电磁场逆问题数值分析的多目标量子进化算法

王 宁 杨仕友

（浙江大学电气工程学院 杭州 310027）

1 引言

工程电磁场逆问题或优化问题一般归结为有约束的多（冲突）目标函数的数学规划问题。对于这类优化问题，由于存在不同目标的无法比较和冲突现象，不可能存在使得所有目标都取其极值点的最优解。因此，对于多目标函数的数学规划问题，通常存在一系列无法进行简单相互比较的可行解，即以不同权因子考虑各目标函数的最优折衷解，Pareto 最优解。因而，为了给决策者提供考虑侧重不同目标函数权重的多种优化设计方案，以便其根据系统或设备的运行条件和环境做出明智的抉择，理想的多目标优化算法必须具有能够搜索到并均匀采样整个Pareto 最优解的能力。由于在一次运行中能够搜索到多组不同的潜在最优解，近年来人们广泛开展了多目标／矢量进化算法（EA）研究[1-9]。研究表明，矢量进化算法能够有效地搜索到多目标优化问题的Pareto 解，目前已经成为多目标优化问题的标准算法。

然而，为了实现全局搜索和局部细化搜索的平衡，必须精确设计进化算法的结构和参数，如种群规模、变异操作、母本选择和遗传和生存竞争机制等[10]。同时，现有工作主要集中于如何设计算法使之能够搜索到Pareto 真解方面，但在如何解决算法收敛性和计算效率这一矛盾问题的研究成果则相对较少[11]。此外，现有进化算法无一例外地包括选择、交叉和变异等遗传算子。无论从理论上还是从数值实现方面来说，这些算子都十分复杂。因此，为了克服遗传算子的上述不足，近年来人们开始研究基于概率模型的进化算法（EAPM）[12]。

量子进化算法（QEA）是一种EAPM 算法[10,13]，具有EAPM 算法上述的固有优点。通过将量子物理和量子计算原理应用于传统的进化算法，QEA 在搜索过程中可以很容易地实现全局搜索和局部细化搜索的平衡。此外，QEA 的另一特征是种群规模较小，只需要少数个体的迭代即可在较短时间内有效地探索整个可行空间[10]。需要说明的是，目前应用QEA计算多目标电磁场逆问题的研究成果还很少。有鉴于此，本文在目前流行的单目标QEA 算法[10]的基础上提出了一种矢量QEA 算法，并将其应用于典型工程电磁场逆问题的分析和计算。

2 矢量QEA 算法

2.1 QEA 算法

在量子计算中[10,14]，最小的信息单元是一由一对复数[α β]T组成的量子位或Q 位。量子位[α β]T可能处于“1”或“0”状态，以及二者的任意组合。Q 位[α β]T的状态可表示为

其中，|α|2和|β|2分别表示Q 位处于“0”或“1”的概率，二者满足如下的归一化条件：

与传统进化算法使用的位串对应，由m 个Q 位组成的量子位串为

与传统位串不同，由Q 位组成的量子位串是优化变量取值的一种概率表示。因而QEA 的种群具有更好的多样性[10]。值得注意的是，由于式（3）表示的是优化变量的取值概率，一般通过观察或测量量子位串获得某一个特定的二进制位串（个体）。

为控制量子位i 使其向最优解进化，QEA 在迭代过程中一般根据已经搜索到的优异解，通过量子门更新量子位取0 和1的概率αi和βi,。量子门是一个可逆的门，满足U+U=UU+，（其中U+是U 的厄密伴随矩阵）。QEA 应用的量子门一般有非门、控制非门、旋转门和Hadamard 门等[10,13]。

2.2 适值计算

为了搜索Pareto 最优解，本文算法采用矢量进化算法中普遍应用的排序法计算某一个体的适值[15]。这种方法一般只能定性确定两个个体之间的“支配”关系而不能确定某一个体优于另一个体的目标函数总数。为解决这一问题，对多目标极小化问题，本文引入了如下定义的目标函数优异量，即

式中，N 为种群规模；m 为目标函数的数量；sign(x)为符号函数，且

同时，为进一步考虑某一具体目标函数的改进“程度”，本文又提出了如下的目标函数改进“度”：

综合式（5）和式（6），目标函数的改进偏移总量为

式中，w1为权因子。

将式（7）的改进偏移总量融于个体适值的赋值计算式，有

2.3 当前最优解的选取

前已述及，多目标优化问题的解不唯一，为一系列Pareto 最优解。因此，即便应用本文提出的适值赋值式（8）计算适值，不同Pareto 最优解的适值也可能相同。这一特点将增加当前最优点选取的困难。另一方面，某一个体的当前最优解可能在连续多个搜索周期内保持不变，进而引起算法的多样性变差、算法不能均匀采样Pareto 最优解。此外，如果当前最优解总是从Pareto 最优解中随机选取，算法的收敛性能又将下降。

