运用同伦摄动法结合参数展开法求解强非线性问题

闫晓芳，陈 颂

(永城职业学院基础部，河南永城476600)

当前，同伦理论已经成为研究不含有小参数的强非线性系统解的一种有效的解析方法，何吉欢结合同伦理论和摄动法提出了同伦摄动法(HPM).最近又发展了一系列新的摄动理论，并得到了进一步的发展，如人工参数法、参化摄动方法、改进的Lindsted－Poincare法的参数展开法等.这些方法都不将方程中的参数作为摄动参数，而是通过一定的方法(如人为地引进一个摄动参数，同伦技术，线性变换).而对于一些方程，传统的摄动理论已不再适用，因此本文主要将同伦摄动法(HPM)和改进的 Lindsted－Poincare 法［1，2］的参数展开法有效结合，求解一些强非线性振动问题的近似解，所得结果与精确解比较，来验证方法的有效性.

1 同伦摄动法结合参数展开法概述

考虑如下一般方程［3］

式中β，ε为参数且有0≤ε＜∞对此类方程我们还可以有如下解法:

首先，构造同伦如下:

其中p为小参数.其次方程的解u及参数β分别可以展开成p的幂级数，

将式(3)、(4)分别代入方程(2)，并比较等式两端p的同次幂可得到两个二阶线性微分方程，从而易求出其解.

2 方法运用

运用同伦法结合参数展开法求解如下方程

其中0＜ε＜∞.同伦摄动法已经解决不了上述方程，把方程(5)构造同伦重新写成如下形式

其中p∈(0，1).当p=0时，方程(6)变为一线性方程，当p=1时，方程(6)变为原方程(1).

其次将方程的解u及参数0展开如下:

将式(7)，(8)代入式(6)并比较等式两端p的同次幂系数可得

解方程(9)我们可以得到

将其代入式(10)得到

消除长期项可得

若方程只需要求到一阶近似解，则由(8)式得

解出

从而他的近似周期可以写成

而此方程的精确周期用其他方法已求出［4］:

显然他们有很高的近似度.

现在考虑另一非线性系统方程［5］

应用泰勒级数，方程(17)可重新展开成如下形式

对上式构造同伦如下

将方程的解u及参数1展开如下

将式(20)、(21)带入方程(19)并等式两端p的同次幂次数可得到两个二阶线性微分方程

解方程(22)可得u0=Acosωt，将其代入式(23)可得

应用三角恒等式

将其代入式(24)并另含有cosωt项的系数为0可得

3 结论

本文主要将同伦摄动法和改进的Lindsted－Poincare法的参数展开法有效结合来求解一些强非线性振动问题的近似解，所得两个非线性系统的近似周期与精确周期比较，显示了很好的近似度.

［1］He J.Modified Lindsted－Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations，Part I:Expansion of a constant［J］.Int J Nonlinear Mechanics，2002，(2):315－320.

［2］He J.Bookkeeping parameter in perturbation methods［J］.International Journal of Non－Linear Science and Numerical Simulation，2001，(3):257－264.

［3］He J.The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，(2)，527.

［4］Nayfeh A H.Introduction to Perturbation Techniques［M］.New York:Wiley，1981.

［5］He J.Linearization and correction method for nonlinear problems［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2002，(3):241－248.