一种新型径向复合阶梯盘形压电变压器

李 果，林书玉

（陕西师范大学 物理学与信息技术学院，陕西 西安 710062）

传统的变压器都是利用电磁感应原理来升高或降低电压，即是电磁变压器.这类变压器在大功率电子和电力应用技术中，获得较好的效果.但是，其组成结构体积较大，工作时容易受电磁干扰影响，且电磁变压器固有的漏磁现象和电磁辐射会对环境造成一定的污染.随着微电子技术迅速地发展，传统的电磁变压器很难满足新的应用要求，压电变压器应运而生.压电变压器与传统的电磁变压器相比有较多的优势，例如:体积小、质量轻、高功率密度、高效率、避免电磁干扰等［1－6］.压电陶瓷变压器的输入端压电振子在交变电场的驱动下通过逆压电效应产生机械振动，将电能转化为机械能，输出端压电振子将这机械能通过正压电效应转化为电能输出实现变压.压电变压器工作时，其振动模式可分为伸缩振动、剪切振动和弯曲振动.人们采用不同形状结构的压电振子和振动方式来达到不同的应用目的［2－9］.最早应用的是Rosen型伸缩振动模式压电陶瓷变压器，这种变压器的理论分析已经比较成熟，为了提高这类变压器的功率，对其提出了多层复合结构并加以广泛应用［6，11］.随后，圆盘形点环结构的径向振动模式压电变压器也得到关注.

本文在单层点环结构的基础上提出一种新型径向复合的盘形压电变压器，其结构为单层点环结构压电变压器的两个压电振子之间加入一个阶梯金属圆环，能够增加机械强度，并且可以通过改变阶梯金属圆环的厚度比来实现阻抗变换，进而提高压电变压器的性能［8，10－11］，在谐振状态下能获得更高的电压增益，在最佳负载下能保证更大的功率效率.文中利用等效电路法这种新型的压电变压器的径向振动进行分析，计算得到其输入阻抗、共振频率、反共振频率、电压增益和功率效率，进而寻找到优化其特性的方法，并得到其最佳阶梯厚度比.

1 复合压电陶瓷变压器及其径向振动特性分析

新型径向复合阶梯盘形压电陶瓷变压器如图1所示.其分为3部分，1、3部分为沿厚度方向极化的压电振子，2部分为阶梯型金属圆环.1部分的半径为a，2部分的内、外半径分别为a、b，3部分内外半径分别为b、c.整个盘形压电变压器的内、外盘的厚度分别为ha、hb.当a、b、c≫ha、hb，在1部分给予一个沿厚度方向的外部驱动电场EZ，变压器可以产生厚度与径向振动模式，本文只考虑径向振动.

图1 径向复合阶梯盘形压电陶瓷变压器的几何示意图Fig.1 Diagram of the radial composite step disc piezoelectric ceramic transformer

值得注意的是，变压器的径向复合结构会给其装备带来一些难度，同时，压电变压器不同部分之间的预应力会影响到变压器的性能.

1.1 压电陶瓷薄圆盘的径向振动

如图2所示的压电陶瓷薄圆盘为本文的压电变压器的1部分.该压电陶瓷薄圆盘沿厚度方向z极化，其厚度为ha，半径为a，Fra、Vra分别是外界对圆盘的径向作用力和径向速度.

图2 厚度极化的压电陶瓷薄圆盘的几何示意图Fig.2 Diagram of the thin thickness polarized piezoelectric ceramic disk

压电薄圆盘径向振动的波动方程为

径向应力为

由压电方程可得电位移

其中:是自由介电常数，对于简谐振动，根据（4）式可得通过压电盘的电流

图3 压电陶瓷薄圆盘径向振动的机电等效电路Fig.3 Electro-mechanical equivalent circuit of the thin piezoelectric ceramic disk in radial vibration

1.2 阶梯金属圆环的径向振动

图4所示为图1的第2部分.如图所示，该阶梯金属圆环的内、外半径分别为a、b，截面跃变处的半径为d.内环、外厚度分别为ha、hb.

图4 阶梯形金属薄圆环的几何示意图Fig.4 Diagram of the thin step metal ring

先只考虑阶梯金属圆环中的内环，如图5所示，其厚度、内、外半径分别为ha、a、d.内外半径上所受径向力和径向速度分别为－Fra、－vra和Frd、vrd.

图5 阶梯形金属薄圆环内环的几何示意图Fig.5 Diagram of the inner thin metal ring

其径向振动方程为

径向应力为

其中:Sa＝2πaha，Sd＝2πdha，

根据（8）、（9）式可以得到金属薄圆环径向振动的机电等效电路如图6所示.

