量纲浅析

袁晓玲

摘 要 量纲，是将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式。它是由基本物理量单位表达的式子。因此，它反映了导出量与基本量从属的依赖关系，也反映出物理量的基本属性。提出量纲概念更表现出一种思维形式、认识世界的方法。量纲概念包涵着丰富的思想、方法，有重要的作用。本文就量纲其思想、作用作一浅析。

关键词 量纲 思想 认识规律

中图分类号：O441文献标识码：A

Dimensional Analysis

YUAN Xiaoling

（School of Materials Engineering， Panzhihua University， Panzhihua， Sichuan 617000）

Abstract Dimensionless， is a physical export volume with several basic amount represented the product of a power of expression. It is from the basic equations are expressed in units of physical quantities. Therefore， it reflects the basic amount of the export volume and subordinate dependence， but also reflects the basic properties of physical quantities. The concept proposed more manifest a dimensionless form of thinking and learning ways of the world. Dimensional concepts bear abundant ideas， methods， there is an important role. In this paper， take its ideological dimension and the role as an analysis.

Key words dimension; thinking; understanding

面对多彩的世界，现实繁杂众多的问题，用分类思想、辩证变化的思想看问题是行之有效的认识世界重要的思想方法，也是常用的物理思想。众所周知，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲。它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。它反映出导出量与基本量的依赖关系、从属的关系;尽管导出量与基本量有着不同的物理含义，量纲却也反映出物理量的基本种类属性，①量纲是一种概念，对每个物理量来讲是个具体的式子，对所有的物理量来讲，提出量纲概念更表现出一种思维形式、一种思维方法，相应的量纲分析更反映出物理规律的客观性，物理现象的本质。它也是解决问题的方法。量纲概念包涵着丰富的思想 、方法，对学习、工作都有指导作用。下面就这一问题作一探讨。

1 量纲中蕴含的分类思想—分类是认识世界最基本的方法

（1）基本量与导出量：划分单位制所表现出的分类思想：①每一种单位制中都有基本量与导出量之分（共性）。如在国际单位制SI中，七个基本物理量有长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度，其他物理量都可由此导出叫导出量。典型的例子：由时间、长度导出速度、加速度，再由质量、速度进一步可导出动量能量等等，横看其量纲间的关系反映出物理概念上的层层递进（引进概念目的不同，基本种类属性的不同）、反映出其相互联系、同时也是制约的关系。纵看每一种相同的量纲中又有着丰富的内涵，如从真实力到惯性力，从实位移到虚位移、从有实际位移的功到广义的虚功，或从爱因斯坦所提到的表观质量到真实的质量 =  + （该式表明其质量成了能量的一种量度），皆是因为它们有相同的量纲（基本属性）。众多的物理量（包括物理现象）的量纲统一在七个基本量的量纲中，正所谓一生二，二生三，三生万物。实现了化繁杂为简单、认识物理量基本种类属性的目的，也反映出人们认识过程由简到繁、由浅到深的上升过程。符合人的认识规律。②从实际出发，不同的单位制可以有不同的基本量（个性）。如在工程技术中常用的工程单位制，它选取长度、力和时间作为基本量。②反映出基本量的选取是以解决问题为目的，在简便的基础上突出用途，是与用途紧密相连的。如常用的有工程上的工程单位制、在文献和书刊中用的高斯单位制、在学校普遍使用的国际单位制等（見上），反映出实用的分类思想。

（2）有量纲量与无量纲量：为了区分不同物理量的基本属性，“一类物理量的大小与度量时所选用的单位有关，称之为有量纲量，另一类物理量的大小与度量时所选用的单位无关，则称之为无量纲量”。③这种宏观上的分类，也反映出量纲与物理量的度量单位有关（与自身单位标准有关），长方形物体边长的长与短、运动时速度的快与慢或其质量的大与小其表示都与度量相关，即与测量相关。所以在量纲分类思想中涉及到测量方式标准的问题。另一种无量纲量则牵涉到无量纲化，它既是概念也是方法，更是一种解决实际问题的有力的武器，这种方法在实际问题中往往把基本量作为单位系统，来度量函数关系中的各量，由此得到的量值都是无量纲的纯数，即把有量纲的去量纲化。它是一种更高级的分类，更能反映出各物理量本质上的一种因果联系，当然也是很重要的方法（见后例子）。

2 量纲中蕴含的变化思想—变化是认识世界变化的基础

（1）量纲中的分类思想本身也是一种变化的思想：不同的单位制可以有不同的基本量（见上），从基本量能够得到导出量，有量纲的可以无量纲化，既反映了分类思想的条理性、逻辑性、实用性，更表明其内容有丰富的内涵也有丰富的外延，反映出丰富的变化思想。

