高中生物新课程教学中数学模型建构探微

张彦萍

《普通高中生物课程标准》明确指出：了解、领悟建立数学模型的科学方法及其在科学研究中的应用，培养学生的建模思维和建模能力，掌握生物学的基本事实、概念、原理、规律和模型等方面的基础知识。即教师在教学中要建构数学模型，渗透数学建模思想，注重理科思维的培养，树立理科意识，提高学生的科学素养和科学探究能力。本文在此探讨高中生物新课程教学中数学模型建构的方法、应用及其对学生能力的培养。

一、对数学模型的认识

数学模型，就是为了某种目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。在生物新课程教学中建构数学模型，其实就是引导学生用一种数学的思维方法，运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决生物学实际问题的一种强有力的教学手段，是联系实际问题和数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能。同时其作为一种现代科学认识手段和思维方法，不仅是学生获取知识的条件，而且是学生认知结构的重要组成部分。

二、建构数学模型的一般步骤

以新课标生物必修3第4章第2节《种群数量的变化》中的“微生物种群数量的变化”为例，建构数学模型。

1.观察研究对象，提出问题。研究对象是“细菌”，通过大量观察和实验得出其特征是“进行二分裂，每20min分裂一次”，这是建构数学模型的基础。生命现象和规律往往不是以数学化的形式出现的，这就需要我们善于从现象中抓住其数学本质，将生物学问题转化为数学问题，进一步解释生物现象，揭示生命活动规律。

2.合理提出模型假设。根据研究对象的特征和建模目的，对问题进行合理的简化，用精确的语言作出假设。此建模中的假设是“在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响”。

3.根据实验数据，用适当的数学形式进行表达（即数学模型的表达形式）。根据所作的假设分析对象的内在规律，利用适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其他数学结构，应当注意选择的数学形式愈简单愈有价值。这样就可归纳得出细菌增殖的特点是满足指数函数的增长，因此用数学形式表达为Nn=2n，其中N代表细菌数量，n代表第几代。

4.进一步观察，修正模型。在生物学中大量现象与规律是极其复杂的，存在许多不确定因素和例外的现象，因此教师应通过实验或观察，对原先的模型进行检验、修正，使学生认识到模型的建构是不断发展和完善的过程，并引导学生进一步思考问题：（1）若生物前后代不一定以两倍的倍数进行增长，那么它们的种群数量的变化是否也满足上述的“J型增长曲线”呢？如果满足，它的函数模型又是怎样呢？通过进一步的假设分析，得到Nt=Noλt，其中No为该种群的起始数量，t为时间，Nt为t年后该种群的数量，λ为该种群每年增长倍数；（2）生物的实际生活环境都是理想的吗？让学生对实际环境中生物种群的数量变化进行假设分析，得出在自然界中，种群受到物理因素和生物因素的制约不能无限增长，而且随着种群数量的不断增长，制约因素的作用逐渐增大，使出生率等于死亡率，种群在增长到一定限度后达到相对的稳定，因此构建出另一增长曲线——“S型增长曲线”。

三、数学模型在高中生物新课程教学中的应用

1.建构数学模型，总结概括生物学规律。孟德尔一对相对性状的杂交实验中，子二代不同性状的数据虽然有差异，但显隐性之比都接近3∶1，不同基因型之比都接近1∶2∶1；两对相对性状的杂交实验中，子二代不同性状存在（3∶1）2的展开式，即（9∶3∶3∶1）的比例关系，不同基因型存在（1∶2∶1）2的展开式，即（1∶2∶1∶2∶4∶2∶1∶2∶1）的比例关系。我们不难推出，三对相对性状的杂交实验中，子三代性状存在（3∶1）3展开式的比例关系，基因型存在（1∶2∶1）3展开式的比例关系。不管是几对相对性状，都可以用一对相对性状（3∶1）及（1∶2∶1）的比例关系，推算出后代表现型、基因型的比例关系。