为解决上述问题以保证算法全局搜索和局部细化搜索之间的良好平衡，本文算法引入了指示器矢量in(t)。指示器矢量的第j 个分量inj(t)记录个体j当前搜索到的最优解 bj(t) 被选为优异解更新相应量子位的次数。引入该指示器矢量后，在选择优异个体更新量子位时，优异个体bj(t)被选中的概率与inj(t) 的值成反比。此外，如果某一in(t) 分量的值超出了设定的临界值，为了避免在相应的优异个体周围进行不必要的细化搜索而浪费计算资源，算法将自动舍弃该最优解。

2.4 信息共享

为简化矢量QEA 的结构与实现过程，本文算法删除了标量QEA 算法的最低水平的信息共享操作。为共享不同量子的信息以加快算法的收敛速度，并同时保持种群的多样性，借鉴粒子群算法的基本思想，量子位个体的优异解定义并更新为在最近Nl代搜索到的最优解。由于一个优异解最多只能保持N 代，本文提出的信息共享机制可以确保种群的多样性。

2.5 偏移角的自适应更新

为了从已搜索过的状态提取目标函数的全局统计信息以指导算法向优异解进化，QEA 算法采用旋转门建立最优解的概率分布模型。在旋转操作中一般使用一个恒定的偏移角Δθ。研究表明，采用大的Δθ 可能导致算法过快收敛到局部极致点，而采用小的Δθ 则会减慢算法收敛速度[16]。为解决这一问题提，本文提出了如下的Δθ 自适应调整公式：

式中，t 为代数；λ为一个实常数。

显然，在搜索的初始阶段，本文矢量QEA 采用相对较小的Δθ 修改量子位，以确保生成种群的多样性。而在搜索的最后阶段，算法则采用较大的Δθ 修改量子位以保证算法以较快地速度收敛于Pareto 最优解。

3 应用实例

为了说明本文矢量QEA 的性能，本文应用不同模型问题对其进行了数值实验。限于篇幅，这里仅给出一个典型工程电磁场逆问题的计算结果。计算实例为大型水轮发电机多段圆弧的几何优化问题[17]，其数学模型为

式中，Bf1是发电机气隙磁通密度基波分量的幅值；ev是电机空载情况下正弦电压的失真度；THF 是电网谐波因数的缩写；Xd' 是发电机的直轴瞬态电抗；SCR 是短路比的缩写。

优化变量为多段圆弧的圆心和半径（见图1）。该问题的详细描述见文献[17,18]。为了说明本文工作的有效性，分别应用本文算法（QEA）和不包括本文前述改进的标准矢量QEA 算法（SQEA）搜索该矢量优化问题的Pareto 最优解。计算时，采用有限元方法计算发电机空载条件下的磁场。为了说明算法的鲁棒性，每种算法独立、随机运行5 次。运行结果表明，SQEA 算法和改进QEA 算法的平均迭代次数分别为2 016 和1 574。图2 和图3 分别给出了用改进QEA 算法和SQEA 算法优化某一300MW、44 极水轮发电机获得的Pareto 最优解。然后，通过比较不同算法搜索到的Pareto 解间的控制关系，可以发现：

（1）在SQEA 算法搜索到的598 个Pareto 最优解中，有129 个解由改进QEA 算法搜索到的最优解支配。换言之，这 129 个最优解并不是真正的Pareto 最优解。

（2）而在改进QEA 算法搜索到的529 个Pareto最优解中，仅有44 个解是由SQEA 算法的最终解支配，即这44 个解不是真正的Pareto 最优解。

上述计算结果表明：

（1）改进QEA 算法解的质量优于SQEA 算法解的质量，因为后者最优解控制前者最优解的数量少于前者最优解控制后者最优解的数量。

（2）改进QEA 算法的收敛性能优于SQEA 算法，前者的平均迭代次数小于后者的平均迭代次数。

图1 多段圆弧极靴示意图Fig.1 The schematic diagram of the multi-sectional pole shoes

图2 改进QEA 算法获得的300MW 水轮发电机的Pareto 最优解Fig.2 The searched Pareto solutions of a 300 MW hydrogenerator using the proposed algorithm QEA

图3 SQEA 算法获得的300MW 水轮发电机的Pareto 最优解Fig.3 The searched Pareto solutions of a 300 MW hydrogenerator using the same problem algorithm SQEA

此外，为进一步说明本文矢量优化算法的优越性，将本文算法搜索到的529 个Pareto 最优解与文献[18]改进模拟退火算法搜索到的单一最优解进行了对比分析。比较结果表明，本文算法搜索到的529个Pareto 解中的第201 个解，与文献[18]给出的最优解几乎完全相同。换言之，若采用本文算法优化设计的第201 个优化设计方案，在其他条件都相同的条件下，发电机气隙磁通密度基波幅值可提高近10%。因此，本文矢量优化算法具备传统标量优化算法的全局寻优能力。需要强调的是，本文算法除能够搜索到传统优化算法搜索到的侧重某一具体目标函数的全局最优解外，还能给出侧重不同目标函数的系列最优解。由此不难评价本文算法的优越性和工程实用性。

4 结论

为解决电磁场逆问题的多目标优化问题，本文提出了一种摒弃复杂遗传算子和操作的矢量 QEA算法，并通过实例计算说明了算法的有效性和优越性。实例计算结果表明，无论从计算效率还是从最优解的质量方面来看，改进算法的性能都优于原算法。

[1]Ishida K.An application of multi-objective particle swarm optimization to reconstruction of a layered dielectric circular cylinder[C].Proceedings of 2012 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation,2012:415-418.

