一线教师研究教材的主要切入点

吕学柱

一线高中数学教师因工作环境和知识结构的局限，从事理论研究通常存在困难.而结合教学实践进行教学研究则可以发挥自身优势，取得一定的成效.教材是最主要的教学资源之一，研究教材是一线教师容易上手的教学研究项目.可以从发现瑕疵、问题拓展、比较研究等方面切入开展教材研究.研究教材要从哪里入手呢？笔者结合教学实践介绍几个主要切入点，以供参考.

一、拓展

对教材中的问题进行变式、引申、推广和拓展，可以看清问题的本质，抓住问题的关键，为探究式教学和研究性学习提供良好的素材.

【案例1】过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△ABC面积最小时，求直线l的方程.

讨论解法后发现，面积最小的三角形恰好以点P为斜边的中点，这是否具有一般性？这个问题可类似于例题用解析法进行研究.答案是肯定的，并有下面推广.

推广1：过已知直角内一定点的直线与直角的两边围成的三角形面积最小时，定点是斜边的中点.（也可以用几何法证明，此处略去）

若已知角不为直角，结论如何？经过研究发现结论仍然成立.

推广2： 过已知角内一定点的直线与角的两边所围成的三角形面积最小时，定点为其所在边的中点.

证：已知∠XOY=α，其内部定点M，过M的直线l交两边与A、B两点，

过M作OA、OB的平行线分别交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小时M为AB边的中点. （还可用平面几何知识简洁证明，此处略去）

将推广2拓展到空间，有下述命题成立.

推广3 ： 已知顶点O为的三面角，其内部一定点M. 过点M的平面与三面角所围成的四面体OABC（A、B、C三点分别在三面角的三条棱上），其体积V最小时，点M为△ABC的重心.（证明可以类比推广2的方法，此处从略）

注：推广1和推广2可以在例题教学中作为学生探究的素材，推广3可以作为研究性学习的素材（也可以在“推理与证明”学习时作为探究的素材）.

二、“破格”

在新课程的实施过程中，课程标准按“模块”编制，教材按“模块”编写，打破了传统的课程体系和教材体系，由此在教学中“水土不服”现象频频出现.有的教师直接打破“模块”界限重组教学内容.这种做法既不符合新课程的要求，也给学生使用教材带来不便.我在教学中坚持渐进性原则，力避后置内容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模块”阻隔给教学造成不便的格局.

【案例2】直线的倾斜角增大时，直线的斜率如何变化？

教材中给出利用计算机或计算器计算k=tanα（给定α）来感知变化规律.似乎有“用现代技术把结论灌输给学生”之嫌.

这个问题等到学完必修4 中“正切函数的图像和性质”之后可以水到渠成.笔者经过研究认为除了“等待”之外，还可以挖掘现有资源消除“等待”之苦.

①如果直线l过原点，直线上取两点O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.当倾斜角α满足0°≤α≤90°时，斜率k随α的增大而增大；当倾斜角α满足90°<α<180°时，斜率k随α的增大而增大.

②如果直线l不经过原点，过原点作直线l′∥l，l′与l有相同的倾斜角和斜率，由①可得同样的结论.

综上可知，当0°≤α≤90°时，斜率k随α的增大而增大；当90°<α<180°时，斜率k随α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以从发现教材的缺点和不足作为切入点.而教材编写中科学性错误是极少的.对教材“指瑕”主要是指出其在教学活动中的“不合适”.

【案例3】判断下列表示是否正确：（1）a{a}.

编者意图是填“∈”，因为a是集合{a}的元素.对这个答案师生中的争执主要在a是集合时，集合与集合之间的关系能否用“∈”表示.

分析：

当a为实数（或者仅为“英文字母”）时，填“∈”正确；

当S为非空集合时，{a}为一个集合组成的集合，填“”正确；

当a=时，填“∈”正确，填“”也正确（因为空集是任何集合的子集）.

当然，a可以代表“形形色色”的数或集合，我们无法逐一讨论，但a是集合{a}的元素是始终不渝的.