2.建构数学模型，辨析相近、相似概念。高中生物学中概念多，学生易混淆。对此，教师可借用数学上的等式或集合等建立数学模型来引导学生进行辨析，帮助学生理清概念。如减数分裂中四分体、染色单体、同源染色体等之间的关系就可以用数学模型来表示：1个四分体=4条染色单体=1对同源染色体=2条联会的染色体=4个DNA分子=8条脱氧核苷酸链，这样学生很容易就掌握这几个极易混淆的概念。又如，亲代细胞DNA分子用N15标记，放在含N14的培养液中复制，如果复制n次，含N14的、只含N14的、含有N15的DNA分子占全部DNA分子的比例和占全部DNA单链的比例依次为多少？对于这个问题，学生常常混淆不清。通过图解分析，师生一起建构数学模型：DNA分子的数量为2n，含N15的DNA分子占子代总DNA分子的比值为1/2n-1，子代的脱氧核苷酸链条数为2n+1，含N15的脱氧核苷酸链条数为2，占总数的1/2n，N14的脱氧核苷酸 链占总数的2n+1-2/2n+1。难题立即迎刃而解。

3.建构数学模型，化解教学难点。通过建构数学模型，使一些重点、疑点、难点化繁为简，不仅能使学生对知识理解更透彻，也能使其认知水平逐步从具体向抽象过渡，从感性思维上升到理性思维。我们常用Flash动态地展出有丝分裂、减数分裂的整个过程，让学生体会细胞分裂过程中的变化特点，但学生总觉得很难领悟染色体、DNA的变化规律。对此，师生可共同分析图解，建构表格式的数学模型，再建立坐标系进而转化成坐标曲线，并将染色体与DNA的变化曲线整合在一张坐标图上进行直观比较，帮助学生掌握染色体和DNA变化规律的特点与区别。学生依据建构的数学模型，轻松解决问题，从而化解难点。

四、建构数学模型对学生能力的培养

1.培养创新意识与创新能力。创新能力是根据当前的知识和经验，加工、处理并有机迁移或整合，创造出新知识的能力。生物学上的很多问题，学生在对其进行理解时感到困惑，但这些问题却可以让学生根据自己所获取的知识，通过建构数学模型将生物学知识转变成与数学模型相关的问题进行解决。通过学生的主动思考，动手参与，不断分析、反思和修正，加深对这些知识的理解，极大地丰富了学生的形象思维和创新思维，培养了学生的创新意识与创新能力。

2.培养批判性思维能力。在生物科学发展中，批判性思维活动尤为重要。运用相关知识以及相应的策略，在学习前人遗留的宝贵知识时，要勇于质疑，就其性质、价值、精确性和真实性等方面进行批判性的审视，作出自己的判断、评价，并通过研究使其科学化、丰富化，进而推动科学的发展。在建构模型教学中，教师可利用课本中的素材培养学生的批判性思维能力。

3.培养逻辑思维能力。生物学中有许多现象和规律可以用数学语言来表示。数学模型中的曲线模型应用起来简单直观，利用数学模型将复杂多变的生物知识简单化传授给学生，有利于提高学生的逻辑思维能力。

4.培养探究能力。在建构模型时，学生通过主动思考确定研究对象，分析已知和未知，选择合适的研究方法，反思、修正、检验模型的科学性和准确性，在探究中完成知识体系的构建，领悟到科学探究的方法，让学生在探索科学现象、发现科学规律的活动中，培养探究能力。

5.培养搜集信息和处理信息的能力。在建构模型过程中，学生自己有目的地去寻找、查阅、搜集大量的信息，这些信息中有重复的、与活动无关的、不完整的甚至是错误的信息。学生对信息进行分析、判断、整理、归纳的过程本身就是培养搜集和处理信息能力的过程，使学生的学习空间更加广阔。

此外，在生物教学中引导学生建构数学模型，通过科学与数学的整合，渗透模型思维，培养了学生透过现象揭示本质的洞察力及简约、严密的思想品质，有效提高了学生分析、解决问题的能力。

