探究同角三角函数基本关系式的应用

赵静

同角三角函数的基本关系式tanx=sinxcosx与sin2x+cos2x=1，反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系.这些基本关系式的主要应用体现在三角函数的求值、化简、证明中.而在利用关系式解决问题的过程中，其突出的特点是：运算量大，变化灵活，思想丰富等.那么，如何准确快速地解题呢？下面笔者浅谈一下三角函数基本关系式在应用中常见的解题思想和变形方法.

一、求值

1.已知一个角的某个三角函数值，求其余的三角函数值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函数关系式知sinθ=±35.

当θ为第一象限角时，sinθ=35，cosθ=45.

当θ为第三象限角时，sinθ=-35，cosθ=-45.

解题决策：利用同角三角函数的平方关系式解题时，若开方，需根据θ的象限分类讨论来确定结果的正负号.

2.已知tanα的值，求代数式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一个式子的值，求其他值

解题决策：此题运用“和积转换”思想.对sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立联系.求值过程中要注意开方结果正负号的判断，这是避免错误的关键.

二、化简

【例4】 化简1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α为第二象限角）.

解题决策：巧用“1”代换，直奔主题是解题关键.

在同角三角函数的基本关系式的应用中，把握三个核心原则：知识体系系统化；考题模式明确化；解题方式熟练化.解题时，紧锁目标，紧扣条件，灵活运用常规解法（切弦互化、“1”的代换、和积转换法等）才能收到准确、快速的解题效果.

（责任编辑 钟伟芳）

从另一个角度解考点之“直线与平面区域”

广东潮州韩山师范学院数学与统计学系（521041） 张志欣

广东潮州韩山师范学院化学系（521041） 谢意纯

“直线与平面区域”是中学数学一个比较重要的几何关系，用于表述直线与平面区域之间的动态关系.它作为广东高考改革后的一个重要的知识点，从2010年广东高考分文理科以来，每年的高考卷，无论是文科数学，还是理科数学，都会出现直线与平面区域的几何关系，且一般以单项选择题的形式出现.对于这个知识点的解题方法有很多，但本文用另一种解法解“直线与平面区域”，旨在为考生和教师提供一定的参考.

一、直线ax+by+c=0的平面区域结构及其相关推论

首先，我们来讨论直线ax+by+c=0的平面区域的结构问题.若点落在直线ax+by+c=0，显然代入方程等于0.若点不落在直线上，将不等于0.那么是大于0，还是小于0呢？是否与a，b，c有关系呢？

二、从另一角度解“直线与平面区域”的相关问题

图2目标函数z=ax+by+c有可能穿过约束条件所包含的区域，也有可能未穿过，不妨一一进行讨论.

下方，端点B距离直线最远，B点就是所求最值点.若取直线上方，最值点可能是C点或整条AC直线.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）设变量x，y，满足约束条件x-y+1>0

解析：若取最小值，如图5，A点离直线最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因为x+y-4=0与z=x+y平行，取直线BC上的正数点（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5个整点为最大值.故可确定5+1=6条不同的直线.

上述是本人总结出的解“直线与平面区域”的另一种方法，希望能为广大师生提供一定的帮助.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

同角三角函数的基本关系式tanx=sinxcosx与sin2x+cos2x=1，反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系.这些基本关系式的主要应用体现在三角函数的求值、化简、证明中.而在利用关系式解决问题的过程中，其突出的特点是：运算量大，变化灵活，思想丰富等.那么，如何准确快速地解题呢？下面笔者浅谈一下三角函数基本关系式在应用中常见的解题思想和变形方法.

一、求值

1.已知一个角的某个三角函数值，求其余的三角函数值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函数关系式知sinθ=±35.

当θ为第一象限角时，sinθ=35，cosθ=45.

当θ为第三象限角时，sinθ=-35，cosθ=-45.

解题决策：利用同角三角函数的平方关系式解题时，若开方，需根据θ的象限分类讨论来确定结果的正负号.

2.已知tanα的值，求代数式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一个式子的值，求其他值

解题决策：此题运用“和积转换”思想.对sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立联系.求值过程中要注意开方结果正负号的判断，这是避免错误的关键.

二、化简

【例4】 化简1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α为第二象限角）.

解题决策：巧用“1”代换，直奔主题是解题关键.

在同角三角函数的基本关系式的应用中，把握三个核心原则：知识体系系统化；考题模式明确化；解题方式熟练化.解题时，紧锁目标，紧扣条件，灵活运用常规解法（切弦互化、“1”的代换、和积转换法等）才能收到准确、快速的解题效果.

