球节点刚度对单层柱面网壳地震响应影响随PGA变化的规律

薛素铎，王 宁，李雄彦

（1.北京工业大学 城市与工程安全减灾省部共建教育部重点实验室；工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124；2.河北联合大学 建筑工程学院，河北 唐山 063009）

空间网壳结构的节点大多采用焊接空心球或螺栓球。对于采用螺栓球节点的网壳，以前都用无摩擦的铰代替螺栓球节点，但是通过试验研究发现螺栓的弯曲刚度是不小的，把螺栓球节点假设为无摩擦的铰并不合理［1］，节点刚度对网壳承载力［2］和失效荷载［3］有明显的影响。文献［4］研究了螺栓节点的弯曲刚度对结构承载力的影响，发现其影响也很大。因此，后面的研究都应用半刚性节点来模拟螺栓球。而对于采用焊接空心球节点的单层网壳，目前的研究中绝大部分都不考虑网壳中节点刚度的影响，直接把梁单元连接到刚性节点上［5－9］（见图1）。由抗震设计可知，在罕遇地震作用下部分构件屈服是允许的。焊接空心球节点不是绝对的刚体，它在压力或拉力下会发生较大变形［10－11］。如果球节点在强震作用下发生屈服变形，这种屈服变形会影响结构的地震响应或整体稳定性，而常用网壳模型不能考虑节点的屈服变形，因此得出的结果可能会存在较大误差。后来虽然有些学者在分析中考虑了节点刚度的影响［12－15］，但是他们采用的是等效法，即用弹簧单元等效节点刚度，由于没有试验数据或精细化模型的分析结果作为参照，并且弹簧单元不能等效球节点轴向刚度和弯曲刚度的耦合作用，因此采用等效模型的分析结果与实际值之间可能也有较大误差。为了使数值分析结果与结构的实际受力情况更接近，有必要建立与实际模型接近的精细化模型。顾磊等［16］和薛素铎等［17］在这方面进行了尝试，分别建立了精细化单层球面和柱面网壳模型，模型中按照实际尺寸建立球节点和钢管杆件。顾磊等［16］主要从静力角度研究考虑球节点刚度后结构承载力和稳定性的变化，分析结果表明精细化模型与常用模型之间的差别不大。文献［18］和［19］从动力角度出发，采用文献［17］的建模方法建立精细化模型分别进行了地震响应分析和动力稳定性分析，与常用模型的分析结果进行对比后发现，精细化建模后得出的结构地震响应明显大于常用模型的值，并且精细化模型的动力稳定性明显变差。因此建议在强震下进行单层柱面网壳结构动力分析时要采用考虑节点刚度影响的精细化模型。

图1 常用网壳模型（梁单元建立）

在已有研究的基础上重点研究了2个方面的内容：1）当PGA（Peak Ground Acceleration地震动峰值加速度）小于结构失稳临界值时，采用精细化模型（建模按实际情况考虑节点刚度）和常用模型（建模不考虑节点刚度）2种模型进行地震响应对比研究；2）当PGA超过结构失稳临界值时，采用精细化模型，通过改变节点壁厚研究节点刚度的变化对结构地震响应的影响。在分析中考虑了结构参数（矢跨比和长宽比）的变化。

1 焊接空心球节点承载力验算

参照《空间网格结构技术规程》设计了3组单层柱面网壳模型，图2所示为第1组模型的外形图，精细化模型中焊接空心球节点与杆件的连接如图3所示。表1详细列出了模型的尺寸，每组包括2种模型，即：精细化模型（壳单元）和常用模型（梁单元）。第1组模型为初始模型；第2组模型在初始模型的基础上增加了长宽比；第3组模型增加了矢跨比，由于加大矢跨比采用的方法是直接在初始模型x方向的两边添加杆件，所以模型跨度增加了一些（1.3m），但是相对于总跨度28.5m来讲，增加的量很小。

图2 单层柱面网壳模型（第1组）

图3 精细化模型球节点与钢管连接图

3个组的精细化模型都采用相同的焊接空心球节点，节点的详细尺寸列入了表1。首先对模型进行节点承载力验算，对节点进行轴向加载，加载中考虑弯矩的作用。由于杆件位置变化后与节点的夹角θ会发生变化（如图4所示），这种变化会影响到节点与杆件连接区域周围单元尺寸的变化，从而可能影响到节点的承载力，因此在加载中考虑了θ小于90°的情况。计算得出的节点弯矩与轴力无量纲关系如图5所示，图中的实线是根据理论公式［20］（即式（1））得出的。从图中可以看到，在弯矩与轴力共同作用下，此球节点的模拟结果接近理论结果，因此可以把它应用到整体模型中进行计算。精细化模型的杆件中矩形单元边长比值按照文献［21］中给出的合理比值进行选取，取1／32。

