结合“理论、实例、文化”，实现线性代数“有效教学”

王发兴　郑莹

线性代数教学中应合理安排内容的讲授顺序，在抽象概念和定理讲解中引入恰当的生活实例，激发学生的学习兴趣，同时应加入线性代数的文化背景和思想内涵，提升整个教学的层次，进而实现真正的“有效教学”。

线性代数理论实例文化有效教学线性代数作为理工科院校的一门必修课程，是学生学习后续专业课程的重要基础，是培养科技创新能力的载体，也是解决实际问题的有力工具。其特点是概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容抽象且相互纵横交错、环环相扣。

一、目前线性代数教学存在的问题

本文研究的该课程教学对象是非数学专业的学生，目前，在教学中凸显的问题主要有：不同版本教材内容编排顺序各有特点，有些版本的编排脉络较混乱，不尽符合知识点积累的自然规律，给教师授课和学生理解造成困难；教学课时客观上较紧，教师难以在较短时间内完全讲透抽象概念；课程内容缺乏具体的应用实例，难以联系实际理解知识，影响学生的学习积极性；教学中普遍忽略了文化内涵，包括数学的历史、思想、精神、方法、观念、语言等人文元素的认知以及数学思维、技能等素质的训练，一味就概念讲概念，缺乏内涵、枯燥乏味，达不到真正的教学目的。

如何让学生轻松的进入到线性代数的学习中来，了解理论的背景，使课程生动起来、连贯起来，且能在较短时间内掌握核心内容且能熟练应用到现代科技中解决实际问题，是值得所有线性代数教学工作者深思的问题。本文主要论述线性代数的理论、应用、文化特征，并将三方面有机结合，进而在实现该课程的“有效教学”。

有效教学，就是在符合时代和个体积极价值建构的前提下其效率在一定时空内不低于平均水准的教学。有效教学的“有效”，主要是指通过教师在一种先进教学理念指导下经过一段时间的教学之后，使学生获得具体的进步或发展。“教学”，是指教师引起、维持和促进学生学习的所有行为和策略。它主要包括三个方面：一是引发学生的学习意向、兴趣，教师通过激发学生的学习动机，使教学在学生“想学”“愿学”“乐学”的心理基础上展开；二是明确教学目标，教师要让学生知道“学什么”和“学到什么程度”；三是采用学生易于理解和接受的教学方式。

二、实现线性代数有效教学的三个方面

1.合理的讲授顺序使教学内容清晰贯通

目前，工科院校非数学专业线性代数课程内容主要涉及六个板块：行列式、矩阵、n-维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。从库洛什的《高等代数》和我国的《高等代数》（线性代数）的教学内容的安排来看，線性代数中的主要对象、基本理论基本都是按照线性代数的历史发展的脉络进行的。但目前各教材内容编排顺序各有特点，比如，行列式的概念早于矩阵，有教材先讲行列式；Cramer法则早于求解线性方程组的消元变换，有教材也先讲Cramer法则；矩阵是线性代数最重要的概念和符号，有教材也先讲矩阵。

线性代数独立作为一门课程，不考虑其发展史，任何一种方式都可以展开讲解，但基于该课程的特点，内容顺序的安排又显得至关重要，这直接关系到学生学习的效果。

对于教学对象来讲，由于线性代数的概念和思维模式与高中阶段有较大的不同，如果“一上来就讲n阶行列式”，这样导致的结果是学认为既不好懂，也不知有什么用，况且用行列式解线性方程组也不实用。如果一开始就引入矩阵，虽然简单，但不知道为何要学这样一个概念。对于进大学一年级的初学者来讲，笔者认为如果通过线性方程组切入则易于理解，且能和高中知识较好衔接。

线性代数的起源也是解线性方程组，方程组作为主线贯穿于线性代数，在引入方程组后，对其解进行初步研究，去掉未知量和一些符号后就可自然的引入矩阵，这是学生容易接受的，进而利用矩阵理论研究向量组的理论，再用向量空间的理论表达方程组解的结构。这种模式用线性关系（相关、无关）、秩等概念描述n维向量和矩阵的某些本质属性，刻画线性空间中子空间的关系，揭示线性方程组的解的结构，并将线性方程组、矩阵与线性空间、线性变换紧密联系起来，就较好的完成了线性代数的公理化结构的构建。在此之后再通过方程组引入行列式，而行列式的定义则可根据不同层次学生的需求给出不同的定义方式，如n！项求和、按行（或列）展开、三角形行列式对角线乘积等等。在充分掌握了基本工具和方法之后，展开特征值与特征向量（相似、对角化）、二次型等知识的讲解就会较为轻松，进而也会取得较好的教学效果。

美国近几十年的线性代数教材在内容安排上基本都是遵循从线性方程组出发的模式。当然，在实施中必须还应该结合学生的实际掌握情况作及时调整，与学生沟通、互动、交流，让学生学会，这也是教学的主要目的。

2.恰当的生活实例让抽象理论鲜活生动

线性代数的重要作用主要是能把头绪纷繁的事物按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于被一些表面看起来杂乱无章的关系迷惑，它还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系，是我们求解问题时候“数形结合”的途径。

教学中，要求教师不单用严格的语言、严谨的证明论述课程内容，更应将抽象的内容具体化，吸纳来自计算机、物理、工程、经济、生物、航天、航海等学科的实例与知识，以及数学其他分支的知识。在充分激发学习兴趣的同时，让线性代数活起来，将学生带入课程内容的思考和钻研当中来，进而能够掌握扎实的理论功底，且能学以致用。

