周期函数浅思

◆姜 平

(内蒙古呼伦贝尔市海拉尔铁路第一中学)

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内任何一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做f(x)的周期。

为了体现出学生举一反三的思维灵活性以及特有的数学逻辑，函数的周期也会以其他形式给出。

设a为非零常数

特例 1:若f(x+a)=－f(x)，则函数f(x)为周期函数，T=2a为它的一个周期。

证明:f(x)= －f(x+a)=f［(x+a)+a］ =f(x+2a)∴T=2a

评述:与定义相对比、f(x+a)=－f(x)中多一个负号所以T≠a，但以此式为依据展开数学逻辑推理，可得f(x)=－f(x+a)，把“x+a”看作整体，再依据已知等式即可得－f(x+a)=f［(x+a)+a］，即f(x)=f(x+2a)

特例3:若f(x+a)=f(x－ a)，则f(x)为周期函数，T=2a为函数f(x)的一个周期

证明:f(x)=f［(x+a)－ a］ =f［(x+a)+a］=f(x+2a)

评述:f(x+a)=f(x－a)描述的是函数的周期性，而f(a+x)=f(ax)描述的是函数f(x)关于x=a对称的对称性，二者应相互区别。

特例4:若函数f(x)同时关于x=a与x=b对称(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，T=2(b－a)是它的一个周期

证明:若函数f(x)关于x=a对称，则f(a+x)=f(a－x)…………①

若函数f(x)关于x=b对称，则f(b+x)=f(b－x)…………②

因此f(x)=f［a－ (a－ x)］

=f［a+(a－x)］……(依据式①)

=f(2a－ x) ……(T≠2a，继续推理)

=f［b+(－b+2a－ x)］

=f［b－ (－b+2a－ x)］……(依据式②)

=f(2b－2a+x)

即 f(x)=f［x+2(b－a)］

特例5:若f(x)关于点(a，0)对称同时关于点(b，0)对称，则f(x)是一个周期函数，T=2(b－a)是f(x)的一个周期

证明:若函数f(x)关于点(a，0)对称，则 f(a+x)= －f(a－x)…………①

若函数f(x)关于点(b，0)对称，则f(b+x)=－f(b－x)…………②

因此 f(x)=f［a－(a－x)］

= －f［a+(a－x)］……(依据式①)

= －f(2a－x)

= －f［b+(－b+2a－x)］

=f［b－(－b+2a－x)］……(依据式②)

=f［(2b －2a)+x］

即 f(x)=f［x+(2b－2a)］

练习1:已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，

则f(2010)=________。

分析:

f(x+2)=－f(x)，根据特例1，f(x)是以4为周期的周期函数

因此f(2010)=f(502×4+2)=f(2)

由已知f(x)为定义在R上的奇函数

因此f(0)=0

因此f(2)=f(0+2)= －f(0)=0，即f(2010)=0。

练习2:f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在［0，4)上单调递增，若f(x+2)也为奇函数，试判断f(x)在［4，8)上的单调性。

分析:

f(x)是定义在R上的奇函数

因此f(x)关于点(0，0)对称

由已知f(x+2)也为奇函数

因此f(x)也关于点(2，0)对称

依据特例6，f(x)为T=4的周期函数

由已知f(x)在［0，4)上单调递增

因此在［4，8)上也单调递增。

分析:由特例2可知f(x)是T=4的周期函数

因此f(5)=f(4+1)=f(1)=－5

而f(－5)=f(－5+4)=f(－1)

函数的周期性、奇偶性是函数在其定义域内的性质，是函数的整体性质。了解函数性质间的联系，准确判断，合理使用，可以大大提高分析、解决问题的能力。