函数的凹凸性在解题中的应用

李慷慨

函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.

一、函数的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 （2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有 成立.

分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.

（责任编辑 钟伟芳）

函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.

一、函数的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 （2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有 成立.

分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.

（责任编辑 钟伟芳）

函数的凹凸性是函数的一个重要性质，在各地质检和高考中经常考到函数的凹凸性的应用，若能灵活应用函数的凹凸性，则在解决高中数学有关导数的问题时就能起到事半功倍的效果.本文简单介绍一下函数的凹凸性及其简单应用.

一、函数的凹凸性

定义：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凸函数.

反之，如果总有：

f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），

则称f为I上的凹函数.

定理1 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≤f（x3）-f（x2）x3-x2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1

f（x2）-f（x1）x2-x1≥f（x3）-f（x2）x3-x2.

定理2 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≥ff（x1+x2）2.

f为I上的凹函数的充要条件是：对于I上的任意两点x1≠x2，总有：

f（x1）+f（x2）2≤ff（x1+x2）2.

定理3 设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是：

f″（x）≥0（f″（x）≤0） x∈I.

二、函数的凹凸性在解题中的应用

【例1】 （2013年蚌埠二质检第15题）已知点A（x1，x21），B（x2，x22）是函数y=x2的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论x21+x222>（x1+x22）2成立.运用类比思想方法可知，若点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数y=lgx（x∈（0，+∞））的图像上的不同两点，则类似地有 成立.

分析：本题考查类比推理及函数的凹凸性，主要要求学生能理解题目给出的已知条件或教师在平时的教学中渗透函数的凹凸性的相关内容.根据题意和函数的凹凸性易知答案为lgx1+lgx22

【例2】 （2012年蚌埠一质检第21题）已知函数f（x）=2x+alnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的最小值为φ（a），求φ（a）的最大值；

（3）若函数f（x）的最小值为φ（a），m、n为φ（a）定义域A内的任意两个值，试比较φ（m）+φ（n）2与φ（m+n2）的大小.

（责任编辑 钟伟芳）