囚禁于简谐势＋四次势阱中两组分旋转玻色爱因斯坦凝聚体

陈光平

（1.四川文理学院 物理与机电工程学院，四川 达州635000；2.中国科学院国家授时中心时间频率基准重点实验室，陕西 西安710600）

0 引言

自1995年人类首次在实验室实现稀薄碱金属原子气体的玻色爱因斯坦凝聚实验以来，关于玻色爱因斯坦凝聚体的研究一直是一个热点问题.作为典型拓扑结构破缺的涡旋，广泛存在于诸如超流3He，2He等领域，近几年来吸引了各类理论和实验物理学家的兴趣.随着实验和工程技术的发展，人们从旋转的玻色爱因斯坦凝聚体（BECs）中观察到单个涡旋结构，[1-2]加快凝聚体的旋转速率，会出现更多的涡旋，甚至会出现成百上千个涡旋.[3-6]通常人们把玻色爱因斯坦凝聚体囚禁于简谐势阱中，但是当玻色爱因斯坦凝聚体的旋转频率接近囚禁简谐势的振动频率ω⊥时，强大的离心力将使得势阱约束力减弱导致凝聚体散落；为了克服这一局限，最近实验上通过蓝谐激光耦合构造一个四次势阱，再将它与简谐势阱结合，形成一个简谐势＋四次势的新势阱，因四次势阱的存在，加强了势阱对凝聚体的约束，凝聚体在这种势阱中以较小速率Ω旋转时，系统不会出现涡旋，随着旋转速率Ω增加，涡旋数目逐渐增加，最后形成一个大的涡旋格子.在这种简谐势＋四次势的势阱中，即使旋转速率Ω＞ω⊥，凝聚体也不会散落，而且会进一步形成更多的涡旋格子；但是当角速率大于一个临界值Ωc时，凝聚体的中心会出现一个空洞，中心部分的涡旋消失.再进一步增加旋转速度时，凝聚体的基态会形成一个巨大的环状结构，涡旋完全消失.[7]最近也有作者研究耦合中心双势阱中旋转玻色爱因斯坦和自旋轨道耦合作用下的基态问题.[8-10]

基于上述研究，本文主要研究两分量旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态结构.研究旋转频率、原子种间相互作用强度对涡旋结构的影响，以期发现它们对凝聚体性能的作用规律.

1 基态的理论模型

本节主要研究在一个二维（x，y）平面内，囚禁于简谐势＋四次势阱中的旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态模型，势阱函数描述为：

g11为第一类原子种内相互作用强度，g22为第二类原子种内相互作用强度，g12是第一类原子与第二类原子之间的种间相互作用强度，它们都可以通过Feshbance共振方法对它们进行调节为ψi的概率密度为凝聚体的旋转角动量算符.

经过无量纲化处理后得到两组分旋转玻色爱因斯坦凝聚体的Gross-Pitaevskii方程如下

采用虚时演化和有限差分方法对方程（4）进行数值仿真实验，调整不同的种间相互作用强度g12和旋转速率Ω可得系统的不同基态结构.

2 数值实验与结果分析

为了得到玻色爱因斯坦凝聚体的基态波函数，设种内原子相互作用强度g11＝g22＝g，为了简单起见，设定g＝100；再设种间原子相互作用强度g12＝g21，固定四次势系数λ＝0.5，我们将讨论凝聚体的旋转速率和种间原子相互作用强度对基态的影响.

图1 两组分旋转玻色爱因斯坦凝聚体的基态相图（组分1（↑）和组分2（↓））与种间相互作用强度、旋转频率之间的关系.从第一列到第四列依次对应旋转频率Ω＝0，1.5，2.5，3.5；从第一排到第五排依次对应种间相互作用强度g12＝0，50，80，100，120；其它参数为种内相互作用强度g＝100，四次势强度系数λ＝0.5；简谐势振动频率ω⊥＝1.

从第一列相图可以看出，在没有旋转（Ω＝0）的情况下，当种间相互作用强度g12＜g时，组分1和组分2相图相互重叠，都呈现出无对称破缺的圆盘状分布；当g12＝g＝100时，组分1和组分2的相图开始呈现出分裂的趋势，但是仍然处于相混合状态；然而当g12＞g的时候，两组分发生了相分离；不过此时两组分相图依然是呈现出翻折对称.造成这一现象的原因，是两组分原子的种内相互作用强度和种间相互作用强度均相等，简谐势和四次势也是对称势能，所以在无其它相互作用（如旋转）下，其基态呈现出对称性分布是正确合理的；当然，当种间相互作用强度小于种内相互作用强度时，种内相互作用起主导作用，基态相图呈现出相混合状态；而当种间相互作用大于种内相互作用时，两组分分布排斥（g12＞0是排斥，g12＜0是吸引）力加大，所以两组分呈现出相分离.可见，在无旋转作用下，种间相互作用影响着基态相图结构，但是不改变相图分布的对称性.