好的实例可以调节气氛、明确知识，学生甚至可能因此对这么课产生浓厚的兴趣，下面简要介绍两个在教学中引入的实例：

（1）用逆矩阵进行保密编译码

在讲解逆矩阵时，通过密码破译问题，可以加深对逆矩阵概念的理解、应用价值的升华。

如在英文中有一种对信息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译。为避免频率特征，做好保密工作，可以利用逆矩阵来进一步保密。

对照表：

a b c d e f g h i j k l m n o …… x y z 空格

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …… 24 25 26 0

明文： he is in England

密文： 8 5 0 9 19 0 9 14 0 5 14 7 12 1 14 4

为消除频率特征，可用逆矩阵知识加以保密。

（2）向量组的极大线性无关组解决配药问题

在讲解抽象的向量组的线性相关、无关性以及最大无关组的内容概念时，通过中成药药方配制问题可引发兴趣且充分理解向量的表示以及向量空间等知识。

例：某药厂用9种中草药（A-I），根据不同配比制成了7种药物，各用量成分见表1（单位：克）。

现在由于3号和6号药脱销，问是否可以用其他5种药配制3号和6号特效药？

解：把每一种特效药看成一个九维列向量，记为α1，α2，…α7，分析7个列向量构成向量组的线性相关性，若向量组线性无关，则无法配制脱销的药；若向量组线性相关，并且能找到不含α3，α6的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。

记A为上述表构成的矩阵，A化为如下行最简矩阵：

A→A1

O4×7， 其中A1=1 0 1 0 0 0 0

0 1 2 0 0 3 0

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1

从最简矩阵可以看出，R（A）=5，且可以找到不含α3，α6的一个最大线性无关组，令α3=α1+2α2，α6=3α2+α4+α5，因此可以实现脱销药品的配制。

另外，用矩阵知识处理3D图像数据、航空运输业航班调度问题，用线性方程组解决经济学中著名的投入产出模型、化学方程式中的配平、IC集成电路设计中数百万个集体管的仿真软件设计、（k，n）门限方案中的应用模型，特征值和特征向量在 Google网页搜索排序中的应用等方面的实例都可以较好的引入到教学当中。这对于学生开阔眼界，拓宽思路，激发他们学习本门课程的兴趣将大有益处，为实现有效教学迈了一大步。

3.博大的数学文化使内涵思想融入生活

线性代数自身的抽象性和抽象程度比一般数学学科要高，学生不但因此感到学习困难，而且感到离现实生活太远，相当部分学生采取模仿式学习。如果在教学中揭示线性代数的思想内涵、抽象性概念的现实背景，用哲学的高度感受該课程，让学生体会到线性代数其实是万变生活的缩影，是现实生活的高度抽象化，它渗透在生活的每一个角落，以此提高学生对数学的理解力，培育学生的精神品质，提升逻辑分析能力。

一般讲，数学思想文化应包含：数学自身 、数学教育、数学史、数学的应用（工具性）、数学思维、数学艺术、数学美学及数学的社会效应等。具体讲，在数学课的教学中应突出所学概念、定理、公式历史存在的因由、它们隐含的思想、方法及应用。下面简要举例说明如何引入文化教学以及它的重要性。

（1）方程组求解变形“掌握规律，化繁为易”

消元法解线性方程组是1800年左右Gausss用于解决天体计算和后来大地测量计算中的最小平方问题时提出的（中国九章算术中有消元解3 ×3的线性方程组），消去法的重要意义在于，它不仅可以作为线性方程组的普通求解方法，还能以简短的迭代来表达整个求解过程， 是现代计算方法中一个基本的演算法，完全可用于计算机自动处理，可以认为消元法是计算机科学与数学的结合点。高斯消去法用矩阵表示相当于初等矩阵作用给定矩阵将它化为阶梯形矩阵或行最简形，这是用矩阵语言对线性方程组解法的进一步简化。从中反应出事物发展的本质过程，让学生领会透过现象看本质，用简单的方式解决复杂的问题，进而将矩阵方法应用到现代科技发展中。

（2）向量组最大无关组“变中不变”

在向量组的教学中，向量组的最大无关组作为向量组最本质的部分，也是刻画向量空间的核心工具，应该在教学中融入“变中有不变”的思想。最大线性无关组当中增加一个向量就线性相关了，减少一个向量就无法刻画整个向量组。而一个向量组的“最大线性无关组”往往不是唯一的，会有多个甚至无穷多个，这就是“变”。但在这种变中又有一个“不变”的东西，即“最大线性无关组”中向量的个数。这种在事物变换中不变的东西具有某种稳定性，能反应出事物的本质特征。

另外，用矩阵初等变换求方阵的逆矩阵时，通过乘以一个单位矩阵来推导求逆方法，这种“无中生有”方式所体现的“创新思想”，用矩阵对角化求解方阵的n次幂问题中所体现的“化大为小，化未知为已知”的思想等都应该在理论教学之后对学生进行充分的讲解，将数学文化思想真正的融入到教学当中。

三、结语

线性代数这门课程教学历史较短，在我国作为一门独立课程时间也不长，而近代信息与计算机技术的发展，使得线性代数成为现代科技世界的复杂的多变量控制系统和计算的数学，许多数学软件都借助于线性代数。未来该课程与现代计算机技术的结合必须实施，也是今后线性代数发展的重要方向，这也给线性代数教育工作者给出了新的启发和新的研究方向，而真正意义上的“有效教学”的教学必须将“理论、应用、文化”全面融入到教学当中。

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