换个角度思考问题

查宝才

一般情况下，我们遇到一个问题，第一反应就是从条件入手，顺着题意一步一步分析，找出条件与结论的内在关系，搭建条件与结论之间的桥梁，进而解决问题，我们称之为正向思维.而当正向思维受阻，思维活动进行不下去时，我们则可以改变思维方向，打破常规.换个角度来看问题，也许转机就会出现，问题随之迎刃而解.下面笔者以自身在一线教学过程中遇到的几个问题为例，谈谈如何换个角度思考问题.

【例1】 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范围是 .

分析：有的学生学习功底比较好，提出了思路一：将不等式x2+px>4x+p-3转化为p（1-x）

有爱动脑筋，喜欢钻研的学生提出了另一种思路：可以把p视为变量、x视为参量，这样不等式可以理解成以p为变量的不等式，再构造关于变量p的一次函数，使其在区间上恒大（小）于零进行解题.

点评：思路一是大多数学生的思维.通过分类讨论进行分离参数，由不等式恒成立解决问题，是常规的通性通法.在教学过程中，教师力求给学生传授这样的通性通法，让学生学会以不变应万变的常规思路.思路二学生不易想到，也不敢这样去想，毕竟打破常规是需要勇气和胆量的.但这样的思路恰恰也拓展了我们的思维，让我们有耳目一新的感觉.它打破了常规的思维定式，换了一个角度来思考问题，有一定的技巧，不失为一种思维创新.

【例2】 设x是实数，求函数y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本题是由两个根号的差构成的函数，显然用平方、换元的思想方法探究会因形式较为复杂而难以继续下去.此时若换个角度进行思考，仔细观察两个根号内代数式的结构形式后，发现可以将函数转化为y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，这样就可以看做是直角坐标系中一个动点P（x，0）到两个定点A（4，5）和B（1，-2）的距离之差.作出点B（1，-2）关于x轴的对称点B′（1，2），则由△PAB′中|PA-PB′|

点评：平方和换元的思想方法是解决带根号问题的常规思路，但在本题中，用这些方法寻求解题途径时却比较困难，甚至无从下手.故需要换个角度看问题，针对根号的内部特点，构造一个“距离”模型，使得原问题在这个模型上变得直观且易于解决.这种构造性的思想及其方法还可以体现在，把题设条件所给出的数量关系进行重新组合，构想出一种新的具体关系.例如构造出与问题有关的函数、方程、数列、向量等模型.下面再看两例.

【例3】 证明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：学生看到这个题目时，思考了足足十分钟，仍然无从下手.有些胆大的学生偷偷地拿出了计算器，悄悄地演算结论.但在高考考场里，数学考试禁用任何带有记忆功能的计算器，考生必须徒手结合大脑思考进行答题.所以对于学生在课堂中使用计算器的行为，我及时进行了制止.尽管该题的数据与结构并不那么复杂，但从代数形式上看，确实难以找到解决问题的突破口.既然代数形式难以入手，那么能否从形的角度来思考呢？

【例4】 任意给出8个非零实数a1，a2，…，a8.证明：六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一个是非负的.

分析：本题有竞赛题的形式，让人望而止步.题目的条件给得过于简单，让人无从下手，但看看要证明的结论里，信息相对丰富些.那么这时就需要换个角度思考问题，从结论里找到一条绕过障碍的新途径，以达到破题的目的.联想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）与OB=（a3，a4）的数量积，那么其他五个数也可以看成对应五个向量的数量积，所以可以构造向量，尝试将六个数与六个向量的数量积进行攀连.

证明：构造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分别对应平面上的四个点A，B，C，D.

因为四个向量OA，OB，OC，OD两两所成的角中，至少有一个角不超过90°，不妨设OA和OB的夹角≤90°，所以OA·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，从而命题得证.

点评：本题巧妙地构造了四个共起点的向量，将六个数表示成这四个向量两两组合的数量积，突破了题目所给的条件少且抽象的障碍.再根据抽屉原理，确认四个向量OA，OB，OC，OD两两所成的角中，至少有一个角不超过90°，言简意赅地证明了命题，具有较强的构造性和创新性，体现了数学的和谐美.

一片落叶，你也许会看到“零落成泥碾作尘”的悲惨命运，但是只要换个角度思考，你便会发现它“化作春泥更护花”的高尚节操；一根蜡烛，不久便会“蜡炬成灰”，但它却为人照亮了前面的路；一支粉笔，只需三笔两画，生命便会结束，但它却在学生心中撒下了知识的种子.换个角度思考问题，问题或许将迎刃而解，数学学习也将不再枯燥乏味.只要脚踏实地、步步为营、迎难而上，成功的大门将为你打开.