（责任编辑 黄春香）endprint

《普通高中生物课程标准》明确指出：了解、领悟建立数学模型的科学方法及其在科学研究中的应用，培养学生的建模思维和建模能力，掌握生物学的基本事实、概念、原理、规律和模型等方面的基础知识。即教师在教学中要建构数学模型，渗透数学建模思想，注重理科思维的培养，树立理科意识，提高学生的科学素养和科学探究能力。本文在此探讨高中生物新课程教学中数学模型建构的方法、应用及其对学生能力的培养。

一、对数学模型的认识

数学模型，就是为了某种目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。在生物新课程教学中建构数学模型，其实就是引导学生用一种数学的思维方法，运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决生物学实际问题的一种强有力的教学手段，是联系实际问题和数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能。同时其作为一种现代科学认识手段和思维方法，不仅是学生获取知识的条件，而且是学生认知结构的重要组成部分。

二、建构数学模型的一般步骤

以新课标生物必修3第4章第2节《种群数量的变化》中的“微生物种群数量的变化”为例，建构数学模型。

1.观察研究对象，提出问题。研究对象是“细菌”，通过大量观察和实验得出其特征是“进行二分裂，每20min分裂一次”，这是建构数学模型的基础。生命现象和规律往往不是以数学化的形式出现的，这就需要我们善于从现象中抓住其数学本质，将生物学问题转化为数学问题，进一步解释生物现象，揭示生命活动规律。

2.合理提出模型假设。根据研究对象的特征和建模目的，对问题进行合理的简化，用精确的语言作出假设。此建模中的假设是“在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响”。

3.根据实验数据，用适当的数学形式进行表达（即数学模型的表达形式）。根据所作的假设分析对象的内在规律，利用适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其他数学结构，应当注意选择的数学形式愈简单愈有价值。这样就可归纳得出细菌增殖的特点是满足指数函数的增长，因此用数学形式表达为Nn=2n，其中N代表细菌数量，n代表第几代。

4.进一步观察，修正模型。在生物学中大量现象与规律是极其复杂的，存在许多不确定因素和例外的现象，因此教师应通过实验或观察，对原先的模型进行检验、修正，使学生认识到模型的建构是不断发展和完善的过程，并引导学生进一步思考问题：（1）若生物前后代不一定以两倍的倍数进行增长，那么它们的种群数量的变化是否也满足上述的“J型增长曲线”呢？如果满足，它的函数模型又是怎样呢？通过进一步的假设分析，得到Nt=Noλt，其中No为该种群的起始数量，t为时间，Nt为t年后该种群的数量，λ为该种群每年增长倍数；（2）生物的实际生活环境都是理想的吗？让学生对实际环境中生物种群的数量变化进行假设分析，得出在自然界中，种群受到物理因素和生物因素的制约不能无限增长，而且随着种群数量的不断增长，制约因素的作用逐渐增大，使出生率等于死亡率，种群在增长到一定限度后达到相对的稳定，因此构建出另一增长曲线——“S型增长曲线”。

三、数学模型在高中生物新课程教学中的应用

1.建构数学模型，总结概括生物学规律。孟德尔一对相对性状的杂交实验中，子二代不同性状的数据虽然有差异，但显隐性之比都接近3∶1，不同基因型之比都接近1∶2∶1；两对相对性状的杂交实验中，子二代不同性状存在（3∶1）2的展开式，即（9∶3∶3∶1）的比例关系，不同基因型存在（1∶2∶1）2的展开式，即（1∶2∶1∶2∶4∶2∶1∶2∶1）的比例关系。我们不难推出，三对相对性状的杂交实验中，子三代性状存在（3∶1）3展开式的比例关系，基因型存在（1∶2∶1）3展开式的比例关系。不管是几对相对性状，都可以用一对相对性状（3∶1）及（1∶2∶1）的比例关系，推算出后代表现型、基因型的比例关系。

