高中数学教学中的两种数学思想方法

刘春建

数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述.概括起来，大多数是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的.数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等.在高考中，如果能掌握一定的数学思想方法必可以大大提高学生的战斗力.

一、化归思想方法

化归，也就是归结和转换.它主要是通过观察，分析，类比，联想等转化过程，将要解决的问题化归在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题，进而解决原问题，像这一类的手段和方法就统称为化归.简而言之，化归就是将不熟悉的问题转换成熟悉的问题，具体来说，化归就是将问题模式化，规范化，将要解决的问题变为我们熟悉的问题，然后利用已经掌握的理论，方法去解决这个问题从而间接地解决原问题，而不是直接去寻找原问题的答案.考虑到化归的特点，在化归的过程中，我们需要不断地变化问题，重新叙述问题，转换问题，最终找到问题的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式两边都含有x，y两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为2x-3-x>2-y-3y，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数f（x）=2x-3-x，通过构造函数，把不等式问题化归为函数单调性问题.

实现化归的重点在于发现问题之间潜在的内在联系，确定化归的方向，选择合适的化归途径实现有效转化.在应用化归方法时，我们往往需要进行多次化归，而化归一般的模式可总结为

二、类比的思想方法

类比，它是根据两种事物某些属性（例如概念，性质，形式，结构，关系等等）的相似或者相同，推断出它们其他属性也可能相似或者相同的一种推理方法.波利亚说过：没有类比，在初等数学或高等数学中，也许就不会有发现.可见类比是一种非常重要的解决数学问题的手段，可以说，类比是解决数学问题的顾问和助手.

例2 （2003 年江苏省）在平面几何里有勾股定理：设三角形ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三菱锥的侧面积与底面积的关系，若三菱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则.

分析勾股地理揭示了一个直角三角形的两条直角边与斜边的关系，由类比猜想得知，题设的三菱锥 A-BCD的三个侧面与底面之间有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（证略）

通过例子我们也可以总结出类比方法的一般模式：

三、数形结合的思想

数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间关系，数和形反映的是事物的两个方面，正是基于这两个方面的抽象研究才诞生了数学这门学科，才使得人们可以从不同侧面认识事物把数量关系转化成空间图形关系，或者反过来把图形性质转化为数量关系.这种在解决问题的过程中数和形相互转化的思路就是数形结合思想.换句话说，数形结合思想就是将抽象难懂的数学语言与直观的图形符号结合，使得抽象思维和形象思维相互结合.在高中数学中，数形结合思想可以解决许多方面的问题，如集合，函数，方程不等式，三角函数，线性规划，数列，解析几何，立体几何，绝对值问题等等，几乎涵盖了高中数学的各个领域.因此学生若是能掌握数形结合的思想，可以大大提高学生的数学素质，分析解决问题的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江苏）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是 .

答案：[e，7].

解析条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化为：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

设ac=x，y=bc，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范围.

作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥0），则y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，须m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）处，为e.此时，点P（x0，y0）在y=ex上A，B之间.当（x，y）对应点C时，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C处，为7.

∴yx的取值范围为[e，7]，即ba的取值范围是[e，7].

2012年高考江苏卷把数形结合的思想展示得淋漓尽致，除此外，还有很多问题都可以用到数形结合的这种思想.数与形的联系和转化是数学永恒的研究主题，在上面江苏卷的问题的解题过程中可以看出数形结合思想在高考中的实用性，所以，在平日教学过程当中，有必要重视培养学生数形结合的思想，使之能成为一种习惯.

数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述.概括起来，大多数是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的.数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等.在高考中，如果能掌握一定的数学思想方法必可以大大提高学生的战斗力.

一、化归思想方法

化归，也就是归结和转换.它主要是通过观察，分析，类比，联想等转化过程，将要解决的问题化归在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题，进而解决原问题，像这一类的手段和方法就统称为化归.简而言之，化归就是将不熟悉的问题转换成熟悉的问题，具体来说，化归就是将问题模式化，规范化，将要解决的问题变为我们熟悉的问题，然后利用已经掌握的理论，方法去解决这个问题从而间接地解决原问题，而不是直接去寻找原问题的答案.考虑到化归的特点，在化归的过程中，我们需要不断地变化问题，重新叙述问题，转换问题，最终找到问题的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式两边都含有x，y两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为2x-3-x>2-y-3y，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数f（x）=2x-3-x，通过构造函数，把不等式问题化归为函数单调性问题.

实现化归的重点在于发现问题之间潜在的内在联系，确定化归的方向，选择合适的化归途径实现有效转化.在应用化归方法时，我们往往需要进行多次化归，而化归一般的模式可总结为

二、类比的思想方法

类比，它是根据两种事物某些属性（例如概念，性质，形式，结构，关系等等）的相似或者相同，推断出它们其他属性也可能相似或者相同的一种推理方法.波利亚说过：没有类比，在初等数学或高等数学中，也许就不会有发现.可见类比是一种非常重要的解决数学问题的手段，可以说，类比是解决数学问题的顾问和助手.

例2 （2003 年江苏省）在平面几何里有勾股定理：设三角形ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三菱锥的侧面积与底面积的关系，若三菱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则.

