是巧合，还是规律？

陈心红

一、问题的发现

笔者在讲解苏教版选修2-2第一章《导数及其应用》1.1.1《平均变化率》一节例3时，发现一个有意思的现象：函数f（x）在4个不同区间上所得的平均变化率刚好和其对应区间端点的和相等.当时一个奇怪的想法在脑海里闪现：怎么这么巧啊！课堂上笔者没来得及多往深处去想.

在做书本练习第4题时，发现该题的函数和例3的一样，只是区间复杂了一些，当时也没有多想，刚好作为当堂检测及时巩固一下所学知识.本以为学生应该很快算出结果，可算了好长时间才算出结果，有的学生还把结果算错了，有的学生甚至没算出来.笔者当时冒出一个想法：这题的函数f（x）在4个不同区间上所得的平均变化率不会刚好也和其对应区间端点的和相等吧？如果真是这样，那也太巧了吧！当学生把结果报出来时我真的很吃惊.笔者禁不住想，这是巧合，还是有什么规律？这巧合得让人感觉不是巧合.笔者引导学生：从该题的结果中能否发现什么现象？学生很快就发现了函数f（x）在区间上所得的平均变化率刚好和其对应区间端点的和相等.笔者紧接着问学生：这是巧合，还是必然？请同学们课下研究.

笔者课下立即研究.现将这两题先呈现如下：

二、问题的分析

笔者先尝试着考虑更一般的问题模型：

三、问题的深化

笔者不禁考虑更一般的情况，能否把函数由此推广到关于变量x的n次方整式函数中呢？即对形如

下面证明此结论：

由平均变化率的公式可得函数f（x）在区间[s，t]上的平均变化率为

这样借助n次方差公式就可以用求和公式表示所有次方数为非负整数的多项式构成的函数在区间[s，t]上的平均变化率.

參考文献：

[1]张彬.必然还是偶然[J].中学数学教学参考（上旬），2010，10.

[2]单墫主编.普通高中课程标准实验教科书.数学（选修2—2）[M].南京：江苏教育出版社，2013.

[3]单墫主编.普通高中课程标准实验教科书.数学（选修2—3）[M].南京：江苏教育出版社，2013.