表1 3组单层柱面网壳模型参数表

式中：ηN为球节点在弯矩与轴力共同作用下的最大轴力与纯压下极限轴力的比值；ηM为节点在弯矩与轴力共同作用下的最大弯矩与纯弯下的极限弯矩的比值。

图4 杆件轴线与网壳法线夹角θ的变化

图5 节点ηN ηM关系模拟值与理论曲线对比

2 两种模型地震响应对比

3组网壳模型的外形都选用米字型，网格都是等边直角三角，纵向杆与横向杆的长度相同，都是3.1m。材料选Q235钢，屈服强度σy＝235MPa，对应的应变ε1＝0.114%，弹性模量2.06×105MPa，失效应变ε2＝25%，对应的极限应力σu＝375MPa（如图6所示），屋面总荷载取0.9kN／m2。在进行地震响应分析前首先对3组模型进行了模态分析。

图6 材料本构关系图

2.1 2种模型自振频率对比

共计算了模型的前70阶频率，表2抽取了其中的11阶频率进行了对比，从表中可以看到2种模型的频率差随着阶数的增加有逐渐减小的趋势。矢跨比和长宽比等结构参数的变化，对频率差有一点影响，但是影响不大，没有影响到整体趋势。2种模型前2阶频率的差值都超过了10%，有的接近20%，这样大的差距还是比较明显的。因此说明2种模型的动力特性是有较大不同的。

2.2 选取PGA为400cm／s2 时

计算中的阻尼比取0.02，采用瑞利阻尼。网壳底部为4边支承，在支承节点处输入EL－Centro地震波，地震动持时取8s，地震波3个方向的加速度比值为ax∶az∶ay＝1.00∶0.85∶0.65（y向为竖向，目的是对比两种模型的动力响应，因此随意选择了3向相同的波），峰值取400cm／s2。时程分析时主要关注出现较大位移的节点，这些节点就是位移时程观测点（简称测点）。为了简便每个模型只选取2个测点，测点在模型中的位置和编号如图7所示。

分别绘制2种网壳模型中1号点（顶部中间节点）和A点（初始竖向位移较大的点之一）的位移时程曲线进行对比，图8为3组中2种模型1点的位移时间关系曲线对比图，由于z向曲线峰值相对于x和y向的值小一个数量级，所以没有绘出。从上面3组图中可以看到，对于初始模型所在的第1组，2种模型的位移响应曲线较接近，其它2组的曲线差别相对要大一些，尤其是y方向的位移时程曲线差别更大。表3中列入了3组模型中位移和2个方向（Ux、Uy）的最大值和两种模型之间最大位移的差值比。由于3组模型中x、y向的值比z向值高一个数量级，因此在计算时没有考虑z向的差值比。

表2 精细化模型与常用模型间频率的对比

图7 3组模型位移时程测点的位置及平面图

由图8和表3的数据可以看出，地震动加速度峰值为400cm／s2时，第1组2种模型之间1号点的最大位移响应值差别不大。随着长宽比的增加，2种模型的节点位移响应差值变得越来越大，尤其是y向的最大位移差值明显加大，差值比增加了33.7%；随着矢跨比的增加，2种模型的位移响应差值更大，y向最大位移差值比增加了65.4%。

图9对比了2种模型A点的位移时程曲线。表4中列入了3组模型A点2个方向的最大位移和2种模型之间最大位移的差值比。

图8 2种模型1号点的位移时间关系曲线对比

表3 2种模型1号点的最大位移差值比

对比图8和图9可以看到，相对于1号测点，2种模型A点的竖向位移时程曲线的差异明显加大。由表4中3组模型A点最大位移的差值比可以看到，随着长宽比的增加，2种模型的节点位移响应差值也变得越来越大，尤其是y向最大位移的差值比增加了79.2%；随着矢跨比的增加，2种模型的节点位移响应差值变得更大，不但y向最大位移值的差值比增加了169.6%，x向的也增加了67.8%。

图9 2种模型A点的位移时间关系曲线对比图

表4 2种模型A点的最大位移差值比

2.3 选取PGA为620cm／s2 时

把PGA增加到620cm／s2后对2种网壳模型进行时程分析，模型的其他参数都与上一节相同，研究PGA增加对2种模型地震响应差别的影响。网壳顶点1号点的位移时间关系曲线如图10所示。

