控制截面的极限分析法速算最大剪力与弯矩

张国锋+宁录+赵帅阳+彭岩岩+宫伟力

摘 要：剪力和弯矩是梁弯曲时横截面上存在的两种基本内力。基于这两种内力之间的微分关系，用控制截面法计算其最大剪力与弯矩。不仅解题速度快而且正确率也高，能真正达到事半功倍的效果。老师在引导学生用这种方法分析题目时，当学生有了一定的感悟和表达，不要急于将剩下的一切和盘托出，而要趁热打铁，不断连续追问，充分调动每位学生的积极性，以最大限度挖掘学生的潜能，这种互动启发式的教学方法正是当今中国高等教育改革应当大力推荐的教学方法。

关键词：控制截面 剪力 弯矩 互动启发式教学

中图分类号：TB3 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）08（c）-0098-02

Control section of limit analysis to simplify maximum shear force and bending moment

Zhang Guofeng1，Ning Lu2，Zhao Shuaiyang3，Peng Yanyan1，Gong Weili1

（1 School of Mechanics & Civil Engineering， China University of Mining & Technology ， Beijing ，100083； 2. School of Mechanical Electronic & Information Engineering， China University of Mining & Technology， Beijing 100083；3. College of Geoscience & Surveying Engineering ， China University of Mining & Technology， Beijing 100083）

Abstract：Shear force and bending moment are two kinds of basic internal force on the bending beam， based on the differential relation between the two kinds of internal force with control section method for calculating the maximum shear force and bending moment can not only fast but also high accuracy， in this way can we really achieve twice the result with half the effort. While teachers guiding students to analysis the topic in this way， when students have a certain feeling and expression， dont jump to the rest of the CARDS but strike while the iron is hot， and keep continuous cross-examine， fully arouse the enthusiasm of each student， excavate the potential of students to the largest extent， the interaction of heuristic is one of the teaching method that Chinas higher education reform should be strongly adopted.

Key words：Control section shear Force bending moment interaction heuristic teaching

1 控制截面的极限分析法简介

工程中很多时候需要计算梁弯曲时所受的最大正应力和最大切应力[1]来和相应材料的许用正应力和许用切应力比较从而来校核梁的强度看其是否符合安全标准。从梁弯曲时的正应力公式，切应力公式中可以看出要计算梁弯曲时所受的最大正应力和最大切应力的关键就要求最大弯矩，最大剪力（对已知型号的各种钢他们的，，b都是已知量，可通过查表得到）[2-4]。传统计算梁弯曲时的最大剪力和弯矩不仅步骤繁琐而且剪力方程和弯矩方程很容易搞错。

从高等数学中函数的微分关系和间断点[5]的求法中受到启发进而将这种极限思想应用到控制截面的方法中来，这种学科之间的渗透关系正是互动启发式教学的灵感之一。在这种教学过程中不仅发挥了老师“教”的主导作用也充分调动了学生“学”和“用”的主观能动性[6]。从课本中的例题和习题中可以归纳出在梁弯曲时所受的力大多数只涉及到集中载荷、集中力偶和均布载荷，在这三种外加载荷的作用下其剪力图都是线性的，考虑到剪力方程和弯矩方程之间的微分关系[7]，剪力图和弯矩图就可以根据特殊点很快画出来。因而在教学过程中很自然的对这种规律会抛出问题引导学生去求这些线性图形的特殊点然后根据微分方程找出剪力图和弯矩图之间的内在联系[8-9]。这些特殊点就是高等数学中函数的间断点。在间断点处去求剪力和弯矩的突变正是控制截面的极限分析法解题的关键所在。

2 教学设计

对课本中的理论学习、定理推导、或典型例题由老师首先进行提纲式讲解，并且坚持板书为主PPT为辅。在同学们对梁弯曲的基础知识有了进一步了解后提出控制截面的极限分析法这个解题思路，并稍微点拨，然后留十分钟左右时间让学生自己深入思考这种解题方法的核心，接着师生一起互动讨论，由学生说出各自的讨论结果及心得体会，最后再由老师给予评价并总结结论。endprint