2.建构数学模型，辨析相近、相似概念。高中生物学中概念多，学生易混淆。对此，教师可借用数学上的等式或集合等建立数学模型来引导学生进行辨析，帮助学生理清概念。如减数分裂中四分体、染色单体、同源染色体等之间的关系就可以用数学模型来表示：1个四分体=4条染色单体=1对同源染色体=2条联会的染色体=4个DNA分子=8条脱氧核苷酸链，这样学生很容易就掌握这几个极易混淆的概念。又如，亲代细胞DNA分子用N15标记，放在含N14的培养液中复制，如果复制n次，含N14的、只含N14的、含有N15的DNA分子占全部DNA分子的比例和占全部DNA单链的比例依次为多少？对于这个问题，学生常常混淆不清。通过图解分析，师生一起建构数学模型：DNA分子的数量为2n，含N15的DNA分子占子代总DNA分子的比值为1/2n-1，子代的脱氧核苷酸链条数为2n+1，含N15的脱氧核苷酸链条数为2，占总数的1/2n，N14的脱氧核苷酸 链占总数的2n+1-2/2n+1。难题立即迎刃而解。

3.建构数学模型，化解教学难点。通过建构数学模型，使一些重点、疑点、难点化繁为简，不仅能使学生对知识理解更透彻，也能使其认知水平逐步从具体向抽象过渡，从感性思维上升到理性思维。我们常用Flash动态地展出有丝分裂、减数分裂的整个过程，让学生体会细胞分裂过程中的变化特点，但学生总觉得很难领悟染色体、DNA的变化规律。对此，师生可共同分析图解，建构表格式的数学模型，再建立坐标系进而转化成坐标曲线，并将染色体与DNA的变化曲线整合在一张坐标图上进行直观比较，帮助学生掌握染色体和DNA变化规律的特点与区别。学生依据建构的数学模型，轻松解决问题，从而化解难点。

四、建构数学模型对学生能力的培养

1.培养创新意识与创新能力。创新能力是根据当前的知识和经验，加工、处理并有机迁移或整合，创造出新知识的能力。生物学上的很多问题，学生在对其进行理解时感到困惑，但这些问题却可以让学生根据自己所获取的知识，通过建构数学模型将生物学知识转变成与数学模型相关的问题进行解决。通过学生的主动思考，动手参与，不断分析、反思和修正，加深对这些知识的理解，极大地丰富了学生的形象思维和创新思维，培养了学生的创新意识与创新能力。

2.培养批判性思维能力。在生物科学发展中，批判性思维活动尤为重要。运用相关知识以及相应的策略，在学习前人遗留的宝贵知识时，要勇于质疑，就其性质、价值、精确性和真实性等方面进行批判性的审视，作出自己的判断、评价，并通过研究使其科学化、丰富化，进而推动科学的发展。在建构模型教学中，教师可利用课本中的素材培养学生的批判性思维能力。

3.培养逻辑思维能力。生物学中有许多现象和规律可以用数学语言来表示。数学模型中的曲线模型应用起来简单直观，利用数学模型将复杂多变的生物知识简单化传授给学生，有利于提高学生的逻辑思维能力。

4.培养探究能力。在建构模型时，学生通过主动思考确定研究对象，分析已知和未知，选择合适的研究方法，反思、修正、检验模型的科学性和准确性，在探究中完成知识体系的构建，领悟到科学探究的方法，让学生在探索科学现象、发现科学规律的活动中，培养探究能力。

5.培养搜集信息和处理信息的能力。在建构模型过程中，学生自己有目的地去寻找、查阅、搜集大量的信息，这些信息中有重复的、与活动无关的、不完整的甚至是错误的信息。学生对信息进行分析、判断、整理、归纳的过程本身就是培养搜集和处理信息能力的过程，使学生的学习空间更加广阔。

此外，在生物教学中引导学生建构数学模型，通过科学与数学的整合，渗透模型思维，培养了学生透过现象揭示本质的洞察力及简约、严密的思想品质，有效提高了学生分析、解决问题的能力。

