抛物运动问题常见的几种分解思路

吴含章

抛物运动指物体以一定的初速度抛出后，在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动.依据运动的独立性和等时性，运动学中常将较为复杂的曲线运动分解为某两个方向的直线运动.

分解思路一抛物运动仅受重力，抛物运动最常见的分解方法分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向a=g的匀变速直线运动.

例1在水平地面上将小球以与地面成θ角的初速度v斜向上抛出，求该小球上升的最大高度和水平射程分别是多少？

解析该小球的运动可以分解为水平方向以vx=vcosθ的匀速直线运动

竖直方向以vy0=vsinθ为初速度的竖直上抛运动

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

运行时间t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具体问题中根据题意的需要也可将抛物运动分解成竖直平面内相互垂直的任意两个方向，加速度g、速度v等矢量均沿着两个方向正交分解.

例2如图2所示，在倾角为θ的斜面顶端A处，以水平速度v0抛出一小球，落在斜面上B处，求①小球在运动过程中离斜面的最大距离.②A、B两点间的距离为多大？

解析题中所待求的最大距离是垂直于斜面方向的最大高度，应当分解为垂直于斜面和沿斜面两个方向的分运动，由分运动的独立性可知应当讲初速度v0和加速度g分别沿这两个方向分解，如图2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos为初速度，以ax=gsinθ为加速度的匀加速直线运动；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ为初速度，以ay=-gcosθ为加速度的匀变速直线运动.

当运行时间t=vy0ax=vsinθgcosθ时小球垂直于斜面方向的速度减小为零，有离斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升过程和下落过程的对称性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作抛物运动的物体的共同特点是加速度相同，其加速度恒为竖直向下的重力加速度.因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由下落的物体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观.

例3如图4所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度抛出A、B两个质点，问1s后A、B相距多远？

解析这道题可以取一个初速度为零，加速度为g的参考系.在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度v0射出很多个小球，球t秒之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设t秒之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况.但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是v0t，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2v0t.

例4如图5，弹性小球自高出斜面A点h处自由下落，与斜面发生弹性碰撞后又弹起，已知斜面的倾角为θ，问第二次下落点到第一次下落点的距离AB为多大？

解析小球从高出A点h处自由下落，到A点的速度为vA=2gh，由弹性碰撞规律可知，小球将以原速率反弹，方向如图6所示.

小球从A点反弹后的抛体运动可以看成沿反弹速度方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合成，由图6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN为等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

结语解析抛物运动问题时，应对研究问题进行分析，选择最合适的分解方法求解，实践证明，掌握了上述几种方法，会对解抛物运动问题有很大的帮助.endprint

抛物运动指物体以一定的初速度抛出后，在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动.依据运动的独立性和等时性，运动学中常将较为复杂的曲线运动分解为某两个方向的直线运动.

分解思路一抛物运动仅受重力，抛物运动最常见的分解方法分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向a=g的匀变速直线运动.

例1在水平地面上将小球以与地面成θ角的初速度v斜向上抛出，求该小球上升的最大高度和水平射程分别是多少？

解析该小球的运动可以分解为水平方向以vx=vcosθ的匀速直线运动

竖直方向以vy0=vsinθ为初速度的竖直上抛运动

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

运行时间t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具体问题中根据题意的需要也可将抛物运动分解成竖直平面内相互垂直的任意两个方向，加速度g、速度v等矢量均沿着两个方向正交分解.

例2如图2所示，在倾角为θ的斜面顶端A处，以水平速度v0抛出一小球，落在斜面上B处，求①小球在运动过程中离斜面的最大距离.②A、B两点间的距离为多大？

解析题中所待求的最大距离是垂直于斜面方向的最大高度，应当分解为垂直于斜面和沿斜面两个方向的分运动，由分运动的独立性可知应当讲初速度v0和加速度g分别沿这两个方向分解，如图2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos为初速度，以ax=gsinθ为加速度的匀加速直线运动；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ为初速度，以ay=-gcosθ为加速度的匀变速直线运动.

当运行时间t=vy0ax=vsinθgcosθ时小球垂直于斜面方向的速度减小为零，有离斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升过程和下落过程的对称性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作抛物运动的物体的共同特点是加速度相同，其加速度恒为竖直向下的重力加速度.因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由下落的物体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观.