分析勾股地理揭示了一个直角三角形的两条直角边与斜边的关系，由类比猜想得知，题设的三菱锥 A-BCD的三个侧面与底面之间有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（证略）

通过例子我们也可以总结出类比方法的一般模式：

三、数形结合的思想

数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间关系，数和形反映的是事物的两个方面，正是基于这两个方面的抽象研究才诞生了数学这门学科，才使得人们可以从不同侧面认识事物把数量关系转化成空间图形关系，或者反过来把图形性质转化为数量关系.这种在解决问题的过程中数和形相互转化的思路就是数形结合思想.换句话说，数形结合思想就是将抽象难懂的数学语言与直观的图形符号结合，使得抽象思维和形象思维相互结合.在高中数学中，数形结合思想可以解决许多方面的问题，如集合，函数，方程不等式，三角函数，线性规划，数列，解析几何，立体几何，绝对值问题等等，几乎涵盖了高中数学的各个领域.因此学生若是能掌握数形结合的思想，可以大大提高学生的数学素质，分析解决问题的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江苏）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是 .

答案：[e，7].

解析条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化为：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

设ac=x，y=bc，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范围.

作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥0），则y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，须m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）处，为e.此时，点P（x0，y0）在y=ex上A，B之间.当（x，y）对应点C时，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C处，为7.

∴yx的取值范围为[e，7]，即ba的取值范围是[e，7].

2012年高考江苏卷把数形结合的思想展示得淋漓尽致，除此外，还有很多问题都可以用到数形结合的这种思想.数与形的联系和转化是数学永恒的研究主题，在上面江苏卷的问题的解题过程中可以看出数形结合思想在高考中的实用性，所以，在平日教学过程当中，有必要重视培养学生数形结合的思想，使之能成为一种习惯.

数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述.概括起来，大多数是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的.数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等.在高考中，如果能掌握一定的数学思想方法必可以大大提高学生的战斗力.

一、化归思想方法

化归，也就是归结和转换.它主要是通过观察，分析，类比，联想等转化过程，将要解决的问题化归在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题，进而解决原问题，像这一类的手段和方法就统称为化归.简而言之，化归就是将不熟悉的问题转换成熟悉的问题，具体来说，化归就是将问题模式化，规范化，将要解决的问题变为我们熟悉的问题，然后利用已经掌握的理论，方法去解决这个问题从而间接地解决原问题，而不是直接去寻找原问题的答案.考虑到化归的特点，在化归的过程中，我们需要不断地变化问题，重新叙述问题，转换问题，最终找到问题的突破口.

例1已知x，y∈R且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）.

A.x+y<0B.x+y>0C.xy<0D.xy>0

分析已知不等式两边都含有x，y两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为2x-3-x>2-y-3y，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数f（x）=2x-3-x，通过构造函数，把不等式问题化归为函数单调性问题.

实现化归的重点在于发现问题之间潜在的内在联系，确定化归的方向，选择合适的化归途径实现有效转化.在应用化归方法时，我们往往需要进行多次化归，而化归一般的模式可总结为

二、类比的思想方法

类比，它是根据两种事物某些属性（例如概念，性质，形式，结构，关系等等）的相似或者相同，推断出它们其他属性也可能相似或者相同的一种推理方法.波利亚说过：没有类比，在初等数学或高等数学中，也许就不会有发现.可见类比是一种非常重要的解决数学问题的手段，可以说，类比是解决数学问题的顾问和助手.

例2 （2003 年江苏省）在平面几何里有勾股定理：设三角形ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三菱锥的侧面积与底面积的关系，若三菱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则.

分析勾股地理揭示了一个直角三角形的两条直角边与斜边的关系，由类比猜想得知，题设的三菱锥 A-BCD的三个侧面与底面之间有S2△ABC+S2△ACD=S2△ADB（证略）

通过例子我们也可以总结出类比方法的一般模式：

三、数形结合的思想

数学的研究对象是现实世界中的数量关系和空间关系，数和形反映的是事物的两个方面，正是基于这两个方面的抽象研究才诞生了数学这门学科，才使得人们可以从不同侧面认识事物把数量关系转化成空间图形关系，或者反过来把图形性质转化为数量关系.这种在解决问题的过程中数和形相互转化的思路就是数形结合思想.换句话说，数形结合思想就是将抽象难懂的数学语言与直观的图形符号结合，使得抽象思维和形象思维相互结合.在高中数学中，数形结合思想可以解决许多方面的问题，如集合，函数，方程不等式，三角函数，线性规划，数列，解析几何，立体几何，绝对值问题等等，几乎涵盖了高中数学的各个领域.因此学生若是能掌握数形结合的思想，可以大大提高学生的数学素质，分析解决问题的能力也可以大幅度提高.

例3（2012年江苏）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是 .

答案：[e，7].

解析条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc

可化为：3·ac+bc≥5，

ac+bc≤4，

bc≥eac.

设ac=x，y=bc，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5，

x+y≤4，

y≥ex，

x>0，y>0，求yx的取值范围.

作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥0），则y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，须m=0. ∴yx的最小值在P（x0，y0）处，为e.此时，点P（x0，y0）在y=ex上A，B之间.当（x，y）对应点C时，y=4-x，

y=5-3x5y=20-5x，

4y=20-12xy=7xyx=7，∴yx的最大值在C处，为7.

∴yx的取值范围为[e，7]，即ba的取值范围是[e，7].

2012年高考江苏卷把数形结合的思想展示得淋漓尽致，除此外，还有很多问题都可以用到数形结合的这种思想.数与形的联系和转化是数学永恒的研究主题，在上面江苏卷的问题的解题过程中可以看出数形结合思想在高考中的实用性，所以，在平日教学过程当中，有必要重视培养学生数形结合的思想，使之能成为一种习惯.