考虑因病死亡，用b和b′分别表示非染病者（S+R）和染病者I的出生率系数；d和d′是相应的死亡率系数，γ表示染病者的康复率，q是垂直传染率(p+q=1)，m是对易感者和康复者的新生儿进行预防接种的比例。对于媒介，分为易感，感染两类，用SV(t),IV(t)分别表示t时刻的易感、染病媒介的数量，NV(t)=SV(t)+IV(t)。μ是媒介的出生和死亡率系数。β1表示染病媒介对易感人群的感染率系数，βV表示染病人群对易感媒介的感染率。假设康复者终身免疫该疾病，令b=b′,d=d′，根据仓室模型思想可以得到如下传染病动力学模型：

易知{SH,IH,IV∈∶0≤SH,IH,IV≤1}是式（2）的一个正向不变集。

2 再生数的表达式和平衡点的稳定性

系统（2）总存在无病平衡点E0=(1-m,0,0)。由传染病动力学知识，令基本再生数 R0=。基本再生数表示在发病初期，当所有人均为易感者时，一个病人在患病期间内所传染的人数[3-4]。关于无病平衡点的稳定性我们有以下的结论：

定理一 对于系统（2），当R0＜1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的。

证明 该系统在无病平衡点E0的雅可比矩阵为

其对应的特征方程(λ+b)[λ2+(μ+pb′+γ)λ+μ(pb′+γ)-β1β2]=0

令 f(λ)=λ2+a1λ+a2，a1=μ+pb′+γ，a2=μ(pb′+γ)-β1β2，当 R0＜1 时，a1＞0,a2＞0。根据Hurwitz判据[5],特征方程的根均有负实部，则无病平衡点E0是局部渐近稳定的。

定理二 对于系统（2），当R0＞1时，存在唯一的地方病平衡点E*。

证明 求模型（2）的地方病平衡点E*。 将代入模型（2）中得

当 R0＞1 时，＞0，即系统（2）存在唯一的地方病平衡点。

定理三 对于系统（2），当R0＞1时，地方病平衡点E*是局部渐近稳定的。

证明 该系统在地方病平衡点E*的雅可比矩阵为对应的特征方程为

令 p(λ)=λ3+a1λ2+a2λ+a3，其中+μ+b，a2=(pb′+γ)bβ1β2S+μ)[b(1-m)+γ]。 显然 a1＞0，也容易证明 Hk＞0,k=

2,3。 根据 Hurwitz判据[2]，p(λ)=0 的根均具有负实部。 从而系统（2）在地方病平衡点处是局部渐近稳定的。

3 数值模拟

从数值角度出发，以图形的形式给出平衡点稳定性的说明。图1中仿真所用参数的对应数值为 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.034,β2=0.065,γ=0.045,m=0.7,p=0.3,则 R0=0.1472＜1。图 2 中仿真所用参数的对应数值为 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.36,β2=0.28, γ=0.08,m=0.6,p=0.28,则 R0=0.8860＜1，疾病消亡。

图 3 中仿真所用参数的对应数 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.36,β2=0.28,γ=0.045,m=0.6,p=0.08,则 R0=1.2009＞1。 图 4 中仿真所用参数的对应数值为 b=0.08,b′=0.02,μ=0.6,β1=0.76,β2=0.55,γ=0.0032,m=0.0008,p=0.0004,则 R0=14.7864＞1，疾病流行。