从老师讲解提示的方法中慢慢领悟到控制截面的极限分析法解题关键就是找间断点，间断点所在位置就是力的作用点处。而控制截面法就是以这些力（集中力及力偶）的作用点（O）为界在无限靠近它的左右两侧分别取一个截面，如果选取梁的左侧为坐标原点，则只需将O点的受力归结到其右侧计算，O点受力情况对左边截面剪力和弯矩都无影响。考虑到均布载荷需要用到微积分的方法来计算，其受力的首端和尾端两侧作用面可以合二为一。找出这些间断点后，在相应的坐标上将这些间断点标出来，在剪力图上用直线将这些相邻的点连接起来便得到梁弯曲时的剪力图，将间断点处的弯矩标出来后再根据剪力方程和弯矩方程之间的微分关系确定弯矩图应该是直线还是抛物线。

2.1 实例分析

在同学们对控制截面的极限法有了进一步的思考后由老师给出一道随堂练习，并要求学生在规定时间内写出解题思路及主要步骤。

例：一横梁受如图1所示的作用力，画出该梁弯曲时的剪力图和弯矩图并指出可能的危险截面。

解：分析先由静力学知识可求得B、D两点处的支座反力分别为，。在A、B、C、D、E这五个间断点上作用有三种不同性质的力，A、B两点都是集中载荷，C点是一附加力偶，DE段之间是均布载荷。取AC这段为代表用控制截面法分析B、C两点左右两侧截面上剪力与弯矩的变化，其受力如图1所示：

（1）取B点分析集中力的作用。在B点左侧截面1-1上，B处受力对该截面无任何影响，该截面的剪力等于其左侧所有外力在该截面上投影的代数和，弯矩为所有外力乘上力的作用点到该截面的距离求得1-1截面上剪力 （1）

弯矩 （2）

在计算截面2-2上剪力和弯矩时就要将B点处的受力考虑进去，由于截面2-2对B点的力矩为零故B点所受外力对B左右两侧截面上弯矩无影响。根据受力情况直接写出2-2截面上

（3）

（4）

（2）取C这个特殊点分析集中力偶的作用。在截面3-3上不考虑C点所加力偶对其受力影响而在截面4-4上将其考虑进去。由于外加载荷为集中力偶，其对剪力和弯矩变化的影响刚好和（1）相反，集中力偶影响其作用点两侧弯矩而对剪力无影响。根据受力情况直接写出3-3截面上：

（5）

（6）

4-4截面上：

（7）

（8）

（3）DE这段为均布载荷作用区且D点外加一集中力，在分析这段时对D点两侧截面的分析先不考虑均布载荷对其影响而按照集中力的方法去分析。由于E点为梁的端点，由平衡条件可知在该处剪力和弯矩都应该为零。其它各点同理分析，画出剪力和弯矩的大致图形如图3所示。

（4）从图上很清楚的可以看出剪力和弯矩的突变位置都是在这些间断点处，最大剪力和最大弯矩就是在这些间断点中的某处产生的，因此梁的危险截面也是在这些间断点处中的某处。知道了危险截面有利于提前采取措施，防止不必要的事故发生。该例中最大剪力在AB段和D点，最大弯矩在C点。

2.2 归纳总结

完成以上教学任务后可总结剪力图和弯矩图的以下规律：

①集中力作用区控制截面两侧剪力有突变，突变值即该处作用力的大小，弯矩没有突变。集中力偶作用区刚好相反，弯矩有突变剪力是相同的；

②无荷载区弯矩图、剪力图均为直线；③均布载荷作用区剪力图仍然为直线；弯矩图此时为抛物线其三个特殊点分别为均布载荷作用区的始端、末端与在此段内剪力为零的点。

根据以上三条规律再加上前面用控制截面求得的间断点两侧的特殊值剪力图和弯矩图就能够很容易画出来了，这样从图中最大剪力及最大弯矩及其作用点就一目了然了。

3 结语

从问题的提出到解决的整个过程中没有出现难懂的专业术语也没有长篇大论摆公式讲道理，这样原本枯燥无味的课堂气氛就轻松了很多，学生学得欲望也高了。这一点正是互动启发式教学的亮点之一。因此为了适应创新型人才培养的需要，大学本科生课堂教学也需要改变传统的教学方法而其焦点就是注重培养学生独立思考，自主学习的能力。而这种互动启发式的教学方法就突破了传统的教学方法。在这种启发式、讨论式教学，研究型学习中，不仅提高了课堂教学效率、深化了书本知识、，也使得同学们的研究能力与创新性思维得到了训练与提高。

参考文献

[1] 胡伟平，张行，孟庆春.受横向分布载荷直梁弯曲应力分析的分离变量解法[J].工程力学，2009（6）：42-45.