（2）量纲中与基本量相联系的变化的思想。基本量是如此重要，如长度、质量、时间等，变化之一是表现在对基本量自身单位的测量上就在不断变化。它是与社会的发展要求相吻合的。如对“一米”的测量，从保存在法国巴黎国际度量衡处的铂铱米原器（米尺）到规定为氪-86原子两个能级间跃迁所对应的辐射在真空中的1650763.73个波长的长度，再到光速的倒数规定为一米，质量从证明惯性质量到引力质量的相等再到寻找质量存在的真正原因（即寻找所谓上帝的粒子）等……;变化之二是对其基本量定义含义的拓展上。如时间空间概念本身具有的相对性（如对同时性的理解），从牛顿力学中绝对的空间及绝对的、真正的和数学的均匀的流逝着的时间，再到爱因斯坦对狭义相对论中与运动的参考系相联系的长度的缩短，时间的延缓，奇妙的更是“时间与空间是相互联系的，并与物质有着不可分割的联系。不存在孤立的时间，也不存在孤立的空间”。④时空具有相对性，却又具有完美的统一性。人们对时空的认识尚是不断变化的加深的过程，即与认识规律相符合的螺旋式上升到一个新高度的过程。可见基本量对自身单位的理解也在变化着，它的发展也是与社会的进步相吻合的。

（3）量纲中辩证思想所体现的变化思想：辩证看问题实际就是从不同角度看问题。一方面物理量的量纲与单位制有关、与度量有关，从另一方面来说，物理现象和物理规律与所选用的度量单位是无关的，⑤它是客观的存在（如图形本身的形状方就是方圆就是圆），它是量纲分析的实质，也是依据，有高度的实用性。下面举例说明。

例1：选一组基本量为单位系统来度量其他物理量，来反映物理本质，作为判断表面表现表现为不同的标准（其物理实质相同）。如流体的流动表现出是各流体质点方向一致的层流还是流动方向各异速度大小不同的湍流，其实质是与流体密度、管道半径、流体流速、及流体的粘滞系数有关的，它可以将多因数综合成一个无量纲的比值 = ，当<1000，流体表现为层流，当>1500，流体表现为湍流，当1000<<1500，流动不稳定，介于层流与湍流之间。⑥虽然实际情况与之有所变化，如人血管内血液的流动，却仍能够估计出其流动的大致情况。抛开了繁杂的现象提出了简易的判断方法。

图1

例子2：直接用量纲比较解决问题。如图1所示，如一个长度为的单摆和一个一端悬挂的长度为的均匀细杆构成的摆从水平位置释放，考虑其周期间的关系：首先从能量守恒角度得出杆与摆的角速度为 = 及 = 的关系，可见当=2/3时即有两种运动任意时刻角速度相同。结论1：可见当=2/3时推及它们的周期相同;再借单摆考虑细杆的周期：大角度时单摆的周期需考虑的因数有摆线长、小球质量、 重力加速度， 和最大偏转角，，周期单位是“”， 从量纲分析出发小球质量量纲“”不会出现在周期公式中，而含“”只出现在重力加速度的量纲“米·秒-2”中，为满足周期单位是“”，所以在任意角度下单摆周期的表达式只能为 =  （）（结合小角度的单摆周期公式）。结论2：均匀细杆构成的摆从水平位置释放其周期也只能是 =  （）;结论3：进一步对于同样长度的杆和摆，则可得出杆的周期是摆的周期的82%。⑦

从上推导可知，两者的关系没有依靠复杂的运算而是依靠量纲的比较而得出。在工程设计中，人们通过量纲分析弄清各量的关系，得出关键的因素，达到了解问题本质的目的。再结合实际经验，帮助人们解决问题。相同的问题出现在现实生活中的方方面面，横向比较与纵向比较，局部与整体、分析与综合，演绎与推理，哪一种方法又不是苦苦寻找解决问题的关键因素呢？简洁明了没有繁杂运算正是人们追求的目标。人生又何尝不是如此呢？

借用德国科学家海森伯在《物理学和哲学》中所说的话作为总结：“当概念变成能用一个数学方案前后一致地表示的公理和定義的系统的一部分时，这确实是事实。这样一般有联系的概念可以应用于广阔领域的经验，并将帮助我们找到我们的途径。…… 这些概念仍然构成了科学方法的一个主要部分。”

注释

① 谈庆明.量纲分析[M].北京：中国科学技术大学出版社，2005.8.

② 赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].北京：高等教育出版社，1978.7.

③ 谈庆明.量纲分析[M].北京：中国科学技术大学出版社，2005.8.

④ 马文蔚等.物理学（下册）[M].北京：高等教育出版社，1999.11.

⑤ 谈庆明.量纲分析[M].北京：中国科学技术大学出版社，2005.8.

⑥ 陈仲本，况明星.医用物理学[M].北京：高等教育出版社，2010.7.

⑦ 彼得.纳德，吉拉.哈涅克，肯.瑞利.200道物理学难题[M].李菘，徐永利，等译.北京：北京理工大学出版社，2004.4.