不难看出，就“学术”层面而言，教材此处是没有瑕疵可指的.而就“教学”层面而言，即从有利于学生的“学”和教师的“教”而言，还是值得讨论的.

建议：作为练习，编者一定不会让学生思考如此复杂的情形，这个练习引起这样的讨论应属“意外”，这种讨论也略有超越《课程标准》之嫌.“纷争”源于a的“自由”.建议在教材中把此题加上限制（如a∈）.作为教师，对问题应有深入的研究，才能扮演好新课程下的教师角色，在课堂生成的“意外问题”面前方可从容淡定，游刃有余.从广义来说，集合与集合之间也可能出现“∈”关系.如果教师没有足够的学识，轻易说“不可能”，那就在不经意间扼杀了学生的创造力.

四、争议

日常的教学活动中，时常产生教师之间、师生之间或者学生之间对某个问题争论的现象.争议常常又源于教材的界定（或者未作界定）.对争议的研究和处理当然成为研究教材的一个主要切入点.

【案例4】教材中对函数零点作了这样的界定：

（1）f（x）=0的实数x的值叫做函数y=f（x）的零点.函数y=f（x）的零点就是f（x）=0的实数根，也就是y=f（x）函数的图像与x轴交点的横坐标.

（2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函数y=ax2+bx+c，设Δ=b2-4ac.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根x1=x2，二次函数图像与x轴有唯一交点（x1，0）.

分析：根据教材的界定，对于二次函数y=ax2+bx+c在Δ=0时的零点问题，说成有两个相等的零点或者说成有唯一的零点都是有根据的.但是教材引入“零点”的初衷是沟通函数与方程的联系、数与形的联系，同时还可以使数学表述更为简洁.而在“二次函数y=ax2+bx+c在Δ=0时的零点”这个问题上不光没有使表述更简洁，反而产生明显的争议.

建议：在教学中应该尽量回避上述争议问题，因为这种争议对学生来说是没有价值的.

教材在此应予以明确，如果教材中“不便妄言”，可以在教参中“发出声音”.

五、比较

比较研究法是一种重要的研究方法，可以进行中外教材的比较研究和新旧教材的比较研究，但最贴近教学实践的当然是新课标教材不同版本之间的比较研究.

【案例5】关于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版给出“描述法”具体方法：在花括号内先写上集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例题和练习全是数集.

这种编写产生两个问题：1.竖线前后不就都有共同特征了吗？2.例题和练习全是数集，是不是描述法只能表示数集呀？

对于这一内容，“苏教版”教材的处理总体是比较好的，“苏教版”的表示方法学完后再介绍人教A版的表示法，学生就知道后者表示有些“数集”较为简洁，也就难怪人教A版教材中例题和练习全是数集了.

一线高中数学教师因工作环境和知识结构的局限，从事理论研究通常存在困难.而结合教学实践进行教学研究则可以发挥自身优势，取得一定的成效.教材是最主要的教学资源之一，研究教材是一线教师容易上手的教学研究项目.可以从发现瑕疵、问题拓展、比较研究等方面切入开展教材研究.研究教材要从哪里入手呢？笔者结合教学实践介绍几个主要切入点，以供参考.

一、拓展

对教材中的问题进行变式、引申、推广和拓展，可以看清问题的本质，抓住问题的关键，为探究式教学和研究性学习提供良好的素材.

【案例1】过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△ABC面积最小时，求直线l的方程.

讨论解法后发现，面积最小的三角形恰好以点P为斜边的中点，这是否具有一般性？这个问题可类似于例题用解析法进行研究.答案是肯定的，并有下面推广.

推广1：过已知直角内一定点的直线与直角的两边围成的三角形面积最小时，定点是斜边的中点.（也可以用几何法证明，此处略去）

若已知角不为直角，结论如何？经过研究发现结论仍然成立.

推广2： 过已知角内一定点的直线与角的两边所围成的三角形面积最小时，定点为其所在边的中点.

证：已知∠XOY=α，其内部定点M，过M的直线l交两边与A、B两点，

过M作OA、OB的平行线分别交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小时M为AB边的中点. （还可用平面几何知识简洁证明，此处略去）

将推广2拓展到空间，有下述命题成立.