[2] 周敏，潘玉山.基于VB建立《工程力学》中三种梁的剪力和弯矩图[J].无锡职业技术学院学报，2003（2）：28-32.

[3] 黄毅.工程力学.北京科技大学，东北大学编。高等教育出版社.

[4] 林建平，林琼华.剪力和弯矩的计算规律[J].宁德师专学报（自然科学版），1999（4）：265-266.

[5] 同济大学数学系.高等数学（第六版）（上册）[M].高等教育出版社，2007.

[6] 张怀明，徐波，丁祥千.浅谈青年教师应处理好的三种关系[J].新课程（教育学术），2010（11）.

[7] 张千.弯曲梁上剪力、弯矩和分布载荷间微分关系[J].价值工程，2011（29）.

[8] 姚爱民.巧求剪力、弯矩值，画剪力、弯矩图[J].新课程（教育学术），2010（11）.

[9]韩瑞功.理论力学中剪力、弯矩、载荷集度之间的微分关系[J].信阳师范学院学报（自然科学版），2010（3）.endprint

从老师讲解提示的方法中慢慢领悟到控制截面的极限分析法解题关键就是找间断点，间断点所在位置就是力的作用点处。而控制截面法就是以这些力（集中力及力偶）的作用点（O）为界在无限靠近它的左右两侧分别取一个截面，如果选取梁的左侧为坐标原点，则只需将O点的受力归结到其右侧计算，O点受力情况对左边截面剪力和弯矩都无影响。考虑到均布载荷需要用到微积分的方法来计算，其受力的首端和尾端两侧作用面可以合二为一。找出这些间断点后，在相应的坐标上将这些间断点标出来，在剪力图上用直线将这些相邻的点连接起来便得到梁弯曲时的剪力图，将间断点处的弯矩标出来后再根据剪力方程和弯矩方程之间的微分关系确定弯矩图应该是直线还是抛物线。

2.1 实例分析

在同学们对控制截面的极限法有了进一步的思考后由老师给出一道随堂练习，并要求学生在规定时间内写出解题思路及主要步骤。

例：一横梁受如图1所示的作用力，画出该梁弯曲时的剪力图和弯矩图并指出可能的危险截面。

解：分析先由静力学知识可求得B、D两点处的支座反力分别为，。在A、B、C、D、E这五个间断点上作用有三种不同性质的力，A、B两点都是集中载荷，C点是一附加力偶，DE段之间是均布载荷。取AC这段为代表用控制截面法分析B、C两点左右两侧截面上剪力与弯矩的变化，其受力如图1所示：

（1）取B点分析集中力的作用。在B点左侧截面1-1上，B处受力对该截面无任何影响，该截面的剪力等于其左侧所有外力在该截面上投影的代数和，弯矩为所有外力乘上力的作用点到该截面的距离求得1-1截面上剪力 （1）

弯矩 （2）

在计算截面2-2上剪力和弯矩时就要将B点处的受力考虑进去，由于截面2-2对B点的力矩为零故B点所受外力对B左右两侧截面上弯矩无影响。根据受力情况直接写出2-2截面上

（3）

（4）

（2）取C这个特殊点分析集中力偶的作用。在截面3-3上不考虑C点所加力偶对其受力影响而在截面4-4上将其考虑进去。由于外加载荷为集中力偶，其对剪力和弯矩变化的影响刚好和（1）相反，集中力偶影响其作用点两侧弯矩而对剪力无影响。根据受力情况直接写出3-3截面上：

（5）

（6）

4-4截面上：

（7）

（8）

（3）DE这段为均布载荷作用区且D点外加一集中力，在分析这段时对D点两侧截面的分析先不考虑均布载荷对其影响而按照集中力的方法去分析。由于E点为梁的端点，由平衡条件可知在该处剪力和弯矩都应该为零。其它各点同理分析，画出剪力和弯矩的大致图形如图3所示。

