有关串并联问题的研究

王高峰

摘 要：本文是针对一些串并联的一些物理量（电阻和电容）进行研究，进而总结出串并联问题的一些规律，进而运用这些规律解决一些串并联（比如弹簧的串并联）的问题。

关键词：串并联问题；规律；运用

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）20-002-01

一、关于电阻串并联的问题

两个电阻R1，R2串联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻，由于R1与R2是串联的，他们两端的总电压U等于两个电阻上的电压U1，U2之和，即U=U1+U2，流过这两个电阻的电流I是一样的，上式两旁同除以电流I，又有根据欧姆定律得到R=R1+R2，，不难证明，如果多个电阻串联，那么R=R1+R2+…，即串联电阻的总电阻等于各部分电路电阻之和。

两个电阻R1，R2并联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻，由于R1与R2是并联的，流过它们的总电流I等于两个电阻上的电流I1，I2之和，即I=I1+I2，两个电阻上的电压U上相同的。把上式两旁同除以U，又有根据欧姆定律得到 ，即并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和。

二、关于电容串并联的问题

串联时，流入电容器组的电荷Q全部进入一个电容器的左板，其右板因感应而带--Q，于是第二个电容器左板带+Q，右板带—Q，故串联总电容 或 ，即串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和。

并联时，Q等于每个电容器电荷之和：Q=Q1+Q2，故并联总电容C=C1+C2，即并联总电容等于每个电容器电容之和。

三、总结串并联问题的规律

通过对电阻的串并联问题的陈述和对电容串并联问题的陈述，我们可以知道，电阻的串联问题是串联电阻的总电阻等于各部分电路电阻之和，而电容的串联问题是串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和；电阻的并联问题是并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和，电容的并联问题是并联总电容等于每个电容器电容之和，我们发现，电阻的串并联和电容的串并联刚好相反，为什么呢？

电阻的阻值R是一个电阻的固有属性，它不受电阻两端的电压U和流过电阻的电流I的影响，一个电阻一旦确定，如果不考虑温度的影响，电阻的阻值R是一个常数，不会发生变化；同理，电容C是一个电容器的固有属性，它不受电容器两极板的电荷Q和两极板间电压U的影响，一个电容器一旦确定，电容C是一个常数，不会发生变化，我们可以这样想，电阻的阻值R和电容C是一个常数K， 电阻两端的电压U和电容器两极板的电荷Q相当于Y， 流过电阻的电流I和电容器两极板间电压U相当于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；当电阻串联时，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；当电容器并联时，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；当电阻串联时，对于部分电路欧姆定律R=U/I，是两个电阻的电流相同，也就是分母相同；两个电阻两端的电压等于各个电阻两端电压之和，也就是分子相加，只是对于这种“分母相同，分子相加”的数学问题对应的是电阻的串联和电容器的并联而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，对于电阻的并联问题和电容器的串联问题亦有相同的结论。

四、运用规律解决串并联的问题

弹簧串并联的问题

弹簧串联时，如上图1所示，两个劲度系数分别是K1，K2的轻弹簧（不考虑两个弹簧的重力）串联起来吊起一个质量为M的重物，重物处于平衡状态，对重物进行受力分析，受到下面的一个弹簧对重物的弹力F2和重物的重力G，则由平衡条件得F2=G，同理可得上面的弹簧的弹力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有弹簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因为F1=F2=G即“分子相同”，根据总结的规律得到弹簧串联时的总劲度系数K=K1K2/（K1+K2），和电阻的并联总电阻以及电容的串联总电容很相似。

弹簧并联时，如上图2所示，两个劲度系数分别是K1，K2的轻弹簧（不考虑两个弹簧的重力）并联起来吊起一个质量为M的重物，重物处于平衡状态，对重物进行受力分析，受到上面的两个弹簧对重物的弹力F1和F2以及重物的重力G，则由平衡条件得F1+F2=G，并且上面的两个弹簧的伸长量都一样，即X1=X2=X，有弹簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因为X1=X2=X，即“分母相同”，根据总结的规律得到弹簧并联时的总劲度系数K=K1+K2，和电阻的串联总电阻以及电容的并联总电容很相似。

