运用两直线重合的条件解题

朱月祥

在解析几何问题的解题训练中，我们对两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，但对两条直线重合的条件则运用得不够.事实上，两直线重合的条件有着重要的意义，本文试举例加以说明.

一、求直线的方程

【例1】 设在同一坐标平面上的两个点P（x、y），Q（x′，y′），它们的坐标满足条件x′=x+2y+1，

y′=2x+3y-1，当动点P在不垂直于坐标轴的直线l上移动时，动点Q在过点A（1，2）且与直线l垂直的直线l′上移动，求直线l的方程.

二、求直线的斜率

【例3】 如果将直线l沿x轴的正方向平移a个单位（a≠0），再沿y轴负方向平移a+1个单位，直线l又回到原来的位置上，求直线l的斜率.

三、证明三角恒等式

由两个已知等式可知，直线AB的方程又可以表示成：ax+by-c=0 ②

根据①和②是两条重合的直线可得：

前三个例子首先都是根据已知条件建立直线系方程，然后再利用两条直线重合的条件确定参数值.例4是把求证的三角恒等式与两条直线重合的条件联系起来，从而达到了证明的目的.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

在解析几何问题的解题训练中，我们对两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，但对两条直线重合的条件则运用得不够.事实上，两直线重合的条件有着重要的意义，本文试举例加以说明.

一、求直线的方程

【例1】 设在同一坐标平面上的两个点P（x、y），Q（x′，y′），它们的坐标满足条件x′=x+2y+1，

y′=2x+3y-1，当动点P在不垂直于坐标轴的直线l上移动时，动点Q在过点A（1，2）且与直线l垂直的直线l′上移动，求直线l的方程.

二、求直线的斜率

【例3】 如果将直线l沿x轴的正方向平移a个单位（a≠0），再沿y轴负方向平移a+1个单位，直线l又回到原来的位置上，求直线l的斜率.

三、证明三角恒等式

由两个已知等式可知，直线AB的方程又可以表示成：ax+by-c=0 ②

根据①和②是两条重合的直线可得：

前三个例子首先都是根据已知条件建立直线系方程，然后再利用两条直线重合的条件确定参数值.例4是把求证的三角恒等式与两条直线重合的条件联系起来，从而达到了证明的目的.

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在解析几何问题的解题训练中，我们对两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，但对两条直线重合的条件则运用得不够.事实上，两直线重合的条件有着重要的意义，本文试举例加以说明.

一、求直线的方程

【例1】 设在同一坐标平面上的两个点P（x、y），Q（x′，y′），它们的坐标满足条件x′=x+2y+1，

y′=2x+3y-1，当动点P在不垂直于坐标轴的直线l上移动时，动点Q在过点A（1，2）且与直线l垂直的直线l′上移动，求直线l的方程.

二、求直线的斜率

【例3】 如果将直线l沿x轴的正方向平移a个单位（a≠0），再沿y轴负方向平移a+1个单位，直线l又回到原来的位置上，求直线l的斜率.

三、证明三角恒等式

由两个已知等式可知，直线AB的方程又可以表示成：ax+by-c=0 ②

根据①和②是两条重合的直线可得：

前三个例子首先都是根据已知条件建立直线系方程，然后再利用两条直线重合的条件确定参数值.例4是把求证的三角恒等式与两条直线重合的条件联系起来，从而达到了证明的目的.

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