椭圆齿轮渐开线齿形范成法仿真及分析

龚 灯，韩 刚，江本赤

(安徽国防科技职业学院机械工程系，安徽六安237011)

椭圆齿轮是一类特殊的齿轮，其啮合节曲线为椭圆，兼具了圆齿轮和凸轮的特点，能够实现变传动比传动，在仪器行业和制造业中得以广泛应用.但是传统加工方法对于加工椭圆齿轮较为困难，限制了椭圆齿轮的应用.随着近年来伺服控制技术的普及，非圆齿轮的加工和精度控制技术具有较强的现实意义.但是由于椭圆齿轮的节曲线为非圆曲线，滚齿加工、插齿加工时联动轴的(角)速度、(角)加速度变剧烈，加工困难且精度难以保证，研究进展缓慢.

本文利用范成法分析椭圆齿轮毛坯和刀具的位置关系和啮合特性.范成法加工非圆齿轮相当于用齿条刀具加工，其加工原理是通过两齿轮的啮合，包络出非圆齿轮的齿廓［1］.

1 齿轮范成法原理

1.1 椭圆齿轮啮合的位置关系

齿轮范成法是指一对齿轮做无侧隙啮合传动时，利用两轮的轮廓线互为包络线的原理来加工齿轮.为简化计算，可以选用标准齿条进行范成仿真，齿条刀具的齿形为直线，相当于基圆直径无穷大的渐开线［2］.

椭圆齿轮和齿条的啮合过程如图1所示，齿坯节曲线与齿条中线相切，齿条沿着齿坯节曲线纯滚动，如果假设齿坯不动，那么相当于齿条顺时针旋转θ角度，同时齿条平移距离为节曲线上对应角度 θ 的弧长 s［3，4］.

图1 齿轮齿条啮合示意图

1.2 齿条刀具相对齿轮中心的位移

1.3 凸凹性判断及根切校验

对于外啮合椭圆齿轮，节曲线上各点的曲率半径应满足一定的条件［3］:因为当曲率半径为正时，节曲线外凸，曲率半径为负时，节曲线内凹，所以节曲线必须为凸才能满足范成条件，此时偏心率e满足:

其中n为非圆齿轮阶次，对于椭圆齿轮n=2.另外，椭圆齿轮的设计也存在根切现象，为了保证不根切，最小曲率半径应满足:

由以上分析，可计算出在任意极角下的齿条空间坐标位置.

在360°范围内将极角分成n份，n越大，计算出的齿轮齿廓精度就越高，这种方法称为等极角范成方法［5］.

2 范成模拟结果

图2 椭圆齿轮的范成法仿真

图2是椭圆齿轮齿廓模拟仿真的结果，其中齿轮的模数为2，齿数为50，仿真的精度为1°，即极角每转过1°绘制一次齿条.

图3是位置齿形的比较.从图中可以看出，在节曲线的不同位置上，齿形也各不相同，这与圆齿轮是不同的.由渐开线发生原理可知:曲率越小，齿形越平直;曲率越大，齿形鼓起的弧度越大.

图3 不同曲率对齿形的影响

从图3中还可以看出，对于等极角范成方法，不同位置的齿形，范成的精度也不相同.齿形在θ=0和180°邻域内最为稀疏，说明此处齿面精度最低.齿形在θ=90°和270°邻域内最稠密，说明此处齿面精度最高.

3 结语

通过MATLAB可以仿真模拟椭圆齿轮的渐开线齿形，同时还可以动态地展现不同位置齿形的区别.对于研究非圆齿轮范成原理、滚齿加工以及非圆齿轮的加工都具有重要的意义.

［1］姚敏娟，黄金.齿条刀具加工齿轮的虚拟范成实验研究［J］.上海电机学院学报，2009，(2):115－117.

［2］韩刚，黄道业，江本赤，等.基于MATLAB的渐开线齿形范成法仿真［J］.宜春学院学报，2013，(9):68－69.

［3］吴序堂，王贵海.非圆齿轮及非匀速比传动［M］.北京:机械工业出版社，1997.

［4］胡赤兵，姚洪辉.基于MATLAB及Pro/E的参数化非圆齿轮设计［J］.机械传动，2010，(7):33－35.

［5］刘有余，韩江，夏链.椭圆齿轮滚齿加工三维仿真研究［J］.机械设计，2012，(5):50－53.