摘 要：本文是针对一些串并联的一些物理量（电阻和电容）进行研究，进而总结出串并联问题的一些规律，进而运用这些规律解决一些串并联（比如弹簧的串并联）的问题。

关键词：串并联问题；规律；运用

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）20-002-01

一、关于电阻串并联的问题

两个电阻R1，R2串联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻，由于R1与R2是串联的，他们两端的总电压U等于两个电阻上的电压U1，U2之和，即U=U1+U2，流过这两个电阻的电流I是一样的，上式两旁同除以电流I，又有根据欧姆定律得到R=R1+R2，，不难证明，如果多个电阻串联，那么R=R1+R2+…，即串联电阻的总电阻等于各部分电路电阻之和。

两个电阻R1，R2并联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻，由于R1与R2是并联的，流过它们的总电流I等于两个电阻上的电流I1，I2之和，即I=I1+I2，两个电阻上的电压U上相同的。把上式两旁同除以U，又有根据欧姆定律得到 ，即并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和。

二、关于电容串并联的问题

串联时，流入电容器组的电荷Q全部进入一个电容器的左板，其右板因感应而带--Q，于是第二个电容器左板带+Q，右板带—Q，故串联总电容 或 ，即串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和。

并联时，Q等于每个电容器电荷之和：Q=Q1+Q2，故并联总电容C=C1+C2，即并联总电容等于每个电容器电容之和。

三、总结串并联问题的规律

通过对电阻的串并联问题的陈述和对电容串并联问题的陈述，我们可以知道，电阻的串联问题是串联电阻的总电阻等于各部分电路电阻之和，而电容的串联问题是串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和；电阻的并联问题是并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和，电容的并联问题是并联总电容等于每个电容器电容之和，我们发现，电阻的串并联和电容的串并联刚好相反，为什么呢？

电阻的阻值R是一个电阻的固有属性，它不受电阻两端的电压U和流过电阻的电流I的影响，一个电阻一旦确定，如果不考虑温度的影响，电阻的阻值R是一个常数，不会发生变化；同理，电容C是一个电容器的固有属性，它不受电容器两极板的电荷Q和两极板间电压U的影响，一个电容器一旦确定，电容C是一个常数，不会发生变化，我们可以这样想，电阻的阻值R和电容C是一个常数K， 电阻两端的电压U和电容器两极板的电荷Q相当于Y， 流过电阻的电流I和电容器两极板间电压U相当于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；当电阻串联时，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；当电容器并联时，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；当电阻串联时，对于部分电路欧姆定律R=U/I，是两个电阻的电流相同，也就是分母相同；两个电阻两端的电压等于各个电阻两端电压之和，也就是分子相加，只是对于这种“分母相同，分子相加”的数学问题对应的是电阻的串联和电容器的并联而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，对于电阻的并联问题和电容器的串联问题亦有相同的结论。

四、运用规律解决串并联的问题

弹簧串并联的问题

弹簧串联时，如上图1所示，两个劲度系数分别是K1，K2的轻弹簧（不考虑两个弹簧的重力）串联起来吊起一个质量为M的重物，重物处于平衡状态，对重物进行受力分析，受到下面的一个弹簧对重物的弹力F2和重物的重力G，则由平衡条件得F2=G，同理可得上面的弹簧的弹力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有弹簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因为F1=F2=G即“分子相同”，根据总结的规律得到弹簧串联时的总劲度系数K=K1K2/（K1+K2），和电阻的并联总电阻以及电容的串联总电容很相似。

弹簧并联时，如上图2所示，两个劲度系数分别是K1，K2的轻弹簧（不考虑两个弹簧的重力）并联起来吊起一个质量为M的重物，重物处于平衡状态，对重物进行受力分析，受到上面的两个弹簧对重物的弹力F1和F2以及重物的重力G，则由平衡条件得F1+F2=G，并且上面的两个弹簧的伸长量都一样，即X1=X2=X，有弹簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因为X1=X2=X，即“分母相同”，根据总结的规律得到弹簧并联时的总劲度系数K=K1+K2，和电阻的串联总电阻以及电容的并联总电容很相似。