（4）从图上很清楚的可以看出剪力和弯矩的突变位置都是在这些间断点处，最大剪力和最大弯矩就是在这些间断点中的某处产生的，因此梁的危险截面也是在这些间断点处中的某处。知道了危险截面有利于提前采取措施，防止不必要的事故发生。该例中最大剪力在AB段和D点，最大弯矩在C点。

2.2 归纳总结

完成以上教学任务后可总结剪力图和弯矩图的以下规律：

①集中力作用区控制截面两侧剪力有突变，突变值即该处作用力的大小，弯矩没有突变。集中力偶作用区刚好相反，弯矩有突变剪力是相同的；

②无荷载区弯矩图、剪力图均为直线；③均布载荷作用区剪力图仍然为直线；弯矩图此时为抛物线其三个特殊点分别为均布载荷作用区的始端、末端与在此段内剪力为零的点。

根据以上三条规律再加上前面用控制截面求得的间断点两侧的特殊值剪力图和弯矩图就能够很容易画出来了，这样从图中最大剪力及最大弯矩及其作用点就一目了然了。

3 结语

从问题的提出到解决的整个过程中没有出现难懂的专业术语也没有长篇大论摆公式讲道理，这样原本枯燥无味的课堂气氛就轻松了很多，学生学得欲望也高了。这一点正是互动启发式教学的亮点之一。因此为了适应创新型人才培养的需要，大学本科生课堂教学也需要改变传统的教学方法而其焦点就是注重培养学生独立思考，自主学习的能力。而这种互动启发式的教学方法就突破了传统的教学方法。在这种启发式、讨论式教学，研究型学习中，不仅提高了课堂教学效率、深化了书本知识、，也使得同学们的研究能力与创新性思维得到了训练与提高。

参考文献

[1] 胡伟平，张行，孟庆春.受横向分布载荷直梁弯曲应力分析的分离变量解法[J].工程力学，2009（6）：42-45.

[2] 周敏，潘玉山.基于VB建立《工程力学》中三种梁的剪力和弯矩图[J].无锡职业技术学院学报，2003（2）：28-32.

[3] 黄毅.工程力学.北京科技大学，东北大学编。高等教育出版社.

[4] 林建平，林琼华.剪力和弯矩的计算规律[J].宁德师专学报（自然科学版），1999（4）：265-266.

[5] 同济大学数学系.高等数学（第六版）（上册）[M].高等教育出版社，2007.

[6] 张怀明，徐波，丁祥千.浅谈青年教师应处理好的三种关系[J].新课程（教育学术），2010（11）.

[7] 张千.弯曲梁上剪力、弯矩和分布载荷间微分关系[J].价值工程，2011（29）.

[8] 姚爱民.巧求剪力、弯矩值，画剪力、弯矩图[J].新课程（教育学术），2010（11）.

[9]韩瑞功.理论力学中剪力、弯矩、载荷集度之间的微分关系[J].信阳师范学院学报（自然科学版），2010（3）.endprint

从老师讲解提示的方法中慢慢领悟到控制截面的极限分析法解题关键就是找间断点，间断点所在位置就是力的作用点处。而控制截面法就是以这些力（集中力及力偶）的作用点（O）为界在无限靠近它的左右两侧分别取一个截面，如果选取梁的左侧为坐标原点，则只需将O点的受力归结到其右侧计算，O点受力情况对左边截面剪力和弯矩都无影响。考虑到均布载荷需要用到微积分的方法来计算，其受力的首端和尾端两侧作用面可以合二为一。找出这些间断点后，在相应的坐标上将这些间断点标出来，在剪力图上用直线将这些相邻的点连接起来便得到梁弯曲时的剪力图，将间断点处的弯矩标出来后再根据剪力方程和弯矩方程之间的微分关系确定弯矩图应该是直线还是抛物线。

2.1 实例分析

在同学们对控制截面的极限法有了进一步的思考后由老师给出一道随堂练习，并要求学生在规定时间内写出解题思路及主要步骤。

例：一横梁受如图1所示的作用力，画出该梁弯曲时的剪力图和弯矩图并指出可能的危险截面。

解：分析先由静力学知识可求得B、D两点处的支座反力分别为，。在A、B、C、D、E这五个间断点上作用有三种不同性质的力，A、B两点都是集中载荷，C点是一附加力偶，DE段之间是均布载荷。取AC这段为代表用控制截面法分析B、C两点左右两侧截面上剪力与弯矩的变化，其受力如图1所示：

