解决带电粒子在有界磁场中作圆周运动的圆心的三种途径

杨军 白琼燕

摘    要： 带电粒子在有界磁场中做圆周运动的问题综合性较强，是高中物理教学的重点和难点，也是历年高考的一个热点。解决这类问题既要用到物理学中的洛仑兹力、圆周运动的规律，又要用到数学中的平面几何的相关知识。其中解决问题的关键是确定圆周运动的圆心，只有找到圆心的位置，才能正确做出粒子的运动轨迹，运用物理规律和数学知识解决问题。本文给出三种找圆心的常用途径。

关键词： 带电粒子    有界磁场    圆心

途径一：两个方向定圆心

理解：这里的两个方向指粒子在磁场中运动的任意两点（一般为入射点和出射点）的速度方向，由于向心力的方向与线速度方向始终互相垂直，洛伦兹力（即向心力）沿半径指向圆心，知道两个点的速度方向，画出粒子轨迹上两个点对应的洛伦兹力，其交点即为圆心。

如图甲所示：P为入射点及其速度方向，M为出射点及其速度方向;可通过入射点和出射点分别作出垂直于入射方向和出射方向的直线（如图乙），两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。

甲                                           乙

例1.如图1所示，一个质量为m，电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。

解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点O即为粒子做圆运动的圆心，由图可以看出，轨道半径为

r=■=■    ①

洛仑兹力提供向心力qBv=■    ②

由①②解得r=■，B=■

射出点的纵坐标为（r+rsin30°）=1.5r，因此射出点坐标为（0，■a）。

途径二：一个方向一条弦定圆心

理解：这里的一个方向指粒子在磁场中运动时任意一点及其速度方向及轨迹上的另一点;可以连接这两个点得到一条弦，分别作出弦的垂直平分线和已知速度方向的洛伦兹力的作用线，则两条线的交点即为圆心。

如图（a）（b）所示，A点为粒子的入射点及其速度方向，b点为出射点，只要连接A、B并作出其垂直平分线和过A点的洛伦兹力作用线，两条线的交点即为圆心。如图（C）（D）

（a）                 （b）                       （c）                    （d）

例2.如图所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为■。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v的取值范围。

解析：带电粒子射入磁场后，由于速率大小的变化，导致粒子轨迹半径的改变，如图所示。

当速率最小时，粒子恰好从d点射出，由图可知其半径R■=■，再由R■=■得v■=■

当速率最大时，粒子恰好从c点射出，连接ac并作出垂直平分线，与入射方向的洛伦兹力的作用线相交于O点。

由图可知其半径R■满足R■■=L■+（R■-■）■，即R■=■，

再由R■=■得v■=■

电子速率v的取值范围为：■≤v≤■

途径三：一个方向一个角定圆心

理解：这里的一个方向指粒子在磁场中运动时入射点及其方向，而一个角指粒子通过磁场区后速度的偏向角（入射方向与出射方向的夹角），只要作出偏向角的补角的平分线和入射点洛伦兹力的作用线，两线的交点即为圆心。

例3.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（不计重力）从O点以初速度v0沿x轴方向进入磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与+y方向夹角为θ=30°，OP=L，求：

（1）磁感应强度的大小和方向。

（2）该圆形磁场区域的最小面积。

解析：过p点沿v■的反方向作延长线交x轴与A点，则∠OAP即为偏向角的补角，作该角的角平分线与入射点O的洛伦兹力的作用线，两线的交点即为圆心O′，OO′为粒子运动的半径，如图所示，设半径为R，粒子在Q点飞出磁场，

由几何关系有（L-R）sin30°=R，所以R=■L

由牛顿第二定律有qv■B=m■，故R=■

由以上各式得磁感应强度B=■

（2）设磁场区的最小面积为S

由几何关系得直径■=■R=■L

所以S=π（■）■=■L■

参考文献：

[1]杨文彬.600分考点700分考法[M].北京：外语教学与研究出版社，2014（6）.

[2]张松林.三维设计[M].北京：光明日报出版社，2009（6）.