对比图10和图8，可以看到2种模型1号点的位移响应曲线之间的差距随着PGA的增加明显加大。3组中y向曲线图最能反映出2曲线之间差距的增加，尤其是第2组模型中2曲线的差距更大。

图10 2种模型1号点的位移－时间关系曲线对比图

表5中列入了3组模型2个方向位移（Ux、Uy）的最大值和2种模型之间最大位移的差值比。620cm／s2时，z向的位移也是明显小于另外2个方向的位移，因此也只列出了起主导作用的x、y2个方向的差值比。

表5 2种模型1号点的最大位移差值比

由图10和表5的数据可以看出，随着长宽比的增加，2种模型的响应差值明显加大，这从图9（d）可以明显看到，即：精细化模型在5s时开始出现局部失稳现象而与它对应的常用模型的响应则相对较平稳，精细化模型的y向最大位移值超过常用模型的值1.6倍，与第一组模型相比y向最大位移的差值比增加了125%，x向也增加了46.3%；随着矢跨比的增加，对比图10（b）和图10（f）可以看到2种模型响应差的变化，在8s时刻精细化模型1号点所在的区域开始出现失稳，而常用模型对应的区域却比较稳定，与第1组模型相比y向最大位移值的差值比增加了78.9%，x向的影响可以忽略。图11对2种模型A点的位移时程曲线进行了对比。

图11 2种模型A点的位移时间关系曲线对比图

表6中列入了3组模型中A点的2个方向位移（Ux和Uy）的最大值和2种模型之间最大位移的差值比。由表中数据和图11可以得出，随着长宽比的增加，2种模型的响应差值也随之变大，与第1组模型相比y向最大位移的差值比增加了10.9%，虽然增加值与1号测点的增加值相比减小了，但是从图11（d）中可以看到2条曲线的巨大差别，精细化模型A点所在区域出现了失稳而常用模型的相应区域没有失稳；随着矢跨比的增加，y向位移的响应差值增加很大，x向差值也变得更加明显，精细化模型在2个方向都出现了局部失稳而常用模型却没有，与第1组模型相比y向最大位移值的差值比增加了281%，x向的比值增加了248.2%。

综合以上2节的内容进行对比，400cm／s2加速度峰值时，第1组、第2组和第3组2种模型的最大差值比分别为0.804、1.596和2.500，第2大差值比分别为0.091、0.283和0.652；620cm／s2时它们的最大差值比分别为：0.626、1.57和3.436，第2大差值比分别为0.320、0.735和2.595。可以看出，总体上2种模型得出的结果差别较大。随着PGA的增加，第1组2种模型间的最大差值比虽然减小了，但是第2大差值比却增加了很多倍；较大长宽比的2种模型间的最大差值比虽然减小了一点，但是第2大差值比却增加了一倍以上，加大峰值后精细化模型有失稳的趋势而常用模型没有这个趋势，所以如果增加分析时间，差值比会出现更大的差别。下面从应力和应变两个方向分析了一下出现此差距的原因。

表6 两种模型A点的最大位移差值比

对比图12中精细化模型Mod－S4R－1－8d的2个节点应力（Mises）云图可以看到，随着PGA的增加，节点中的最大应力由298MPa增加到了354MPa，增加很大，而模型中杆件的最大应力从250MPa增加到了255MPa，增加量很小。相对于此模型的常用模型Mod－B31－1的单元最大应力由249MPa增加到了260MPa，数值和增加的量都与精细化模型中杆件的值很接近。

图12 节点出现最大应力时的应力云图（Mod－S4R－1－8d）

图13所示为Mod－S4R－1－8d模型节点和杆件在620cm／s2PGA作用下的等效塑性应变（即PEEQ，下面的涉及的应变都是PEEQ）云图，可以看到2种构件的最大应变差别很大（节点0.176，杆件0.032），与此模型对应的常用模型 Mod－B31－1的单元最大等效塑性应变为0.037，与图13（b）的值0.032很接近。

对于其它2组模型，应力和应变的情况都与第2组接近。Mod－S4R－0－8d模型中节点和杆件的最大应变间的差别也很大（节点0.099，杆件0.024），而 Mod－B31－0模型的最大等效应变是0.033；Mod－S4R－2－8d模型中节点和杆件的最大应变分别是0.097和0.026，常用模型的最大应变是0.030。

