矩阵Jordan标准型的几何性质

赵云平

摘 要 矩阵的标准型理论是矩阵论中重要的一个方面，本文首先给出了Jordan标准型的定义，同时介绍并推广了Jordan标准型的几何方面的相关定理。

关键词 Jordan标准型 几何 性质

中图分类号：O151.21 文献标识码：A

Geometric Properties of Jordan Matrix Standard

ZHAO Yunping

（Department of Mathematics and Science， Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）

Abstract Standard theory of the matrix is an important aspect of matrix theory， this paper gives the Jordan standard definition， while the introduction and promotion of the relevant aspects of geometric theorems Jordan standard type.

Key words Jordan; standard; geometric; property

矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门很有实用价值的理论。在高等代数线性代数中Jordan标准型是矩阵的一类，Jordan标准型得名于19世纪后期的法国数学家卡米尔·若儿当。1870年，若儿当证明了任何矩阵经过变换可相似于一个“标准型”，即现在所谓的Jordan标准型，从而建立了矩阵Jordan标准型的完整理论。

本文讨论了Jordan标准型的定义和Jordan标准型的一些几何方面的性质。

1 Jordan标准型的定义

定义1：

的方阵称为阶Jordan块。其中可以是实数，也可以是复数。

例如

都是Jordan块。特别的，一阶Jordan块是一阶矩阵。

定义2：由若干个Jordan块组成的分块对角阵

称为Jordan标准型矩阵。其中（ = 1，2…）为阶Jordan块。

例如

是9阶Jordan标准型矩阵。

当J1 = []，J2 = []，…，Js = []都是一阶Jordan块时，J为对角阵，因此对角阵为约当阵的特例。

2 矩阵Jordan标准型的几何性质

（第一分解）定理2.1.1 设是维线性空间的线性变换，（） = …。则：（1） =  是-不变子空间;（2） 令（） = ，则 = ;（3） =⊕⊕…⊕ ;（4） 令 = ，则（） = ;（5） 设是特征值的特征子空间，则有€H选？

定理中的称为属于特征值的根子空间，中的向量称为根向量。

设（）， = 0， ≠0。则存在，使得，（），…（）线性无关，且是（，（），…（））的一个基。在这一基下的矩阵是阶方阵

这里（0，）中0代表对角线上元素全为0，表示矩阵的阶数。称（，（），…（））是循环子空间，，（），…（）为循环基。

（第二分解）定理2.1.2 设是维空间的线性变换， = 0， ≠0，（当然≤）。则 =⊕⊕…⊕ ，

这里是的循环子空间，1≤≤，且（）≥（）≥…≥（）€H？，（） = 。

取的循环基，凑成的基，则在这个基下的矩阵是

（（0，），（0，），…（0，）），这里

，

= （），1≤≤。（0，）称为属于特征值0的阶为的Jordan块。

引理2.1.3 （） = ，  =

证明：（1）€HO（），要证（） = 0

=  +  + …，

（） = 0

： （），（），…，是的循环基，有（） = 0。

= （） + （） + … + （）

（（）） = （） = 0，其中0≤≤， ≥。

所以（）€H铡？

（2）€HO， 要证（）。

又（） = ⊕⊕…⊕

（）€H# =  +  + … + ，从而 = ⊕ ⊕…⊕

=  +  + … +  +  + … + ，要证  = 0， €H伞堋H舨蝗唬瑎HR，€H伞？≠0，：，，…，， = 0，在这组基下的表示矩阵为Jordan块

，

可逆，（）≠0，（）是的不变子空间，也是的不变子空间。

=  +  + … +  +  + … +  + …

（） = 0 + … + 0 + … +  + … ≠0

0 = 0 + 0 + … + 0 +  + … +  + … +

+ … +  + … +  = 0，又≠0，所以 + … +  + … + ≠0，从而产生矛盾。

所以（）。

定理2.1.4（不可分解性）是的维循环子空间，则

（1） 任何含的的-子空间就是它自己;

（2） 任何的-子空间必包含;

（3） 不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

引理2.1.4' 对应的特征值是，阶数为阶，在循环基，，…，下的表示矩阵为endprint

（1）是的-子空间，若，则 = ;

（2）是的-子空间，则;

（3）不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

证明：（1）（） =  +

∵，是-子空间

∴（）， ，有 = （）

€H！  =

（2）€HO€H眨？=  +  + … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

=  + （ + ） + … + （ + ）

=  +  + … +

从而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因为一个空间可分解为两非平凡子空间的直和，这两个子空间的交必须为零，但由（2）这两个子空间至少包含一个非零的向量，所以不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

3 小结

矩阵作为一种基本的数学工具在数学理论及其他科学领域都有十分重要的应用。它不仅是高等代数的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。矩阵的标准型具有结构简单、易于计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。对矩阵的标准型的应用值得做进一步探讨。

参考文献

[1] 沈启钧.确定实非对称矩阵Jordan标准型的一种算法[J].高等学校计算机数学学报，1983.

