例谈两种向量运算法在平面几何中的应用

刘预华

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，由于它兼具几何形式与代数形式的双重身份，所以它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁与纽带.向量作为数学研究的一种重要工具，与三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识交汇，成为近几年高考命题的一种趋势，其考查力度逐渐增强.下面我们来看看基底法与坐标法这两种向量运算方法在平面几何中的应用.

点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的基底.该题选CA、CB作为基底，把CM用基向量表示出来，然后转化成基向量的运算.这种方法一般需要知道两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理.

解法二（坐标法）：

点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向量的运算转化成坐标运算.这种方法一般在建立坐标系后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种关系式时考虑采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM·AN的取值范围是 .

分析：（1）抓住题眼“平行四边形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐标系；（3）转化为二次函数求值域问题.

解法：

点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会变得容易得多.

总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点.在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决问题.

参考文献

王朝银.2014高考总复习创新设计系列丛书数学（理科）[M].西安：陕西人民出版社，2013.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，由于它兼具几何形式与代数形式的双重身份，所以它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁与纽带.向量作为数学研究的一种重要工具，与三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识交汇，成为近几年高考命题的一种趋势，其考查力度逐渐增强.下面我们来看看基底法与坐标法这两种向量运算方法在平面几何中的应用.

点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的基底.该题选CA、CB作为基底，把CM用基向量表示出来，然后转化成基向量的运算.这种方法一般需要知道两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理.

解法二（坐标法）：

点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向量的运算转化成坐标运算.这种方法一般在建立坐标系后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种关系式时考虑采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM·AN的取值范围是 .

分析：（1）抓住题眼“平行四边形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐标系；（3）转化为二次函数求值域问题.

解法：

点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会变得容易得多.

总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点.在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决问题.

参考文献

王朝银.2014高考总复习创新设计系列丛书数学（理科）[M].西安：陕西人民出版社，2013.

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向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，由于它兼具几何形式与代数形式的双重身份，所以它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的桥梁与纽带.向量作为数学研究的一种重要工具，与三角函数、数列、解析几何、平面几何等知识交汇，成为近几年高考命题的一种趋势，其考查力度逐渐增强.下面我们来看看基底法与坐标法这两种向量运算方法在平面几何中的应用.

点评：任何不共线的两个向量可以作为平面向量的基底.该题选CA、CB作为基底，把CM用基向量表示出来，然后转化成基向量的运算.这种方法一般需要知道两个基向量的模与它们的夹角，这种解法的关键是把运算目标式里的向量通过线性运算转化成基向量来处理.

解法二（坐标法）：

点评：利用图形的几何性质（垂直或对称性等）建立适当的平面直角坐标系，求出有关点的坐标，将有关向量的运算转化成坐标运算.这种方法一般在建立坐标系后，便于求出各目标向量里点的坐标或坐标之间的某种关系式时考虑采用.

【例2】 （2012·上海）在平行四边形ABCD中，∠A=π3，边AB，AD的长分别为2，1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM||BC|=|CN||CD|，则AM·AN的取值范围是 .

分析：（1）抓住题眼“平行四边形ABCD”；（2）合理建立平面直角坐标系；（3）转化为二次函数求值域问题.

解法：

点评：在利用平面向量的数量积解决平面几何的有关问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会变得容易得多.

总之，向量兼具代数的抽象和几何的直观的特点.在利用向量解决问题时，应注意变换思维方式，从不同的角度看问题，善于应用两种向量的算法，把平面几何问题转化为代数问题，进而找到解题思路，化难为易，解决问题.

参考文献

王朝银.2014高考总复习创新设计系列丛书数学（理科）[M].西安：陕西人民出版社，2013.

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