[2]Ray S,Lowther D A.Multi-objective optimization applied to the matching of a specified torque-speed curve for an internal permanent magnet motor[J].IEEE Transactions on Magnetics,2009,45(3):1518-1521.

[3]Carcangiu S,Fanni A,Montisci A.Multiobjective tabu search algorithms for optimal design of electromagnetic devices[J].IEEE Transactions on Magnetics,2008,44(6):970-973.

[4]范昭楠,于歆杰.基于过程集成的电磁轨道炮脉冲电源多目标优化[J].电工技术学报,2010,25(5):20-24.Fan Zhaonan,Yu Xinjie.Process-integration based multi-objective optimization for pulsed power supply of electromagnetic guns[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2010,25(5):20-24.

[5]范坚坚,吴建华,沈磊,等.极间隔断Halbach 型磁钢的永磁同步电机多目标优化设计[J].电工技术学报,2009,24(9):53-58.Fan Jianjian,Wu Jianhua,Shen Lei,et al.Multiobjective optimization of permanent magnet synchronous motor with partition between poles halbach magnet[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2009,24(9):53-58.

[6]王新刚,艾芊,徐伟华,等.含分布式发电的微电网能量管理多目标优化[J].电力系统保护与控制,2009,37(20):79-83.Wang Xingang,Ai Qian,Xu Weihua,et al.Multi-objective optimal energy management of microgrid with distributed generation[J].Power System Protection and Control,2009,37(20):79-83.

[7]李啸虎,李磊,赵岩,等.考虑非计划停运及检修的发电权多目标优化交易[J].电力系统保护与控制,2010,38(13):35-39.Li Xiaohu,Li Lei,Zhao Yan,et al.Multi-objective optimized trade of generation rights considering non-plan outage and repair[J].Power System Protection and Control,2010,38(13):35-39.

[8]马瑞,康仁,姜飞,等.考虑风电随机模糊不确定性的电力系统多目标优化调度计划研究[J].电力系统保护与控制,2013,41(1):150-156.Ma Rui,Kang Ren,Jiang Fei,et al.Multi-objective dispatch planning of power system considering the stochastic and fuzzy wind power[J].Power System Protection and Control,2013,41(1):150-156.

[9]彭春华,孙惠娟,余廷芳.考虑竞价风险的多目标优化发电研究[J].电工技术学报,2012,27(2):210-216.Peng Chunhua,Sun Huijuan,Yu Tingfang.Multiobjective optimization of thermal power units output considering the bidding risk[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2012,27(2):210-216.

[10]Han K H,Kim J H.Quantum-inspired evolutionary algorithms with a new termination criterion,Hεgate,and two-phase scheme[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation,2004,8(2):156-168.

[11]Adra S F,Fleming P J.Diversity management in evolutionary many-objective optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation,2009,13(2):183-195.

[12]Lozano J A,Zhang Q,Larranaga P.Guest editorial:special issue on evolutionary algorithm based on probabilistic models[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation,2009,13(6):1197-1198.

[13]Platel M D,Schliebs S,Kasabov N.Quantum-inspired evolutionary algorithm:a multimodel EDA[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation,2009,13(6):1218-1232.

[14]Rieffel E,Polak W.An introduction to quantum computing for non-physicists[J].ACM Computing Surveys,2000,32:300-335.

[15]Zitzler E,Thiele L.Multiobjective evolutionary algorithms:a comparative case study and the strength Pareto approach[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation,1999,3(4):257-271.

[16]Talbi H,Draa A,Batouche M.A new quantuminspired genetic algorithm for solving the traveling salesman problem[C].IEEE International Conference on Industrial Technology,2004:1192-1197.

[17]Ho S L,Yang Shiyou,Fu W N.A population-based incremental learning vector algorithm for multiobjective optimal designs[J].IEEE Transactions on Magnetics,2011,47(5):1306-1309.

[18]杨仕友,倪光正,李岩,等.模拟退火算法的改进及其在电机电磁场逆问题数值计算中的应用[J].电工技术学报,1998,13(2):21-23.Yang Shiyou,Ni Guangzheng,Li Yan,et al.Improved simulated annealing algorithm and its application in inverse problem of electromagnetic fields of electrical machines[J].Transactions of China Electrotechnical Society,1998,13(2):21-23.