推广3 ： 已知顶点O为的三面角，其内部一定点M. 过点M的平面与三面角所围成的四面体OABC（A、B、C三点分别在三面角的三条棱上），其体积V最小时，点M为△ABC的重心.（证明可以类比推广2的方法，此处从略）

注：推广1和推广2可以在例题教学中作为学生探究的素材，推广3可以作为研究性学习的素材（也可以在“推理与证明”学习时作为探究的素材）.

二、“破格”

在新课程的实施过程中，课程标准按“模块”编制，教材按“模块”编写，打破了传统的课程体系和教材体系，由此在教学中“水土不服”现象频频出现.有的教师直接打破“模块”界限重组教学内容.这种做法既不符合新课程的要求，也给学生使用教材带来不便.我在教学中坚持渐进性原则，力避后置内容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模块”阻隔给教学造成不便的格局.

【案例2】直线的倾斜角增大时，直线的斜率如何变化？

教材中给出利用计算机或计算器计算k=tanα（给定α）来感知变化规律.似乎有“用现代技术把结论灌输给学生”之嫌.

这个问题等到学完必修4 中“正切函数的图像和性质”之后可以水到渠成.笔者经过研究认为除了“等待”之外，还可以挖掘现有资源消除“等待”之苦.

①如果直线l过原点，直线上取两点O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.当倾斜角α满足0°≤α≤90°时，斜率k随α的增大而增大；当倾斜角α满足90°<α<180°时，斜率k随α的增大而增大.

②如果直线l不经过原点，过原点作直线l′∥l，l′与l有相同的倾斜角和斜率，由①可得同样的结论.

综上可知，当0°≤α≤90°时，斜率k随α的增大而增大；当90°<α<180°时，斜率k随α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以从发现教材的缺点和不足作为切入点.而教材编写中科学性错误是极少的.对教材“指瑕”主要是指出其在教学活动中的“不合适”.

【案例3】判断下列表示是否正确：（1）a{a}.

编者意图是填“∈”，因为a是集合{a}的元素.对这个答案师生中的争执主要在a是集合时，集合与集合之间的关系能否用“∈”表示.

分析：

当a为实数（或者仅为“英文字母”）时，填“∈”正确；

当S为非空集合时，{a}为一个集合组成的集合，填“”正确；

当a=时，填“∈”正确，填“”也正确（因为空集是任何集合的子集）.

当然，a可以代表“形形色色”的数或集合，我们无法逐一讨论，但a是集合{a}的元素是始终不渝的.

不难看出，就“学术”层面而言，教材此处是没有瑕疵可指的.而就“教学”层面而言，即从有利于学生的“学”和教师的“教”而言，还是值得讨论的.

建议：作为练习，编者一定不会让学生思考如此复杂的情形，这个练习引起这样的讨论应属“意外”，这种讨论也略有超越《课程标准》之嫌.“纷争”源于a的“自由”.建议在教材中把此题加上限制（如a∈）.作为教师，对问题应有深入的研究，才能扮演好新课程下的教师角色，在课堂生成的“意外问题”面前方可从容淡定，游刃有余.从广义来说，集合与集合之间也可能出现“∈”关系.如果教师没有足够的学识，轻易说“不可能”，那就在不经意间扼杀了学生的创造力.

四、争议

日常的教学活动中，时常产生教师之间、师生之间或者学生之间对某个问题争论的现象.争议常常又源于教材的界定（或者未作界定）.对争议的研究和处理当然成为研究教材的一个主要切入点.

【案例4】教材中对函数零点作了这样的界定：

（1）f（x）=0的实数x的值叫做函数y=f（x）的零点.函数y=f（x）的零点就是f（x）=0的实数根，也就是y=f（x）函数的图像与x轴交点的横坐标.

（2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函数y=ax2+bx+c，设Δ=b2-4ac.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根x1=x2，二次函数图像与x轴有唯一交点（x1，0）.

