浅析“有解”与“恒成立”问题

邓卫和

摘要：在近年的高考中经常出现“有解”与“恒成立”问题，许多同学混淆了这两个概念，在解题时出错。现对这两个概念进行阐述：“有解”是指“至少有一个满足条件的值使式子成立，则称该问题有解”。“恒成立”是指“在某一范围内所有的变量值都使该问题成立，则称该问题恒成立”。本文现通过具体问题进行阐述。

关键词：“有解”;“恒成立”;例析

中图分类号：G427文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2014）24-125-1

一、有解问题

例1方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，求a的范围。

分析：方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解，可能有一解，也可能有两解，讨论比较复杂。可通过分离变量a，转化为求函数的值域来解。

解：x2-a|x|+4=0当x=0时，方程不成立，因此x≠0故方程两边同除以|x|得

a=|x|+4|x|≥2|x|·4|x|=4（当且仅当|x|=2时取到“=”）此时x=±2∈[-2，2]，

所以：当a≥4时该方程x2-a|x|+4=0在x∈[-2，2]上有解。

点评：本题通过“分离变量a”求值域，方法简单易行，在以后的学习中经常用到这一方法。

例2（2013重庆.理.16）若关于x的不等式|x-5|+|x+3|

分析：要使|x-5|+|x+3|

解：函数y=|x-5|+|x+3|=2-2xx≤-3

8-3

2x-2x≥5由此可知，该函数的值域为[8，+∞），因此：当a>8时，不等式|x-5|+|x+3|

点评：本题解答过程中运用的“转化”的思想，将无解问题转化为有解问题，再变为求一个函数的最小值，使问题迎刃而解。“转化”是中学数学的一种基本思想方法，在以后的学习中要注意运用。

二、恒成立问题

例3设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn。

（1）若首项a1=32，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k。

（2）求所有的无穷等差数列{an}，使得对一切正整数k总有Sk2=（Sk）2成立。

分析：问题（1）易求，问题（2）中要对一切正整数k总成立，是恒成立问题，而它又是关于k的方程，可利用方程中的恒成立问题求解。

解：（1）略解：k=4

（2）设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn，则由Sk2=（Sk）2可得

Ak4+Bk2=（Ak2+Bk）2Ak4+Bk2=A2k4+2ABk3+B2k2

上式对一切正整数k恒成立的充要条件是A=A2

2AB=0

B=B2解之得

A=0

B=0或A=0

B=1或A=1

B=0因此满足条件的数列有三个，它们的前n项和分别为Sn=0，Sn=n，Sn=n2，故其对应的数列为an=0，an=1，an=2n-1。

点评：利用等差数列的前n项和的二次式Sn=An2+Bn的形式，化为方程的恒成立问题，求待定系数A，B。简单易行。

例4（2013.全国新课标卷.21）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）.若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P（0，2）处有相同的切线y=4x+2，

（1）求a，b，c，d的值;

（2）若x≥-2时，f（x）≤k·g（x）恒成立，求k的取值范围。

分析：问题（1）易求，问题（2）中要求k的取值范围，可以先给x赋值，缩小k的范围。然后再用函数的最值求解。

解：（1）略解：a=4，b=2，c=2，d=2;

（2）由（1）知f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2），则x2+4x+2≤kex（2x+2）在x≥-2时恒成立。设F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，则由F（0）≥0得k≥1，由F（-2）≥0得k≤e2，故1≤k≤e2。又F′（x）=2（x+2）·（kex-1）=0得x1=-2，x2=-lnk∈[-2，0]，则当-2≤x≤-lnk，F′（x）≤0，x>-lnk时F′（x）>0;则当x=-lnk时，函数F（x）=kg（x）-f（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2有最小值F（-lnk）=（2-lnk）·lnk≥01≤k≤e2，因此：k的取值范围是：1≤k≤e2。

点评：本题求解过程中将恒成立转化为函数的最值求解，是一种常用的数学方法。在过程中先给x赋值，缩小k的范围，然后再求解是一种常用的数学思想。

三、“有解”与“恒成立”问题的综合

例5已知函数f（x）=（x+1）24，对于任意的x∈[1，m]，（m>1），总存在实数t∈R使f（x+t）≤x成立，求m的最大值。

分析：问题中含有x，t两个量，可以先对x恒成立，消去x，然后再对t有解，分步进行。

解：假设存在实数t∈R使f（x+t）≤x成立，因为：任意的x∈[1，m]，f（x+t）≤x恒成立，所以

f（1+t）≤1-4≤t≤0（1）

f（m+t）≤m-1-m-2m≤t≤-1-m+2m（2），此不等式组是关于t的不等式组有解，则必有-1-m-2m≥-4m≤9，又m>1，因此：1

点评：本题中“有解”与“恒成立”同时出现，在解决此类问题时，每一次只考虑解决一个变量，其余的作为常量来处理，使问题易于解决。

总之，“有解”与“恒成立”问题是中学数学中的基本问题，在读题要注意题目中的具体问法，分清是“有解”还是“恒成立”，在解题中要善于进行转化，变成求函数的值域或其他问题来求解。