大学课堂数学建模意识的培养方法研究

2014-12-20胡正菊

陕西教育·高教版 2014年1期

胡正菊

当前，大学中的数学课堂主要是以传授课本上的理论知识为主，虽然也十分注重培养学生的知识应用能力，但主要是解题能力，很少涉及到解决实际问题的能力，存在着严重的“重理论、轻应用”的思想现象。事实上，现实生活中的诸多社会科学和自然科学问题，并不是以一个简单的数学问题的形式呈现出来的，需要学生通过数学建模的方式发挥数学概念、方法和理论的实际应用价值，因此，学生的数学建模能力在将理论知识转化为实际应用过程中发挥着重要作用。

数学建模的概念与基本过程

本德（E.A.Bender）认为：“数学模型是将现实世界中的部分问题抽象、简化为一定的数学结构，由此达到运用数学方法解决实际问题的目的。”也即是进行抽象、简化、假设、引进变量等一系列的处理之后，通过建立的数学模型来表达实际问题，随后再运用数学理论、计算方法以及先进的计算机技术进行求解，从而顺利地解决实际问题。

数学建模往往要经历以下几个步骤：（1）调查研究。建模者需要对实际问题的内在机理和产生背景进行全面、深刻的了解。（2）抽象简化。建模者需要掌握实际问题中的核心因素并理清各因素之间的关系，提出合理的假设，从而将实际问题转化为数学问题。（3）建立模型，也就是将实际问题转变成某种数学结构。（4）求解模型。建模者不仅要具备数学上的解题能力；而且还要能够熟练应用Mathtype、Matlab、Spss等软件。（5）分析模型，也即是从数学理论和实际意义的角度来分析所求出的解。（6）检验模型。运用求解结果来检验所建立的模型是否能够真实反映实际问题。（7）修改模型。对诸如变量取舍、变量类型、已知条件进行调整，从而使模型中的因素配置更加合理。（8）应用模型。建模者需要运用求解结果来指导实际工作或者是对未来进行预测和估计。

由此看出，数学建模是一项系统工程，既需要深厚的数学理论知识，同时也需要一定的灵活运用知识的能力和创新能力，尤其是要掌握丰富的建模方法和技巧，由此提高建模质量和效率，增强学生的知识应用能力。

当前高校数学教学存在的问题

首先，在授课内容上，我国高等院校的数学课程主要立足于数学内部的理论结构及其之间的逻辑关系，重点培养学生对特定数学理论、数学公式的掌握、应用及其推导能力，存在明显的重理论、轻应用，重经典、轻现代，重运算技巧、轻数学方法，重分析、轻数值计算的倾向。

其次，在教学方法上，当前的数学教学活动变得越来越形式化，往往通过频繁的解题活动，锻炼学生的理论应用能力和逻辑思维能力等。这虽然使学生具备了丰富的理论知识和高水平的解题能力，但面临实际问题的时候，却无从下手，不知如何将实际问题转化成数学模型，由此运用已有的数学知识达到求解的目的。

第三，在数学应用方面，也仅仅停留在古典几何和物理上，忽视了实际工程或者是日常生活中的诸多数学问题，致使学生的数学知识与实际应用之间存在严重的脱节，不仅无法培养学生应用数学理论、数学方法和数学模型解决实际问题的能力，而且也无法与自身的专业课形成有效的衔接，从而大大降低了学习质量。

最后，在大学数学课堂上，教师往往采用注入式的教学方法，单纯注重知识讲授和重复性的训练，师生之间缺乏必要的沟通和交流。这既不利于培养学生的自主学习能力和创新能力，更不利于激发学生的学习积极性。

学生数学建模意识的培养途径

1.将建模思想融入数学概念

诸多数学概念是基于现实需要而产生的，是其他理论和实际应用的基础，因此，在数学课堂上，应从实际问题出发，说明数学概念的产生背景与产生原因，使学生从抽象模型中认识到数学概念是因实际应用的需要而产生的，由此增强其数学建模意识，培养应用数学概念解决实际问题的能力。刘徽对于“割圆术”理论的描述为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”除此之外，我们可以采用求曲边梯形面积“直”与“曲”可以相互转化的思想作为原型来解释定积分概念，即“化整为零取近似，聚整为零求极限”。

2.将建模思想融入实际应用

从某种程度上来说，在大学课堂中引入数学建模思想并不是打破传统的教学内容或者是教学秩序，而是在讲解数学知识的过程中体现数学建模思想，激发学生积极、主动的建模意识，由此提高知识的实际应用能力。比如在讲解微分方程的时候，我们可以采用以下案例：假设某地区大面积流行传染病，总人数为N，其中x（t）为携带病毒人群，y（t）为健康人群，并假设在特定的时间内，一个病人传染的人数与健康人数量成正比，并且比例系数为K，因此:

这一抽象模型正好与Verhulst阻滞增长模型十分类似，通过可分离变量法求解微分方程可以得到：

由此可以发现，携带病毒人群x（t）随t单调增加。如图1所示，当其趋向于无限大时为该地区总人数N，也即是所有人都会被感染病毒。这是最恶劣的病毒传播现象，实际上感染者不会达到环境所允许的最大容量，但却能够最大程度接近N。

图1 单位时间内感染人数的变化曲线

图2 感染者的增长速度曲线

由dx/dt=kx（t）[N-x（t）]可以看出，右边的公式是x（t）的二次函数，基于dx/dt=-[x（t）-N/2]2+kN2/4，因此，当x（t）为N/2的时候，dx/dt的最大值取kN2/4。如图2所示，这表明该地区病毒感染人数的增长速度在N/2的时候达到最大值。

3.将建模思想融入数学教学方法

在解决实际问题的过程中，传统数学课中所讲解的一些数学方法仍然呈现出重要的实际应用价值，因此，将数学建模思想融入数学方法讲授的过程，同样能够极大地激发学生的数学建模意识，由此形成利用数学知识解决实际问题的良好习惯。比如利用导数求函数曲线在特定位置的曲率，利用一阶导数、二阶导数求特定函数模型的极值等，都呈现出重要的实际应用价值。在讲授积分上限函数的过程中，应当补充这样的函数模型，因为类似的函数求导问题往往会应用于报童的策略模型之中。在大学数学课堂上，数学教师不仅需要系统介绍各种方法的应用方式和应用环境,而且还要分析其解决实际问题的方式与策略，由此培养学生数学建模意识，增强学生解决实际问题的能力。