分析：根据教材的界定，对于二次函数y=ax2+bx+c在Δ=0时的零点问题，说成有两个相等的零点或者说成有唯一的零点都是有根据的.但是教材引入“零点”的初衷是沟通函数与方程的联系、数与形的联系，同时还可以使数学表述更为简洁.而在“二次函数y=ax2+bx+c在Δ=0时的零点”这个问题上不光没有使表述更简洁，反而产生明显的争议.

建议：在教学中应该尽量回避上述争议问题，因为这种争议对学生来说是没有价值的.

教材在此应予以明确，如果教材中“不便妄言”，可以在教参中“发出声音”.

五、比较

比较研究法是一种重要的研究方法，可以进行中外教材的比较研究和新旧教材的比较研究，但最贴近教学实践的当然是新课标教材不同版本之间的比较研究.

【案例5】关于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版给出“描述法”具体方法：在花括号内先写上集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例题和练习全是数集.

这种编写产生两个问题：1.竖线前后不就都有共同特征了吗？2.例题和练习全是数集，是不是描述法只能表示数集呀？

对于这一内容，“苏教版”教材的处理总体是比较好的，“苏教版”的表示方法学完后再介绍人教A版的表示法，学生就知道后者表示有些“数集”较为简洁，也就难怪人教A版教材中例题和练习全是数集了.

一线高中数学教师因工作环境和知识结构的局限，从事理论研究通常存在困难.而结合教学实践进行教学研究则可以发挥自身优势，取得一定的成效.教材是最主要的教学资源之一，研究教材是一线教师容易上手的教学研究项目.可以从发现瑕疵、问题拓展、比较研究等方面切入开展教材研究.研究教材要从哪里入手呢？笔者结合教学实践介绍几个主要切入点，以供参考.

一、拓展

对教材中的问题进行变式、引申、推广和拓展，可以看清问题的本质，抓住问题的关键，为探究式教学和研究性学习提供良好的素材.

【案例1】过点P（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当△ABC面积最小时，求直线l的方程.

讨论解法后发现，面积最小的三角形恰好以点P为斜边的中点，这是否具有一般性？这个问题可类似于例题用解析法进行研究.答案是肯定的，并有下面推广.

推广1：过已知直角内一定点的直线与直角的两边围成的三角形面积最小时，定点是斜边的中点.（也可以用几何法证明，此处略去）

若已知角不为直角，结论如何？经过研究发现结论仍然成立.

推广2： 过已知角内一定点的直线与角的两边所围成的三角形面积最小时，定点为其所在边的中点.

证：已知∠XOY=α，其内部定点M，过M的直线l交两边与A、B两点，

过M作OA、OB的平行线分别交OB、OA于A′、B′，，由基本不等式得S最小时M为AB边的中点. （还可用平面几何知识简洁证明，此处略去）

将推广2拓展到空间，有下述命题成立.

推广3 ： 已知顶点O为的三面角，其内部一定点M. 过点M的平面与三面角所围成的四面体OABC（A、B、C三点分别在三面角的三条棱上），其体积V最小时，点M为△ABC的重心.（证明可以类比推广2的方法，此处从略）

注：推广1和推广2可以在例题教学中作为学生探究的素材，推广3可以作为研究性学习的素材（也可以在“推理与证明”学习时作为探究的素材）.

二、“破格”

在新课程的实施过程中，课程标准按“模块”编制，教材按“模块”编写，打破了传统的课程体系和教材体系，由此在教学中“水土不服”现象频频出现.有的教师直接打破“模块”界限重组教学内容.这种做法既不符合新课程的要求，也给学生使用教材带来不便.我在教学中坚持渐进性原则，力避后置内容的前移，采用“挖掘加等待”的模式，打破“模块”阻隔给教学造成不便的格局.

【案例2】直线的倾斜角增大时，直线的斜率如何变化？

教材中给出利用计算机或计算器计算k=tanα（给定α）来感知变化规律.似乎有“用现代技术把结论灌输给学生”之嫌.

这个问题等到学完必修4 中“正切函数的图像和性质”之后可以水到渠成.笔者经过研究认为除了“等待”之外，还可以挖掘现有资源消除“等待”之苦.

