弹性材料层表面失稳的解析解

孟吉祥， 吴枝根

（合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

完全粘接的柔性基底和较硬材料表层在侧面受到压力作用时，容易在较硬材料层的表面引起失稳，便可形成皱纹或皱折［1－2］。一方面，表面失稳起皱可能引起弹性层在刚性支撑面上产生剥离［3－4］甚至断裂［5］，导致相 关器件 不能正 常工作。另一方面，失稳起皱的模式可以用于测量弹性层的几何和物理参数［6－7］、调节相位光栅［8］、制备光学传感器［9］以及柔性电子产品［10］等。此外，研究弹性层表面的失稳对探讨地质构造的褶皱、地壳的屈曲和史前的造山运动也有一定的理论意义［11］。

弹性层表面稳定性问题近年来引起了大量力学工作者的关注。通过对受压橡胶体表面失稳的线性扰动分析，文献［12］提出了超弹性半空间体表面失稳的临界压应变与材料弹性常数无关，并预测了均质弹性层表面失稳的临界应变，但这个结果后来经实验被认为是偏高的［13］。对于刚性基底上不同硬度的双层结构凝胶层，若表面层较软，其表面失稳的临界条件由表面层的材料参数决定；但表面层较硬时，失稳的临界条件要远低于表面层较软的情况［14］。文献［15］利用形变势能的二阶变分得到了梯度材料层中关于增量位移的平衡微分方程，给出了双层结构弹性层和梯度材料弹性层表面失稳临界条件的有限元数值解。

由于梯度材料层中关于增量位移的平衡微分方程很难得到解析解［15］，本文将其退化为均质材料层的平衡微分方程，并对其进行求解；通过解析法分析均质材料弹性层表面失稳的临界条件，以及均质层表面失稳的临界应变和材料参数之间的关系。在此基础上，本文又对双层结构的弹性层模型进行分析，给出了双层结构弹性层表层与里层的厚度比、弹性模量比与临界应变和临界波长的关系。

1 单一均质弹性层表面失稳分析

图1所示为厚度为h的弹性材料层，上表面为自由面，下表面与刚性平面完全粘接，坐标轴x1位于弹性层的自由面，x2沿弹性层的厚度方向。材料的本构关系为：

其中，σij为应力张量；εkl为应变张量。弹性张量Cijkl满足对称关系：

图1 弹性材料层模型

在平面应变状态下，弹性层两侧受平行于x1方向的压力作用。当两侧压力增加到某一临界值时，弹性层将由稳定平衡转变为失稳状态，并随着变形的增加在表面形成皱纹或皱折。将侧向压力作用下表面稳定时的应力状态作为基础应力状态，对应的应力分量记为，则应力分量满足平衡微分方程：

应力边界条件为：

假设弹性层材料均匀且各向同性，则弹性参数与拉梅常数λ和μ的关系为：

为了确定弹性层在侧向压力作用下的表面失稳的临界条件，通过对弹性层在基础应力状态下形变势能的二阶变分等于0，可以得到平衡方程［15］：

其中，Δui表示xi方向的增量位移；Δui，kl表示Δui连续对xk和xl求偏导；表示临界应力。应力边界条件为：

设增量位移的特征模式［14－15］为：

将（6）式代入（4）式、（5）式可得：

位移边界条件为：

解微分方程（7）式可得：

其中，A1、A2、A3、A4为待定常数。

将（10）式代入边界条件（8）式、（9）式，得到关于待定常数的4个线性齐次方程，矩阵形式为：

其中，待定常数矩阵A＝［A1A2A3A4］T；系数矩阵为：

弹性层表面失稳的临界条件是（12）式有非零解，因而系数矩阵（13）式的行列式必为0，即

由（14）式可见，临界应力与波数ωh、拉梅常数μ和λ都相关。如果考虑：

其中，E、ν分别为材料的弹性模量和泊松比。由（11）式可得p、q与E无关，由（13）式可得方程（14）与E也无关。因此（14）式可简化为：

可见，临界应变只和材料的泊松比有关，而与弹性模量无关。由图2所示的临界应变与波数的变化关系发现，临界应变随着波数的增加而减小，当波数约大于12时，临界应变基本保持不变，说明均匀弹性层的表面失稳形式是波长不确定的短波模式；随着泊松比的增加，临界应变却在减小。本文得到的弹性材料的临界应变明显低于橡胶材料预测的临界应变［12－13，16］。

图2 临界应变与干扰波数ωh的关系

2 双层结构弹性层表面失稳分析

考虑弹性层为2层完全粘接的均质材料结构，其中表层的厚度为hf，里层的厚度为hs，即表层和里层分别位于0≤x2≤hf和hf＜x2≤h。对于每一层，增量位移的特征模式仍然可设为：

其中，k＝1表示表层，k＝2表示里层。微分方程中的（10）式在双层材料中形式为：

其中

对于双层结构弹性层，除了要满足边界条件（8）式、（9）式，表层和里层的界面还应满足连续条件：

双层结构弹性层表面失稳的临界条件为：

由（24）式可见，双层结构弹性层的临界应变不仅与各层的拉梅常数有关，还与层厚比有关。

3 算例分析与比较

图3 临界应变与正则化的干扰波数ωhf的关系

图4 临界应变、临界波长2π／（ω＊hf）与厚度比hs／hf的关系

由图4可知，本文得到的理论解与文献［1］的结果吻合得很好，验证了本文理论解的正确性。

4 结束语

通过求解均质弹性层增量位移表示的平衡微分方程，利用边界条件和界面连续条件，得出了均质层和双层结构弹性层表面失稳临界条件的解析解。对均质弹性层的分析结果表明，临界应变只与材料的泊松比有关，而与弹性模量无关，失稳形式为波长不确定的短波模式。对于双层结构的弹性层，临界应变随着表层和里层的弹性模量比的增加而减少，而临界波长在增大；当里层和表层的厚度比增加时，临界应变在减小，而临界波长在增大，失稳形式为长波模式。

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