（1）取B点分析集中力的作用。在B点左侧截面1-1上，B处受力对该截面无任何影响，该截面的剪力等于其左侧所有外力在该截面上投影的代数和，弯矩为所有外力乘上力的作用点到该截面的距离求得1-1截面上剪力 （1）

弯矩 （2）

在计算截面2-2上剪力和弯矩时就要将B点处的受力考虑进去，由于截面2-2对B点的力矩为零故B点所受外力对B左右两侧截面上弯矩无影响。根据受力情况直接写出2-2截面上

（3）

（4）

（2）取C这个特殊点分析集中力偶的作用。在截面3-3上不考虑C点所加力偶对其受力影响而在截面4-4上将其考虑进去。由于外加载荷为集中力偶，其对剪力和弯矩变化的影响刚好和（1）相反，集中力偶影响其作用点两侧弯矩而对剪力无影响。根据受力情况直接写出3-3截面上：

（5）

（6）

4-4截面上：

（7）

（8）

（3）DE这段为均布载荷作用区且D点外加一集中力，在分析这段时对D点两侧截面的分析先不考虑均布载荷对其影响而按照集中力的方法去分析。由于E点为梁的端点，由平衡条件可知在该处剪力和弯矩都应该为零。其它各点同理分析，画出剪力和弯矩的大致图形如图3所示。

（4）从图上很清楚的可以看出剪力和弯矩的突变位置都是在这些间断点处，最大剪力和最大弯矩就是在这些间断点中的某处产生的，因此梁的危险截面也是在这些间断点处中的某处。知道了危险截面有利于提前采取措施，防止不必要的事故发生。该例中最大剪力在AB段和D点，最大弯矩在C点。

2.2 归纳总结

完成以上教学任务后可总结剪力图和弯矩图的以下规律：

①集中力作用区控制截面两侧剪力有突变，突变值即该处作用力的大小，弯矩没有突变。集中力偶作用区刚好相反，弯矩有突变剪力是相同的；

②无荷载区弯矩图、剪力图均为直线；③均布载荷作用区剪力图仍然为直线；弯矩图此时为抛物线其三个特殊点分别为均布载荷作用区的始端、末端与在此段内剪力为零的点。

根据以上三条规律再加上前面用控制截面求得的间断点两侧的特殊值剪力图和弯矩图就能够很容易画出来了，这样从图中最大剪力及最大弯矩及其作用点就一目了然了。

3 结语

从问题的提出到解决的整个过程中没有出现难懂的专业术语也没有长篇大论摆公式讲道理，这样原本枯燥无味的课堂气氛就轻松了很多，学生学得欲望也高了。这一点正是互动启发式教学的亮点之一。因此为了适应创新型人才培养的需要，大学本科生课堂教学也需要改变传统的教学方法而其焦点就是注重培养学生独立思考，自主学习的能力。而这种互动启发式的教学方法就突破了传统的教学方法。在这种启发式、讨论式教学，研究型学习中，不仅提高了课堂教学效率、深化了书本知识、，也使得同学们的研究能力与创新性思维得到了训练与提高。

参考文献

[1] 胡伟平，张行，孟庆春.受横向分布载荷直梁弯曲应力分析的分离变量解法[J].工程力学，2009（6）：42-45.

[2] 周敏，潘玉山.基于VB建立《工程力学》中三种梁的剪力和弯矩图[J].无锡职业技术学院学报，2003（2）：28-32.

[3] 黄毅.工程力学.北京科技大学，东北大学编。高等教育出版社.

[4] 林建平，林琼华.剪力和弯矩的计算规律[J].宁德师专学报（自然科学版），1999（4）：265-266.

[5] 同济大学数学系.高等数学（第六版）（上册）[M].高等教育出版社，2007.

[6] 张怀明，徐波，丁祥千.浅谈青年教师应处理好的三种关系[J].新课程（教育学术），2010（11）.

[7] 张千.弯曲梁上剪力、弯矩和分布载荷间微分关系[J].价值工程，2011（29）.

[8] 姚爱民.巧求剪力、弯矩值，画剪力、弯矩图[J].新课程（教育学术），2010（11）.

[9]韩瑞功.理论力学中剪力、弯矩、载荷集度之间的微分关系[J].信阳师范学院学报（自然科学版），2010（3）.endprint