①如果直线l过原点，直线上取两点O（0，0），P（1，y）易知斜率k=y.当倾斜角α满足0°≤α≤90°时，斜率k随α的增大而增大；当倾斜角α满足90°<α<180°时，斜率k随α的增大而增大.

②如果直线l不经过原点，过原点作直线l′∥l，l′与l有相同的倾斜角和斜率，由①可得同样的结论.

综上可知，当0°≤α≤90°时，斜率k随α的增大而增大；当90°<α<180°时，斜率k随α的增大而增大.

三、“指瑕”

研究教材可以从发现教材的缺点和不足作为切入点.而教材编写中科学性错误是极少的.对教材“指瑕”主要是指出其在教学活动中的“不合适”.

【案例3】判断下列表示是否正确：（1）a{a}.

编者意图是填“∈”，因为a是集合{a}的元素.对这个答案师生中的争执主要在a是集合时，集合与集合之间的关系能否用“∈”表示.

分析：

当a为实数（或者仅为“英文字母”）时，填“∈”正确；

当S为非空集合时，{a}为一个集合组成的集合，填“”正确；

当a=时，填“∈”正确，填“”也正确（因为空集是任何集合的子集）.

当然，a可以代表“形形色色”的数或集合，我们无法逐一讨论，但a是集合{a}的元素是始终不渝的.

不难看出，就“学术”层面而言，教材此处是没有瑕疵可指的.而就“教学”层面而言，即从有利于学生的“学”和教师的“教”而言，还是值得讨论的.

建议：作为练习，编者一定不会让学生思考如此复杂的情形，这个练习引起这样的讨论应属“意外”，这种讨论也略有超越《课程标准》之嫌.“纷争”源于a的“自由”.建议在教材中把此题加上限制（如a∈）.作为教师，对问题应有深入的研究，才能扮演好新课程下的教师角色，在课堂生成的“意外问题”面前方可从容淡定，游刃有余.从广义来说，集合与集合之间也可能出现“∈”关系.如果教师没有足够的学识，轻易说“不可能”，那就在不经意间扼杀了学生的创造力.

四、争议

日常的教学活动中，时常产生教师之间、师生之间或者学生之间对某个问题争论的现象.争议常常又源于教材的界定（或者未作界定）.对争议的研究和处理当然成为研究教材的一个主要切入点.

【案例4】教材中对函数零点作了这样的界定：

（1）f（x）=0的实数x的值叫做函数y=f（x）的零点.函数y=f（x）的零点就是f（x）=0的实数根，也就是y=f（x）函数的图像与x轴交点的横坐标.

（2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0和二次函数y=ax2+bx+c，设Δ=b2-4ac.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等实数根x1=x2，二次函数图像与x轴有唯一交点（x1，0）.

分析：根据教材的界定，对于二次函数y=ax2+bx+c在Δ=0时的零点问题，说成有两个相等的零点或者说成有唯一的零点都是有根据的.但是教材引入“零点”的初衷是沟通函数与方程的联系、数与形的联系，同时还可以使数学表述更为简洁.而在“二次函数y=ax2+bx+c在Δ=0时的零点”这个问题上不光没有使表述更简洁，反而产生明显的争议.

建议：在教学中应该尽量回避上述争议问题，因为这种争议对学生来说是没有价值的.

教材在此应予以明确，如果教材中“不便妄言”，可以在教参中“发出声音”.

五、比较

比较研究法是一种重要的研究方法，可以进行中外教材的比较研究和新旧教材的比较研究，但最贴近教学实践的当然是新课标教材不同版本之间的比较研究.

【案例5】关于集合表示法（必修1 中1.1）

人教A版给出“描述法”具体方法：在花括号内先写上集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例题和练习全是数集.

这种编写产生两个问题：1.竖线前后不就都有共同特征了吗？2.例题和练习全是数集，是不是描述法只能表示数集呀？

对于这一内容，“苏教版”教材的处理总体是比较好的，“苏教版”的表示方法学完后再介绍人教A版的表示法，学生就知道后者表示有些“数集”较为简洁，也就难怪人教A版教材中例题和练习全是数集了.