（责任编辑 钟伟芳）

一般情况下，我们遇到一个问题，第一反应就是从条件入手，顺着题意一步一步分析，找出条件与结论的内在关系，搭建条件与结论之间的桥梁，进而解决问题，我们称之为正向思维.而当正向思维受阻，思维活动进行不下去时，我们则可以改变思维方向，打破常规.换个角度来看问题，也许转机就会出现，问题随之迎刃而解.下面笔者以自身在一线教学过程中遇到的几个问题为例，谈谈如何换个角度思考问题.

【例1】 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范围是 .

分析：有的学生学习功底比较好，提出了思路一：将不等式x2+px>4x+p-3转化为p（1-x）

有爱动脑筋，喜欢钻研的学生提出了另一种思路：可以把p视为变量、x视为参量，这样不等式可以理解成以p为变量的不等式，再构造关于变量p的一次函数，使其在区间上恒大（小）于零进行解题.

点评：思路一是大多数学生的思维.通过分类讨论进行分离参数，由不等式恒成立解决问题，是常规的通性通法.在教学过程中，教师力求给学生传授这样的通性通法，让学生学会以不变应万变的常规思路.思路二学生不易想到，也不敢这样去想，毕竟打破常规是需要勇气和胆量的.但这样的思路恰恰也拓展了我们的思维，让我们有耳目一新的感觉.它打破了常规的思维定式，换了一个角度来思考问题，有一定的技巧，不失为一种思维创新.

【例2】 设x是实数，求函数y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本题是由两个根号的差构成的函数，显然用平方、换元的思想方法探究会因形式较为复杂而难以继续下去.此时若换个角度进行思考，仔细观察两个根号内代数式的结构形式后，发现可以将函数转化为y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，这样就可以看做是直角坐标系中一个动点P（x，0）到两个定点A（4，5）和B（1，-2）的距离之差.作出点B（1，-2）关于x轴的对称点B′（1，2），则由△PAB′中|PA-PB′|

点评：平方和换元的思想方法是解决带根号问题的常规思路，但在本题中，用这些方法寻求解题途径时却比较困难，甚至无从下手.故需要换个角度看问题，针对根号的内部特点，构造一个“距离”模型，使得原问题在这个模型上变得直观且易于解决.这种构造性的思想及其方法还可以体现在，把题设条件所给出的数量关系进行重新组合，构想出一种新的具体关系.例如构造出与问题有关的函数、方程、数列、向量等模型.下面再看两例.

【例3】 证明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：学生看到这个题目时，思考了足足十分钟，仍然无从下手.有些胆大的学生偷偷地拿出了计算器，悄悄地演算结论.但在高考考场里，数学考试禁用任何带有记忆功能的计算器，考生必须徒手结合大脑思考进行答题.所以对于学生在课堂中使用计算器的行为，我及时进行了制止.尽管该题的数据与结构并不那么复杂，但从代数形式上看，确实难以找到解决问题的突破口.既然代数形式难以入手，那么能否从形的角度来思考呢？

【例4】 任意给出8个非零实数a1，a2，…，a8.证明：六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一个是非负的.

分析：本题有竞赛题的形式，让人望而止步.题目的条件给得过于简单，让人无从下手，但看看要证明的结论里，信息相对丰富些.那么这时就需要换个角度思考问题，从结论里找到一条绕过障碍的新途径，以达到破题的目的.联想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）与OB=（a3，a4）的数量积，那么其他五个数也可以看成对应五个向量的数量积，所以可以构造向量，尝试将六个数与六个向量的数量积进行攀连.

证明：构造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分别对应平面上的四个点A，B，C，D.

因为四个向量OA，OB，OC，OD两两所成的角中，至少有一个角不超过90°，不妨设OA和OB的夹角≤90°，所以OA·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，从而命题得证.

点评：本题巧妙地构造了四个共起点的向量，将六个数表示成这四个向量两两组合的数量积，突破了题目所给的条件少且抽象的障碍.再根据抽屉原理，确认四个向量OA，OB，OC，OD两两所成的角中，至少有一个角不超过90°，言简意赅地证明了命题，具有较强的构造性和创新性，体现了数学的和谐美.

一片落叶，你也许会看到“零落成泥碾作尘”的悲惨命运，但是只要换个角度思考，你便会发现它“化作春泥更护花”的高尚节操；一根蜡烛，不久便会“蜡炬成灰”，但它却为人照亮了前面的路；一支粉笔，只需三笔两画，生命便会结束，但它却在学生心中撒下了知识的种子.换个角度思考问题，问题或许将迎刃而解，数学学习也将不再枯燥乏味.只要脚踏实地、步步为营、迎难而上，成功的大门将为你打开.

（责任编辑 钟伟芳）

一般情况下，我们遇到一个问题，第一反应就是从条件入手，顺着题意一步一步分析，找出条件与结论的内在关系，搭建条件与结论之间的桥梁，进而解决问题，我们称之为正向思维.而当正向思维受阻，思维活动进行不下去时，我们则可以改变思维方向，打破常规.换个角度来看问题，也许转机就会出现，问题随之迎刃而解.下面笔者以自身在一线教学过程中遇到的几个问题为例，谈谈如何换个角度思考问题.