图13 最大应变对应的等效塑性应变云图（Mod－S4R－1－8d）

从上面的数据中可以看到，精细化模型节点的屈服程度远远超过杆件，杆件的应变又与常用模型接近，因此得出，是精细化模型球节点的局部屈服使网壳提前进入了局部失稳。因此在进行网壳地震响应分析时，如果采用的地震动加速度峰值较大超过400cm／s2时，建议在建模时不要用刚性点简化，要考虑节点的实际刚度。

3 节点刚度变化对结构动力稳定性的影响

在文献［19］的研究中发现，精细化模型与常用模型相比，前者的失稳临界加速度峰值（640cm／s2）明显小于后者的值（820cm／s2），它们相差接近200cm／s2。因此模拟计算中采用的PGA大于精细化模型失稳临界值200cm／s2以内时，对比两种模型的最大位移值会得不出好的分析结果。因为采用的峰值不能使常用模型失稳，而精细化模型失稳后的最大位移值随峰值变化很小，峰值加大只会使结构的失稳时间提前一些，所以节点刚度的影响不易在2种模型的位移时程曲线对比图中看出来。为了研究节点刚度变化对结构动力稳定性的影响，因此改用精细化一种模型通过改变节点壁厚的方法使模型的节点刚度产生差别，然后进行强震动力时程分析。

精细化模型采用文献［19］中用到的 Mod－S4R－a（7d）模型，并在它的基础上减小节点壁厚到5.5mm生成另一个模型 Mod－S4R－a－5d5，2个模型的详细参数见表7。模型的节点在文献［19］中进行过承载力验算，满足计算精度要求。位移时程的测点根据失稳区域确定。图14所示为2个测点的位置和失稳区域图，A点和D 点分别在2个失稳区域的中心。对2个模型的底部输入El－centro波，各个方向的比值与前面各节相同，峰值从640cm／s2增加到800cm／s2（峰值的取值在［640，820］cm／s2区间中），2个模型的屋面荷载都取0.7kN／m2，模拟得出的位移时程曲线如图15和16所示。从2个图中可以看到，随着PGA的增加，节点刚度的影响变小。由此可知PGA超过结构的失稳临界加速度时，节点刚度的影响随PGA的增大而减小。为了验证此结论又增加了1组算例，模型尺寸如表8所列。

图14 模型测点位置及失稳外形图（1组）

表7 精细化网壳模型组1尺寸表

表8 精细化网壳模型组2尺寸表

由图10（d）和图11（d）可以看出，模型 Mod－S4R－1－8d在620cm／s2峰值时已经有失稳的趋势，减小它的节点壁厚到6mm时，模型 Mod－S4R－1－6d的失稳临界值应该小于620cm／s2，所以PGA分别取620cm／s2和1000cm／s2对这2个精细化模型进行时程分析，分析中选取的测点位置和结构的失稳外形图如图17和图18所示。

图15 节点壁厚变化对测点竖向位移时程曲线影响（640cm／s2）

图16 节点壁厚变化对测点竖向位移时程曲线影响（800cm／s2）

图19和图20为2个模型不同PGA作用下的各个测点位移时程曲线对比图，从图中可以看出，2个模型各个测点的位移时程曲线在620cm／s2峰值时的差别很明显；当PGA增加到1000cm／s2时，2个模型的各个测点的位移时程曲线几乎重合，由此可以得出，当PGA大于结构的失稳临界值时，PGA增加后，节点壁厚加大对提高结构抗失稳能力的影响越来越小。

图17 620cm／s2时模型测点位置及失稳外形图（2组）

图18 1000cm／s2时模型测点位置及失稳外形图（2组）

4 结论

对于采用焊接空心球节点的单层柱面网壳：

图19 节点壁厚变化对测点竖向位移时程曲线影响（620cm／s2）

图20 节点壁厚变化对测点竖向位移时程曲线影响（1000cm／s2）

1）当PGA小于结构的失稳临界加速度峰值时，随着PGA增加，精细化模型与常用模型的地震响应模拟结果差别有加大的趋势；PGA相同时，随着长宽比和矢跨比增加，2种模型的地震响应分析结果差值也随之变大。因此，在进行强震下的动力分析时，不考虑节点刚度的常用模型的分析结果误差较大，建议采用能够考虑节点刚度的精细化模型进行分析。

2）当PGA大于结构的失稳临界加速度峰值时，随着PGA的增加，精细化模型节点壁厚加大对提高结构抗失稳能力的影响越来越小。

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