图6 阶梯形金属薄圆环内环径向振动的机电等效电路图Fig.6 Electro-mechanical equivalent circuit of the inner thin metal ring

同理，阶梯金属圆环外环径向振动的机电等效电路如图7所示.

图7 阶梯形金属薄圆环外环径向振动的机电等效电路图Fig.7 Electro-mechanical equivalent circuit of the outer thin metal ring

图7中

1.3 压电陶瓷薄圆环的径向振动

图8所示为图1的第3部分，图中压电陶瓷薄圆环的厚度、内半径和外半径分别是hb、b和c.压电陶瓷圆环在内、外半径上的径向力和振动速度分别是－Frb、－vrb和Frc，vrc.

图8 厚度极化的压电陶瓷薄圆环的几何示意图Fig.8 Diagram of the thin thickness polarized piezoelectric ceramic ring

压电陶瓷圆环的波动方程为

径向应力公式

其中:ξr3＝ξr3（r，t）是压电陶瓷圆环径向振动位移，E′Z是其厚度方向的电场，并且

根据（10）、（11）式，结合利用边界条件可得

其中

对于简谐振动，由（14）式可得通过压电陶瓷圆环的电流

图9 压电陶瓷薄圆环的径向振动的机电等效电路图Fig.9 Electro-mechanical equivalent circuit of the thin piezoelectric ceramic ring in radial vibration

2 径向复合阶梯盘形压电变压器的特性分析

2.1 径向振动等效电路

利用图3、6、7、9可以得到径向复合阶梯盘形变压器径向振动的机电等效电路如图10所示.

图10 径向复合阶梯盘形变压器径向振动的机电等效电路图Fig.10 Electro-mechanical equivalent circuit of the radial composite step disc piezoelectric transformer in radial vibration

压电陶瓷环在边界r＝c处自由，即Frc＝0，图10中c-c端应该短路.

考虑以1部分压电陶瓷薄圆盘作为输入端，以3部分压电陶瓷薄圆环作为输出端，假设输出端负载为Z，即将V′Z加载于阻抗为Z的负载上，结合图10可得，b-b端的阻抗为

d-d端的阻抗为

a-a端的阻抗为

压电变压器径向振动的输入阻抗为

2.2 电压增益及功率效率分析

此处只考虑压电变压器的一阶振动.当输出端开路时，即Z＝∞，利用共振频率方程Ze＝0和反共振频率方程Ze＝∞，可计算出压电变压器输出端开路时的共振频率fS和反共振频率fp，机电耦合系数keff，其中keff＝［1－（fs/fp）2］1/2.

不同尺寸下，理论计算和ANSYS模拟的共振频率如表1所示，理论计算和ANSYS模拟共振频率非常接近，证明了理论分析的可靠性.选取尺寸时，径向尺寸要远大于厚度尺寸，并且压电变压器中阶梯金属圆环的内外环厚度之比应该小于5.改变其内外环厚度之比，可以达到改善整个压电变压器性能的目的.

表1 不同尺寸下的共振频率的理论计算和ANSYS模拟结果Tab.1 The resonance frequency of theoretical calculation and ANSYS simulation results under different size

选取尺寸:a＝12.5mm，d＝15mm，b＝17.5 mm，c＝22.5mm，ha＝1.5mm，hb＝4.5mm，计算可得压电变压器输出端开路时阻抗频率特性曲线如图11所示.理论计算:其共振频率为450 05Hz；反共振频率为485 98Hz.ANSYS模拟:其共振频率为449 09Hz；反共振频率为483 52Hz.

当时Z＝1 000Ω，由（16）式可得压电变压器输入阻抗的模值｜Ze｜与频率的关系曲线如图12所示，其共振频率为43 890Hz；反共振频率为47 545Hz.

结合图10可推导出压电变压器的电压增益为

根据（17）式可计算出在不同负载下，电压增益模值随频率变化的曲线如图13所示.当变压器负载无穷大时，其电压增益就在共振频率处取得最大值；当变压器负载为1kΩ时，其电压增益在共振频率附近取得最大值.

图11 压电变压器输出端开路时输入阻抗频率特性曲线Fig.11 The input impedance frequency characteristic curve of the piezoelectric transformer when the output terminal is open-circuited

图12 压电变压器输入阻抗的模值与频率的关系曲线Fig.12 The relationship between the amplitude of input impedance and the frequency of the piezoelectric transformer

压电变压器的电压增益不仅是频率的函数，它还随着负载变化而变化，压电变压器在不同频率下的负载特性如图14所示，固定频率，压电变压器的电压增益随负载增加而增加，当负载增加到某一值时，压电变压器的电压增益几乎保持不变.