【例1】 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2+px>4x+p-3成立的x的取值范围是 .

分析：有的学生学习功底比较好，提出了思路一：将不等式x2+px>4x+p-3转化为p（1-x）

有爱动脑筋，喜欢钻研的学生提出了另一种思路：可以把p视为变量、x视为参量，这样不等式可以理解成以p为变量的不等式，再构造关于变量p的一次函数，使其在区间上恒大（小）于零进行解题.

点评：思路一是大多数学生的思维.通过分类讨论进行分离参数，由不等式恒成立解决问题，是常规的通性通法.在教学过程中，教师力求给学生传授这样的通性通法，让学生学会以不变应万变的常规思路.思路二学生不易想到，也不敢这样去想，毕竟打破常规是需要勇气和胆量的.但这样的思路恰恰也拓展了我们的思维，让我们有耳目一新的感觉.它打破了常规的思维定式，换了一个角度来思考问题，有一定的技巧，不失为一种思维创新.

【例2】 设x是实数，求函数y=x2-8x+41-x2-2x+5的最大值.

分析：本题是由两个根号的差构成的函数，显然用平方、换元的思想方法探究会因形式较为复杂而难以继续下去.此时若换个角度进行思考，仔细观察两个根号内代数式的结构形式后，发现可以将函数转化为y=（x-4）2+52-（x-1）2+22，这样就可以看做是直角坐标系中一个动点P（x，0）到两个定点A（4，5）和B（1，-2）的距离之差.作出点B（1，-2）关于x轴的对称点B′（1，2），则由△PAB′中|PA-PB′|

点评：平方和换元的思想方法是解决带根号问题的常规思路，但在本题中，用这些方法寻求解题途径时却比较困难，甚至无从下手.故需要换个角度看问题，针对根号的内部特点，构造一个“距离”模型，使得原问题在这个模型上变得直观且易于解决.这种构造性的思想及其方法还可以体现在，把题设条件所给出的数量关系进行重新组合，构想出一种新的具体关系.例如构造出与问题有关的函数、方程、数列、向量等模型.下面再看两例.

【例3】 证明：cosπ7-cos2π7+cos3π7=12.

分析：学生看到这个题目时，思考了足足十分钟，仍然无从下手.有些胆大的学生偷偷地拿出了计算器，悄悄地演算结论.但在高考考场里，数学考试禁用任何带有记忆功能的计算器，考生必须徒手结合大脑思考进行答题.所以对于学生在课堂中使用计算器的行为，我及时进行了制止.尽管该题的数据与结构并不那么复杂，但从代数形式上看，确实难以找到解决问题的突破口.既然代数形式难以入手，那么能否从形的角度来思考呢？

【例4】 任意给出8个非零实数a1，a2，…，a8.证明：六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中，至少有一个是非负的.

分析：本题有竞赛题的形式，让人望而止步.题目的条件给得过于简单，让人无从下手，但看看要证明的结论里，信息相对丰富些.那么这时就需要换个角度思考问题，从结论里找到一条绕过障碍的新途径，以达到破题的目的.联想a1a3+a2a4的形式等于向量OA=（a1，a2）与OB=（a3，a4）的数量积，那么其他五个数也可以看成对应五个向量的数量积，所以可以构造向量，尝试将六个数与六个向量的数量积进行攀连.

证明：构造向量OA=（a1，a2），OB=（a3，a4），OC=（a5，a6），OD=（a7，a8），分别对应平面上的四个点A，B，C，D.

因为四个向量OA，OB，OC，OD两两所成的角中，至少有一个角不超过90°，不妨设OA和OB的夹角≤90°，所以OA·OB≥0，即a1a3+a2a4≥0，从而命题得证.

点评：本题巧妙地构造了四个共起点的向量，将六个数表示成这四个向量两两组合的数量积，突破了题目所给的条件少且抽象的障碍.再根据抽屉原理，确认四个向量OA，OB，OC，OD两两所成的角中，至少有一个角不超过90°，言简意赅地证明了命题，具有较强的构造性和创新性，体现了数学的和谐美.

一片落叶，你也许会看到“零落成泥碾作尘”的悲惨命运，但是只要换个角度思考，你便会发现它“化作春泥更护花”的高尚节操；一根蜡烛，不久便会“蜡炬成灰”，但它却为人照亮了前面的路；一支粉笔，只需三笔两画，生命便会结束，但它却在学生心中撒下了知识的种子.换个角度思考问题，问题或许将迎刃而解，数学学习也将不再枯燥乏味.只要脚踏实地、步步为营、迎难而上，成功的大门将为你打开.

（责任编辑 钟伟芳）