量纲分析在热力学统计物理中的教学应用*

蓝善权

(岭南师范学院物理科学与技术学院 广东 湛江 524048)

1 引言

每个物理量都有属性，比如：声速、光速、车速，它们具有相同的属性，即速度；长度、时间、速度、温度，它们具有不同的属性.物理量的属性可用“量纲”来表征，但并非每一个物理量都需要指定一个量纲.目前发现7个基本物理量(“基本量”)，分别是长度、质量、时间、温度、物质的量、电流和发光强度，所有其他物理量(“导出量”)都可以由这7个基本物理量导出.例如，压强p的量纲可以写成[p]=ML-1T-2，其中M表示质量量纲，L表示长度量纲，T表示时间量纲，数字表示量纲指数.基于齐次定理和Π定理，物理问题中物理量之间关系的分析称为量纲分析[1～6].下面通过3个例子来阐述它在热力学统计物理中的具体应用[7].

2 量纲分析在热力学统计物理中的运用举例

热力学统计物理中涉及的基本物理量(量纲)是温度T(Θ)、物质的量ν(N)、时间t(T)、长度L(L)、质量m(M)、电流I(I).采用量纲分析法求解问题的思路是：分析找到可能相关的物理量；写出无量纲量等式；列出量纲表；求解量纲指数方程组[8].

2.1 理想气体的碰壁数 即单位时间内碰到单位面积器壁上的分子数

分析：理想气体由理想气体方程描述，碰壁数Γ必然由理想气体方程中的各个物理量所决定.因为碰壁数是强度量，所以涉及的物理量不可能是广延量.从而总结得到可能相关的并且独立的物理量有分子数密度n、分子质量m、玻尔兹曼常数k、温度T.

解：写出无量纲量

Π=n-αm-βk-γT-δΓ

(1)

把涉及的5个物理量的量纲分别列出来，如表1所示.

表1 碰壁数涉及的5个物理量量纲

对无量纲量求量纲，带入上表所示物理量的量纲，得到量纲关系式

dimΠ=[n]-α[m]-β[k]-γ[T]-δ[Γ]=L3α-2γ-2M-β-γT2γ-1Θγ-δ=1

(2)

由上式可以求得量纲指数的方程组

(3)

解得

(4)

(5)

对于该问题，还可以选择其他独立物理量的组合，比如，用压强p替换掉玻尔兹曼常数k，将得到

等等.但不管选用哪一组独立物理量，最终结果都是等价的.

2.2 光子气体的物态方程

分析：钱伯初先生用量纲分析法求出了平衡态的光子气体的内能密度与温度的关系[3].本文采用同样的方法来求光子气体的物态方程.平衡态下，描述光子气体的宏观物理量只有温度T、压强p和体积V，而没有光子的个数，因为光子数是不守恒的.所求物态方程就是关于上述宏观物理量之间的关系的方程p=p(T,V).又因为压强是强度量，与广延量无关，所以光子气体的物态方程可以写成p=p(T).此外，光子是电磁波，可能与光速c有关；光子气体是量子系统，可能与普朗克常数有关；涉及热平衡，还可能与玻尔兹曼常数k有关.

解：写出无量纲量

Π=T-αc-βћ-γk-δp

(6)

把涉及的5个物理量的量纲分别列出来，如表2所示.

表2 光子气体的物态方程涉及的5个物理量量纲

对无量纲量求量纲，代入表2所示物理量的量纲，得到量纲关系式

dimΠ=[T]-α[c]-β[ћ]-γ[k]-δ[p]=Θ-α+δL-β-2γ-2δ-1Tβ+γ+2δ-2M-γ-δ+1=1

(7)

由上式可以求得量纲指数的方程组

(8)

解得

(9)

从而得到Π=T-4c3ћ3k-4p，即

(10)

2.3 零温时自由电子气体的简并压

解：写出无量纲量

Π=n-αm-βq-γћ-δk-σp

(11)

把涉及的6个物理量的量纲分别列出来，如表3所示.

表3 简并压涉及的6个物理量量纲

对无量纲量求量纲，代入表3所示物理量的量纲，得到量纲关系式

dimΠ=[n]-α[m]-β[q]-γ[ћ]-δ[k]-σ[p]=

L3α-2δ-2σ-1M-β-δ-σ+1I-γTγ+δ+2σ-2Θσ=1

(12)

由上式可以求得量纲指数的方程组

(13)

解得

(14)

(15)

3 总结与讨论

本文例举了量纲分析在热力学统计物理中的应用.由3个实例可知，量纲分析简单而实用，它基于物理量的属性来寻找涉及某个问题的物理量之间的关系，有助于对问题本质的理解、构建清晰的物理图像.就算是把定理公式给忘记了，也可以通过量纲分析推导出来.量纲分析除了在教学中有应用，在科学研究中的应用更广泛[9～11].但是量纲分析的缺点也很明显，即它是一种半定量的方法，无法得到待定参数Π.该参数需要由实验或其他方法得到.