摘 要：本文是针对一些串并联的一些物理量（电阻和电容）进行研究，进而总结出串并联问题的一些规律，进而运用这些规律解决一些串并联（比如弹簧的串并联）的问题。

关键词：串并联问题；规律；运用

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）20-002-01

一、关于电阻串并联的问题

两个电阻R1，R2串联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻，由于R1与R2是串联的，他们两端的总电压U等于两个电阻上的电压U1，U2之和，即U=U1+U2，流过这两个电阻的电流I是一样的，上式两旁同除以电流I，又有根据欧姆定律得到R=R1+R2，，不难证明，如果多个电阻串联，那么R=R1+R2+…，即串联电阻的总电阻等于各部分电路电阻之和。

两个电阻R1，R2并联起来接到电路里，作为一个整体，它相当于一个电阻，由于R1与R2是并联的，流过它们的总电流I等于两个电阻上的电流I1，I2之和，即I=I1+I2，两个电阻上的电压U上相同的。把上式两旁同除以U，又有根据欧姆定律得到 ，即并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和。

二、关于电容串并联的问题

串联时，流入电容器组的电荷Q全部进入一个电容器的左板，其右板因感应而带--Q，于是第二个电容器左板带+Q，右板带—Q，故串联总电容 或 ，即串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和。

并联时，Q等于每个电容器电荷之和：Q=Q1+Q2，故并联总电容C=C1+C2，即并联总电容等于每个电容器电容之和。

三、总结串并联问题的规律

通过对电阻的串并联问题的陈述和对电容串并联问题的陈述，我们可以知道，电阻的串联问题是串联电阻的总电阻等于各部分电路电阻之和，而电容的串联问题是串联总电容的倒数等于每个电容的倒数之和；电阻的并联问题是并联电路总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数之和，电容的并联问题是并联总电容等于每个电容器电容之和，我们发现，电阻的串并联和电容的串并联刚好相反，为什么呢？

电阻的阻值R是一个电阻的固有属性，它不受电阻两端的电压U和流过电阻的电流I的影响，一个电阻一旦确定，如果不考虑温度的影响，电阻的阻值R是一个常数，不会发生变化；同理，电容C是一个电容器的固有属性，它不受电容器两极板的电荷Q和两极板间电压U的影响，一个电容器一旦确定，电容C是一个常数，不会发生变化，我们可以这样想，电阻的阻值R和电容C是一个常数K， 电阻两端的电压U和电容器两极板的电荷Q相当于Y， 流过电阻的电流I和电容器两极板间电压U相当于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；当电阻串联时，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；当电容器并联时，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；当电阻串联时，对于部分电路欧姆定律R=U/I，是两个电阻的电流相同，也就是分母相同；两个电阻两端的电压等于各个电阻两端电压之和，也就是分子相加，只是对于这种“分母相同，分子相加”的数学问题对应的是电阻的串联和电容器的并联而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，对于电阻的并联问题和电容器的串联问题亦有相同的结论。

四、运用规律解决串并联的问题

弹簧串并联的问题

弹簧串联时，如上图1所示，两个劲度系数分别是K1，K2的轻弹簧（不考虑两个弹簧的重力）串联起来吊起一个质量为M的重物，重物处于平衡状态，对重物进行受力分析，受到下面的一个弹簧对重物的弹力F2和重物的重力G，则由平衡条件得F2=G，同理可得上面的弹簧的弹力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有弹簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因为F1=F2=G即“分子相同”，根据总结的规律得到弹簧串联时的总劲度系数K=K1K2/（K1+K2），和电阻的并联总电阻以及电容的串联总电容很相似。

弹簧并联时，如上图2所示，两个劲度系数分别是K1，K2的轻弹簧（不考虑两个弹簧的重力）并联起来吊起一个质量为M的重物，重物处于平衡状态，对重物进行受力分析，受到上面的两个弹簧对重物的弹力F1和F2以及重物的重力G，则由平衡条件得F1+F2=G，并且上面的两个弹簧的伸长量都一样，即X1=X2=X，有弹簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因为X1=X2=X，即“分母相同”，根据总结的规律得到弹簧并联时的总劲度系数K=K1+K2，和电阻的串联总电阻以及电容的并联总电容很相似。