（责任编辑 黄春香）endprint

《普通高中生物课程标准》明确指出：了解、领悟建立数学模型的科学方法及其在科学研究中的应用，培养学生的建模思维和建模能力，掌握生物学的基本事实、概念、原理、规律和模型等方面的基础知识。即教师在教学中要建构数学模型，渗透数学建模思想，注重理科思维的培养，树立理科意识，提高学生的科学素养和科学探究能力。本文在此探讨高中生物新课程教学中数学模型建构的方法、应用及其对学生能力的培养。

一、对数学模型的认识

数学模型，就是为了某种目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。在生物新课程教学中建构数学模型，其实就是引导学生用一种数学的思维方法，运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决生物学实际问题的一种强有力的教学手段，是联系实际问题和数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能。同时其作为一种现代科学认识手段和思维方法，不仅是学生获取知识的条件，而且是学生认知结构的重要组成部分。

二、建构数学模型的一般步骤

以新课标生物必修3第4章第2节《种群数量的变化》中的“微生物种群数量的变化”为例，建构数学模型。

1.观察研究对象，提出问题。研究对象是“细菌”，通过大量观察和实验得出其特征是“进行二分裂，每20min分裂一次”，这是建构数学模型的基础。生命现象和规律往往不是以数学化的形式出现的，这就需要我们善于从现象中抓住其数学本质，将生物学问题转化为数学问题，进一步解释生物现象，揭示生命活动规律。

2.合理提出模型假设。根据研究对象的特征和建模目的，对问题进行合理的简化，用精确的语言作出假设。此建模中的假设是“在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受到种群密度增加的影响”。

3.根据实验数据，用适当的数学形式进行表达（即数学模型的表达形式）。根据所作的假设分析对象的内在规律，利用适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其他数学结构，应当注意选择的数学形式愈简单愈有价值。这样就可归纳得出细菌增殖的特点是满足指数函数的增长，因此用数学形式表达为Nn=2n，其中N代表细菌数量，n代表第几代。

4.进一步观察，修正模型。在生物学中大量现象与规律是极其复杂的，存在许多不确定因素和例外的现象，因此教师应通过实验或观察，对原先的模型进行检验、修正，使学生认识到模型的建构是不断发展和完善的过程，并引导学生进一步思考问题：（1）若生物前后代不一定以两倍的倍数进行增长，那么它们的种群数量的变化是否也满足上述的“J型增长曲线”呢？如果满足，它的函数模型又是怎样呢？通过进一步的假设分析，得到Nt=Noλt，其中No为该种群的起始数量，t为时间，Nt为t年后该种群的数量，λ为该种群每年增长倍数；（2）生物的实际生活环境都是理想的吗？让学生对实际环境中生物种群的数量变化进行假设分析，得出在自然界中，种群受到物理因素和生物因素的制约不能无限增长，而且随着种群数量的不断增长，制约因素的作用逐渐增大，使出生率等于死亡率，种群在增长到一定限度后达到相对的稳定，因此构建出另一增长曲线——“S型增长曲线”。

三、数学模型在高中生物新课程教学中的应用

1.建构数学模型，总结概括生物学规律。孟德尔一对相对性状的杂交实验中，子二代不同性状的数据虽然有差异，但显隐性之比都接近3∶1，不同基因型之比都接近1∶2∶1；两对相对性状的杂交实验中，子二代不同性状存在（3∶1）2的展开式，即（9∶3∶3∶1）的比例关系，不同基因型存在（1∶2∶1）2的展开式，即（1∶2∶1∶2∶4∶2∶1∶2∶1）的比例关系。我们不难推出，三对相对性状的杂交实验中，子三代性状存在（3∶1）3展开式的比例关系，基因型存在（1∶2∶1）3展开式的比例关系。不管是几对相对性状，都可以用一对相对性状（3∶1）及（1∶2∶1）的比例关系，推算出后代表现型、基因型的比例关系。