图14 不同频率下压电变压器电压增益模值的负载特性曲线Fig.14 The load characteristic of the amplitude of voltage gain of the piezoelectric transformer under different frequencies

图15 不同负载下压电变压器效率模值随频率变化的关系曲线Fig.15 The relationship between the amplitude of efficiency and the frequency of the piezoelectric transformer under different loads

图16 不同频率下压电变压器效率的负载特性Fig.16 The load characteristic of the efficiency of the piezoelectric transformer under different frequencies

2.3 最佳阶梯厚度比

选取尺寸:a＝12.5mm，d＝15mm，b＝17.5 mm，c＝22.5mm，ha＝1.5mm，令τ＝hb/ha，并且压电变压器输出端处于开路状态.压电变压器的最大电压增益随阶梯厚度比的变化关系如图17所示，其最大电压增益模值与τ值不存在简单的单调变化关系.如图18所示，压电变压器的最大电压增益对应的频率就是其共振频率，随τ值增大而减小.反共振频率亦示随τ值增大而减小.如图19所示，压电变压器的机电耦合系数随τ值的增大而减小.针对该尺寸的这种压电变压器，结合图17和图19可知，当τ选取为1.6时，压电变压器获得最大电压增益模值，并且能保证其有较大机电耦合系数.

图17 压电变压器最大电压增益模值随τ的变化曲线Fig.17 The relationship between the amplitude of the maximum voltage gain and of the piezoelectric transformer

图18 压电变压器共振与反共振频率随τ的变化曲线Fig.18 The relationship between the resonance and anti-resonance frequency and of the piezoelectric transformer

图19 压电变压器机电耦合系数随τ的变化曲线Fig.19 The relationship between the electromechanical coupling coefficient and of the piezoelectric transformer

3结论

本文提出一种新型径向复合阶梯盘形变压器结构，并采用等效电路方法对其分析.得到该变压器的机电等效电路、频率方程、电压增益、功率效率的解析式.结果表明，压电变压器的电压增益在其共振频率附近获得最大值，不同负载下的电压增益最大值对应的频率会不同程度的偏离其共振频率；固定频率时，变压器的电压增益随负载的增加而增加，随负载增加其增益增加速度减小从而增益几乎保持不变；压电变压器的功率效率在其共振频率和反共振频率附近取得最大值；在变压器工作频率内，存在一个最佳负载使压电变压器的功率效率达到最大值；通过分析阶梯厚度比与最大电压增益及机电耦合系数的关系，可以确定最佳的阶梯厚度比为1.6.

［1］黄涛，文忠，谌青青，等.径向振动压电变压器的研究进展［J］.电子元件与材料，2011，30（3）:71-74.

［2］黄以华，周康源，施俊，等.径向振动压电变压器的等效电路模型及特性研究［J］.电子学报，2002，30（11）:1585-1588.

［3］Kuo-Tsai Chang，Hsuang-Chang Chiang，Kuo-Sheng Lyu.Effects of electrode layouts on voltage gain characteristics for ring-shaped piezoelectric transformers［J］.Sensors and Actuators A，2008，141:166-172.

［4］Gao Farong，Hu Hongping，Hu Yuantai，et al.An analysis of a cylindrical shell as a piezoelectric transformer［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2007，20（2）:163-169.

［5］Lu C F，Yang J S，Wang J，et al.Power transmission through a hollow cylinder by acoustic waves and piezoelectric transducers with radial polarization［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，325:989-999.

［6］白辰阳，桂治轮，李龙土.多层压电变压器基本工作特性的研究［J］.压电与声光，1998，20（6）:377-381.

［7］Lin Shuyu.Study on the radial vibration of a piezoelectric ceramic thin ring with an inner metal disc［J］.Journal of Physics D:Applied Physics，2006， 39:4673-4680.

［8］栾桂冬，张金铎，王仁乾.压电换能器和换能器［M］.北京:北京大学出版社，2005.

［9］Lin Shuyu.Radial vibration of the combination of a piezoelectric ceramic disk and a circular metal ring［J］.Smart Materials and Structures，2007，16:469-476.

［10］刘世清，林书玉，王成会.锥形剖面环形聚能器径向振动等效电路研究［J］.陕西师范大学学报:自然科学版，2005，33（3）:31-34.

［11］Lin Shuyu，Xu Chunlong.Analysis of the sandwich ultrasonic transducer with two sets of piezoelectric elements［J］.Smart Materials and Structures，2008，17:65-72.