例3如图4所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度抛出A、B两个质点，问1s后A、B相距多远？

解析这道题可以取一个初速度为零，加速度为g的参考系.在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度v0射出很多个小球，球t秒之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设t秒之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况.但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是v0t，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2v0t.

例4如图5，弹性小球自高出斜面A点h处自由下落，与斜面发生弹性碰撞后又弹起，已知斜面的倾角为θ，问第二次下落点到第一次下落点的距离AB为多大？

解析小球从高出A点h处自由下落，到A点的速度为vA=2gh，由弹性碰撞规律可知，小球将以原速率反弹，方向如图6所示.

小球从A点反弹后的抛体运动可以看成沿反弹速度方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合成，由图6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN为等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

结语解析抛物运动问题时，应对研究问题进行分析，选择最合适的分解方法求解，实践证明，掌握了上述几种方法，会对解抛物运动问题有很大的帮助.endprint

抛物运动指物体以一定的初速度抛出后，在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动.依据运动的独立性和等时性，运动学中常将较为复杂的曲线运动分解为某两个方向的直线运动.

分解思路一抛物运动仅受重力，抛物运动最常见的分解方法分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向a=g的匀变速直线运动.

例1在水平地面上将小球以与地面成θ角的初速度v斜向上抛出，求该小球上升的最大高度和水平射程分别是多少？

解析该小球的运动可以分解为水平方向以vx=vcosθ的匀速直线运动

竖直方向以vy0=vsinθ为初速度的竖直上抛运动

最大高度hmax=v2y02g=v2sin2θ2g

运行时间t=2vy0g=2vsinθg

射程x=vxt=2v2sin2θg

分解思路二具体问题中根据题意的需要也可将抛物运动分解成竖直平面内相互垂直的任意两个方向，加速度g、速度v等矢量均沿着两个方向正交分解.

例2如图2所示，在倾角为θ的斜面顶端A处，以水平速度v0抛出一小球，落在斜面上B处，求①小球在运动过程中离斜面的最大距离.②A、B两点间的距离为多大？

解析题中所待求的最大距离是垂直于斜面方向的最大高度，应当分解为垂直于斜面和沿斜面两个方向的分运动，由分运动的独立性可知应当讲初速度v0和加速度g分别沿这两个方向分解，如图2、3所示.

沿斜面方向以vx=v0cos为初速度，以ax=gsinθ为加速度的匀加速直线运动；

垂直于斜面方向以vy=v0sinθ为初速度，以ay=-gcosθ为加速度的匀变速直线运动.

当运行时间t=vy0ax=vsinθgcosθ时小球垂直于斜面方向的速度减小为零，有离斜面的最大高度hmax=v2y02ax=v2sin2θ2gcosθ.

由垂直于斜面方向上升过程和下落过程的对称性可知：

tAB=2vy0ax=2vsinθgcosθ

AB=vxtAB+12gsinθt2AB

=v0cosθ2vsinθgcosθ+12gsinθ（2vsinθgcosθ）2=2v2tanθcosθ

分解思路三作抛物运动的物体的共同特点是加速度相同，其加速度恒为竖直向下的重力加速度.因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由下落的物体为参照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题简单、直观.

例3如图4所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以vA=10m/s、vB=20m/s的初速度抛出A、B两个质点，问1s后A、B相距多远？

解析这道题可以取一个初速度为零，加速度为g的参考系.在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离

sAB=（vAt）2+（vBt）2=105m=22.4 m

在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度v0射出很多个小球，球t秒之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设t秒之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况.但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是v0t，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2v0t.

例4如图5，弹性小球自高出斜面A点h处自由下落，与斜面发生弹性碰撞后又弹起，已知斜面的倾角为θ，问第二次下落点到第一次下落点的距离AB为多大？

解析小球从高出A点h处自由下落，到A点的速度为vA=2gh，由弹性碰撞规律可知，小球将以原速率反弹，方向如图6所示.

小球从A点反弹后的抛体运动可以看成沿反弹速度方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合成，由图6可知∠NBA=∠NAB=90°-θ，△ABN为等腰三角形，即有vt=12gt2，又vA=2gh，所以t=2vAg=22hg， sAB=2vAtsinθ=8hsinθ.

结语解析抛物运动问题时，应对研究问题进行分析，选择最合适的分解方法求解，实践证明，掌握了上述几种方法，会对解抛物运动问题有很大的帮助.endprint