2.建构数学模型，辨析相近、相似概念。高中生物学中概念多，学生易混淆。对此，教师可借用数学上的等式或集合等建立数学模型来引导学生进行辨析，帮助学生理清概念。如减数分裂中四分体、染色单体、同源染色体等之间的关系就可以用数学模型来表示：1个四分体=4条染色单体=1对同源染色体=2条联会的染色体=4个DNA分子=8条脱氧核苷酸链，这样学生很容易就掌握这几个极易混淆的概念。又如，亲代细胞DNA分子用N15标记，放在含N14的培养液中复制，如果复制n次，含N14的、只含N14的、含有N15的DNA分子占全部DNA分子的比例和占全部DNA单链的比例依次为多少？对于这个问题，学生常常混淆不清。通过图解分析，师生一起建构数学模型：DNA分子的数量为2n，含N15的DNA分子占子代总DNA分子的比值为1/2n-1，子代的脱氧核苷酸链条数为2n+1，含N15的脱氧核苷酸链条数为2，占总数的1/2n，N14的脱氧核苷酸 链占总数的2n+1-2/2n+1。难题立即迎刃而解。

3.建构数学模型，化解教学难点。通过建构数学模型，使一些重点、疑点、难点化繁为简，不仅能使学生对知识理解更透彻，也能使其认知水平逐步从具体向抽象过渡，从感性思维上升到理性思维。我们常用Flash动态地展出有丝分裂、减数分裂的整个过程，让学生体会细胞分裂过程中的变化特点，但学生总觉得很难领悟染色体、DNA的变化规律。对此，师生可共同分析图解，建构表格式的数学模型，再建立坐标系进而转化成坐标曲线，并将染色体与DNA的变化曲线整合在一张坐标图上进行直观比较，帮助学生掌握染色体和DNA变化规律的特点与区别。学生依据建构的数学模型，轻松解决问题，从而化解难点。

四、建构数学模型对学生能力的培养

1.培养创新意识与创新能力。创新能力是根据当前的知识和经验，加工、处理并有机迁移或整合，创造出新知识的能力。生物学上的很多问题，学生在对其进行理解时感到困惑，但这些问题却可以让学生根据自己所获取的知识，通过建构数学模型将生物学知识转变成与数学模型相关的问题进行解决。通过学生的主动思考，动手参与，不断分析、反思和修正，加深对这些知识的理解，极大地丰富了学生的形象思维和创新思维，培养了学生的创新意识与创新能力。

2.培养批判性思维能力。在生物科学发展中，批判性思维活动尤为重要。运用相关知识以及相应的策略，在学习前人遗留的宝贵知识时，要勇于质疑，就其性质、价值、精确性和真实性等方面进行批判性的审视，作出自己的判断、评价，并通过研究使其科学化、丰富化，进而推动科学的发展。在建构模型教学中，教师可利用课本中的素材培养学生的批判性思维能力。

3.培养逻辑思维能力。生物学中有许多现象和规律可以用数学语言来表示。数学模型中的曲线模型应用起来简单直观，利用数学模型将复杂多变的生物知识简单化传授给学生，有利于提高学生的逻辑思维能力。

4.培养探究能力。在建构模型时，学生通过主动思考确定研究对象，分析已知和未知，选择合适的研究方法，反思、修正、检验模型的科学性和准确性，在探究中完成知识体系的构建，领悟到科学探究的方法，让学生在探索科学现象、发现科学规律的活动中，培养探究能力。

5.培养搜集信息和处理信息的能力。在建构模型过程中，学生自己有目的地去寻找、查阅、搜集大量的信息，这些信息中有重复的、与活动无关的、不完整的甚至是错误的信息。学生对信息进行分析、判断、整理、归纳的过程本身就是培养搜集和处理信息能力的过程，使学生的学习空间更加广阔。

此外，在生物教学中引导学生建构数学模型，通过科学与数学的整合，渗透模型思维，培养了学生透过现象揭示本质的洞察力及简约、严密的思想品质，有效提高了学生分析、解决问题的能力。

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