[2] 王莲花.若当标准型的计算及其应用[J].河南教育学院学报，2001.

[3] 易福侠.矩阵若当标准化的一种新方法[J].大学数学，2009.

[4] 袁俊伟.关于用几何方法求Jordan标准型的注记[J].湖水民族学院学报，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩阵的Jordan标准型[J].合肥工业大学学报，2012.

[6] 张志旭.矩阵标准型的思想及应用[J].佳木斯大学学报，2006.

[7] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 万冰蓉.矩阵若当标准型的另一证明[J].井冈山师范学院学报，2004.

[9] 王世超.高等代数新方法.中国矿业大学出版社，2003.endprint

（1）是的-子空间，若，则 = ;

（2）是的-子空间，则;

（3）不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

证明：（1）（） =  +

∵，是-子空间

∴（）， ，有 = （）

€H！  =

（2）€HO€H眨？=  +  + … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

=  + （ + ） + … + （ + ）

=  +  + … +

从而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因为一个空间可分解为两非平凡子空间的直和，这两个子空间的交必须为零，但由（2）这两个子空间至少包含一个非零的向量，所以不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

3 小结

矩阵作为一种基本的数学工具在数学理论及其他科学领域都有十分重要的应用。它不仅是高等代数的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。矩阵的标准型具有结构简单、易于计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。对矩阵的标准型的应用值得做进一步探讨。

参考文献

[1] 沈启钧.确定实非对称矩阵Jordan标准型的一种算法[J].高等学校计算机数学学报，1983.

[2] 王莲花.若当标准型的计算及其应用[J].河南教育学院学报，2001.

[3] 易福侠.矩阵若当标准化的一种新方法[J].大学数学，2009.

[4] 袁俊伟.关于用几何方法求Jordan标准型的注记[J].湖水民族学院学报，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩阵的Jordan标准型[J].合肥工业大学学报，2012.

[6] 张志旭.矩阵标准型的思想及应用[J].佳木斯大学学报，2006.

[7] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 万冰蓉.矩阵若当标准型的另一证明[J].井冈山师范学院学报，2004.

[9] 王世超.高等代数新方法.中国矿业大学出版社，2003.endprint

（1）是的-子空间，若，则 = ;

（2）是的-子空间，则;

（3）不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

证明：（1）（） =  +

∵，是-子空间

∴（）， ，有 = （）

€H！  =

（2）€HO€H眨？=  +  + … +， ≠0

（） = （） + （） + … +（）

=  + （ + ） + … + （ + ）

=  +  + … +

从而， ≠0， 。

（3）可由（2）得到。因为一个空间可分解为两非平凡子空间的直和，这两个子空间的交必须为零，但由（2）这两个子空间至少包含一个非零的向量，所以不可分解为两个非平凡的-子空间之和。

3 小结

矩阵作为一种基本的数学工具在数学理论及其他科学领域都有十分重要的应用。它不仅是高等代数的一个重要分支，而且已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的有力工具。矩阵的标准型具有结构简单、易于计算等优点，在解决矩阵问题中起着很重要的作用。对矩阵的标准型的应用值得做进一步探讨。

参考文献

[1] 沈启钧.确定实非对称矩阵Jordan标准型的一种算法[J].高等学校计算机数学学报，1983.

[2] 王莲花.若当标准型的计算及其应用[J].河南教育学院学报，2001.

[3] 易福侠.矩阵若当标准化的一种新方法[J].大学数学，2009.

[4] 袁俊伟.关于用几何方法求Jordan标准型的注记[J].湖水民族学院学报，1996.

[5] 徐成亮.任意域上矩阵的Jordan标准型[J].合肥工业大学学报，2012.

[6] 张志旭.矩阵标准型的思想及应用[J].佳木斯大学学报，2006.

[7] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.高等教育出版社，2000.

[8] 万冰蓉.矩阵若当标准型的另一证明[J].井冈山师范学院学报，2004.

[9] 王世超.高等代数新方法.中国矿业大学出版社，2003.endprint