随着旋转速率的引入并加快，Ω＞1取1.5时，如第二列图，玻色爱因斯坦凝聚体并没有因为旋转过快而出现散落，而是出现了对称破缺的涡旋.随着种间相互作用增强，涡旋的个数在增加，涡旋的结构不对称性越来越明显；当种间相互作用增强到关键值g12≥g时，基态相图基本呈现出相分离，因种间相互排斥作用的增大发生相分离而使得两组分各自分布在一个较小的空间，所以这种压迫使得原来的涡旋被压塌，因此涡旋个数逐渐减少.

从图一的第一、二、三排图可知随着玻色爱因斯坦凝聚体的旋转速率的增加，当旋转速率增大时，系统基态出现涡旋结构，随着旋转速率的增加涡旋数增加，但是离心力也在增强，所以当旋转速率增加到Ω＝2.5时（第三列），在基态相图的中心原有涡旋消失逐渐形成空洞，在环状相图上仍然保持少量涡旋个数；进一步增大旋转速率Ω＝3.5时（第四列），涡旋完全消失，相图形成一个环形；但是，因为g12＜g，旋转速率的增加始终不会改变相混合的状态.

从图一第四、五排图，我们可以看出当旋转速率Ω增加时，组分1和组分2分出多个块状，并且随着Ω的进一步加强，这些块状的原子团被推向外侧，形成近似圆环状分布，因为离心力过大，所以环的宽度缩小，两组分原子占据的空间进一步被压缩，导致块与块之间发生部分重叠，最后都形成环形状，占据相同的空间，导致相混合状态出现.由此可见，只要增加旋转速率到足够大，不论旋转时是相混合还是相分离状态，最终都会走向相混合，这是旋转的一个重要效果.

3 总结

本文主要研究了囚禁于简谐势＋四次势阱中两组分玻色爱因斯坦凝聚体的基态结构，研究发现，与单组分玻色爱因斯坦凝聚体不同，组分间的相互作用强度对基态相图有重要的影响，它可以使两组分玻色爱因斯坦凝聚体原子由相混合转向相分离；在四次势的作用下，旋转凝聚体的旋转速率可以增大到超过简谐势的振荡频率而不致凝聚体因离心力增大而散落，同时，旋转速率的增加可以在一定程度上增加涡旋产生的个数，然而，旋转速率超过一定程度后，强大的离心力将使涡旋消失而形成环状分布，并且不管无旋转时基态相图是相分离还是相混合，在旋转速率增大到一定程度后，都会最终演变为相混合状态.总之，种间相互作用、旋转体速率均对基态相图结构有着重要的影响，这为我们在实验上实现两组分旋转玻色爱因斯坦凝聚体和认知它的基态结构有着重要的指导意义.

[1]M.R.Matthews，B.P.Anderson，P.C.Haljan，et al.Vortices in a Bose-Einstein Condensate[J].Phys.Rev.Lett，1999（83）：2498-2504.

[2]K.W.Madison，F.Chevy，W.Wohlleben，et al.Vortex Formation in a Stirred Bose-Einstein Condensate[J].Phys.Rev.Lett，2000（84）：806-811.

[3]J.R.Abo-Shaeer，C.Raman，J.M.Vogels，et al.Observation of Vortex Lattices in Bose-Einstein Condensates[J].Science，2001（292）：476-480.

[4]C.Raman，J.R.Abo-Shaeer，J.M.Vogels，K.Xu，et al.Vortex Nucleation in a Stirred Bose-Einstein Conden-sate[J].Phys.Rev.Lett，2001（87）：210402-210408.

[5]P.C.Haljan，I.Coddington，P.Engels，et al.Driving Bose-Einstein-Condensate Vorticity with a Rotating Normal Cloud[J].Phys.Rev.Lett，2001（87）：210403-210409.

[6]A.L.Fetter.Rotating vortex lattice in a Bose-Einstein condensate trapped in combined quadratic and quartic radial potentials[J].Phys.Rev.A，2001（64）：063608-063617.

[7]Alexander L.Fetter，B.Jackson，Stringari.Rapid rotation of a Bose-Einstein condensate in a harmonic plus quartic trap[J].Phys.Rev.A，2005（71）：013605.

[8]Xiao-Fei Zhang，Rui-Fang Dong，Tao Liu，et al.Spin-orbit-coupled Bose-Einstein condensates confined in concentrically coupled annular traps[J].Phys.Rev.A，2012（86）：063628.

[9]Xiao-Fei Zhang，Ri-Sheng Gao，XinWang，et al.Bose –Einstein condensates in concentrically coupled annular traps with spin –orbit coupling and rotation[J].Physics Letters A，2013（377）：1109–1113.

[10]Xiao-Fei Zhang，Biao Li，Shou-Gang Zhang.Rotating spin –orbit coupled Bose–Einstein condensates in concentrically coupled annular traps[J].LASER PHYSICS，2013（23）：105501.