（责任编辑 钟伟芳）

从另一个角度解考点之“直线与平面区域”

广东潮州韩山师范学院数学与统计学系（521041） 张志欣

广东潮州韩山师范学院化学系（521041） 谢意纯

“直线与平面区域”是中学数学一个比较重要的几何关系，用于表述直线与平面区域之间的动态关系.它作为广东高考改革后的一个重要的知识点，从2010年广东高考分文理科以来，每年的高考卷，无论是文科数学，还是理科数学，都会出现直线与平面区域的几何关系，且一般以单项选择题的形式出现.对于这个知识点的解题方法有很多，但本文用另一种解法解“直线与平面区域”，旨在为考生和教师提供一定的参考.

一、直线ax+by+c=0的平面区域结构及其相关推论

首先，我们来讨论直线ax+by+c=0的平面区域的结构问题.若点落在直线ax+by+c=0，显然代入方程等于0.若点不落在直线上，将不等于0.那么是大于0，还是小于0呢？是否与a，b，c有关系呢？

二、从另一角度解“直线与平面区域”的相关问题

图2目标函数z=ax+by+c有可能穿过约束条件所包含的区域，也有可能未穿过，不妨一一进行讨论.

下方，端点B距离直线最远，B点就是所求最值点.若取直线上方，最值点可能是C点或整条AC直线.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）设变量x，y，满足约束条件x-y+1>0

解析：若取最小值，如图5，A点离直线最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因为x+y-4=0与z=x+y平行，取直线BC上的正数点（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5个整点为最大值.故可确定5+1=6条不同的直线.

上述是本人总结出的解“直线与平面区域”的另一种方法，希望能为广大师生提供一定的帮助.

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同角三角函数的基本关系式tanx=sinxcosx与sin2x+cos2x=1，反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系.这些基本关系式的主要应用体现在三角函数的求值、化简、证明中.而在利用关系式解决问题的过程中，其突出的特点是：运算量大，变化灵活，思想丰富等.那么，如何准确快速地解题呢？下面笔者浅谈一下三角函数基本关系式在应用中常见的解题思想和变形方法.

一、求值

1.已知一个角的某个三角函数值，求其余的三角函数值

【例1】 已知tanθ=34，求sinθ，cosθ.

解：由同角函数关系式知sinθ=±35.

当θ为第一象限角时，sinθ=35，cosθ=45.

当θ为第三象限角时，sinθ=-35，cosθ=-45.

解题决策：利用同角三角函数的平方关系式解题时，若开方，需根据θ的象限分类讨论来确定结果的正负号.

2.已知tanα的值，求代数式的值

3.已知sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ其中一个式子的值，求其他值

解题决策：此题运用“和积转换”思想.对sinθ+cosθ，sinθ-cosθ，sinθcosθ三者建立联系.求值过程中要注意开方结果正负号的判断，这是避免错误的关键.

二、化简

【例4】 化简1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα（α为第二象限角）.

解题决策：巧用“1”代换，直奔主题是解题关键.

在同角三角函数的基本关系式的应用中，把握三个核心原则：知识体系系统化；考题模式明确化；解题方式熟练化.解题时，紧锁目标，紧扣条件，灵活运用常规解法（切弦互化、“1”的代换、和积转换法等）才能收到准确、快速的解题效果.

（责任编辑 钟伟芳）

从另一个角度解考点之“直线与平面区域”

广东潮州韩山师范学院数学与统计学系（521041） 张志欣

广东潮州韩山师范学院化学系（521041） 谢意纯

“直线与平面区域”是中学数学一个比较重要的几何关系，用于表述直线与平面区域之间的动态关系.它作为广东高考改革后的一个重要的知识点，从2010年广东高考分文理科以来，每年的高考卷，无论是文科数学，还是理科数学，都会出现直线与平面区域的几何关系，且一般以单项选择题的形式出现.对于这个知识点的解题方法有很多，但本文用另一种解法解“直线与平面区域”，旨在为考生和教师提供一定的参考.

一、直线ax+by+c=0的平面区域结构及其相关推论

首先，我们来讨论直线ax+by+c=0的平面区域的结构问题.若点落在直线ax+by+c=0，显然代入方程等于0.若点不落在直线上，将不等于0.那么是大于0，还是小于0呢？是否与a，b，c有关系呢？

二、从另一角度解“直线与平面区域”的相关问题

图2目标函数z=ax+by+c有可能穿过约束条件所包含的区域，也有可能未穿过，不妨一一进行讨论.

下方，端点B距离直线最远，B点就是所求最值点.若取直线上方，最值点可能是C点或整条AC直线.

【例2】 （2013年珠海市高三摸底）设变量x，y，满足约束条件x-y+1>0

解析：若取最小值，如图5，A点离直线最近，所以A（1，0）是最小值.若取最大值，因为x+y-4=0与z=x+y平行，取直线BC上的正数点（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），共5个整点为最大值.故可确定5+1=6条不同的直线.

上述是本人总结出的解“直线与平面区域”的另一种方法，希望能为广大师生提供一定的帮助.

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