数学教学需加强整体性视角研究

杨小燕+浦叙德

数学教学一个很重要的任务就是帮助学生建立最优化的知识结构，并让学生优存速取解决相关问题.仔细留意我们的数学教学，你会发现有如下一些现象：现行教材是按照“整体——部分——整体”的思路编写，而很少有教师按照“章前课——章中课——章结课”整体设计并实践；课堂应该由“引入——展开——收尾”三个环节组成，而部分教师往往匆匆小结；数学知识之间是紧密联系的，而一些教师在课堂中根本没有考虑知识关联；就算一个知识点，有的教师也没有引导学生全面认识.凡此种种说明，在数学教学中，教师着眼于局部性研究很多，而缺少整体性视角的研究，所以，加强“整体性”视角研究已成当务之急.下面以“函数”教学为例，说明如何加强“整体性”视角的研究.

初中“函数”内容开始于初二的一般函数定义、图像、运用和应用；一次函数（正比例函数）的定义、图像、性质、运用和应用；反比例函数的定义、图像、性质、运用和应用，结束于初三的三角函数（只研究定义）、二次函数的定义、图像、性质、运用和应用.初中“函数”定义的本质是“对应”.从这个角度看，初中函数始于初一、结于初三，到高中阶段提高，产生新的认识.因为从初一就开始出现了“数轴是其上的点与实数之间的对应”、“绝对值是实数到非负实数的一个对应”、“代数式的值是字母取值与代数式的值的对应”、“多边形内角和是边数和内角和之间的对应”、“二元一次方程组则体现两个未知量取值的不确定性和依存关系的对应”，而后出现“数据的表示（统计图表）体现数与形的对应”、“图形的全等、运动、相似是形与形的对应”等.这些素材都为学生学习函数概念时掌握“对应”本质奠定了良好的基础.尽管教材采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而又循环地安排函数知识，但学生的辩证逻辑思维仍处于发展的初级阶段，与函数包含的运动、变化、联系的特点非常不适应，这是构成“函数”学习困难的主要根源.所以，就教材的编写意图而言，我们首先要有整体性认识和研究，只有认识了上述函数的“全貌”，才能真正有效地实施函数的教学.就教材真正出现“函数”名称后的教学可以从如下三个视角加强研究.

一、单个知识的“整体性”视角研究要体现全面性

上述提法有两层含义.一是要让学生明白：本知识从哪里来？是怎么形成和发展的？将向哪里去？即要研究这个知识的来龙去脉；二是要让学生针对这个知识本身作全方位认识.一旦教学朝着这两个方向发展，学生就不仅能掌握知识的外在，更能把握知识的本质，有利于学生真正获得必备的知识.

先以“函数”定义这个知识点为例.“函数”从生活的角度出发，可以看成“从生活中具体问题来——抽象形成函数定义及函数相关知识，回到生活中去——解决相关的问题”；从数学的角度出发，可以看成“渗透对应、揭示对应（函数定义）、运用应用对应”.综合以上认识，结合数学概念教学的基本方法，我们可以通过如下步骤实施“函数”概念的教学.从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要完成概念的引入；提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性完成概念的形成；用准确的数学语言描述概念的内涵与外延；用具有延数学概念特色的数学符号完成概念的表示；以正例、反例等实例为载体分析关键词的含义，应用概念作判断完成概念的巩固和应用.

再如“反比例函数”定义，我们可以这样思考和实施教学.从包括匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系等一些具体实例引入.让学生概括其中的共同本质特征是函数关系，并且是反比例关系；给出反比例函数的文字和符号描述，给出反比例函数的定义；从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用；结合例题给出用概念作判断的操作步骤；最后与正比例函数、一次函数作比较，纳入概念系统，进行反思和建构.

二、多个知识的“整体性”视角研究要体现关联性

我们知道，数学知识之间是紧密联系的.上述提法也有两层含义.一是单个知识的整体性认识是基础，二是要把有联系的多个知识串联起来，使凌乱的知识变成有序的知识.一旦教学朝着这两个方向发展，学生就不仅能掌握每个知识，更能把握知识之间的联系，有利于学生建构、储存和提取知识，真正获得解决此类知识对应问题的必备能力.

先以“函数”这条线的知识系列为例.教材是按照“从一般到特殊”的线索展开的.先研究“一般函数”，再研究各类“特殊函数”.对于一般函数，是按照概念、表示法、图像等先后次序这条线展开的；对于特殊函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数），同样是按照概念、表示法、图像、性质以及应用这条线展开.从知识系列看，其中存在着很多研究方法的联系.

再以“特殊函数的性质”为例作说明.对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系.无论是正比例函数、一次函数、反比例函数还是二次函数，都要研究以下问题.研究的内容（包括自变量取值范围、函数的图像、函数的增减性等）；研究的方法（“三步法”画函数图像，观察归纳特征，数学语言描述性质）；相关的问题（包括图像与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等）.这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”.在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结.在后续对其他函数的研究中，这些知识就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，有助于学生完成后续内容的学习.

三、板块知识的“整体性”视角研究要体现融合性

上述提法同样有两层含义.一是要让学生明白“板块知识”之间的相互关系和联系，根据联系实现板块之间的交融，从而实现大跨度的迁移；二是要让学生用数学思想方法统领，实现真正意义上的融合.一旦教学朝着这个方向努力，学生就会点状知识连成线，线状知识组成面，面状知识组成块，最后用数学思想方法统领，使学生储存最优化的块状知识结构，既减轻记忆负担，又方便提取，教学效能就会大大得到提升.

先以“函数”与“方程”“不等式”等板块知识为例.我们知道，如果把函数、方程、不等式板块放在一起来认识，可以认为“方程”、“不等式”是“函数”的特殊情形.我们可以通过如“求抛物线y=x2-x-6与x轴两个交点之间的距离”体会函数与方程之间的紧密联系；还可以通过如“父亲、母亲、叔叔和个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠，这2家旅行社的原价均为100元/人，试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠”体会函数、方程、不等式之间的紧密联系.一旦学生能够把三者时时联系在一起理解和运用，可以说这三个板块之间的融合已经达成.

再以“函数思想”为例说明.函数思想的建立和发展，沟通了常量数学与变量数学之间的关系.抽象的函数概念、统领的函数思想必须经过具体的应用才能得到深刻理解.数学教学可以从日常生活、生产实际中选取学生熟悉的、能够接受的实际问题用函数的思想解决，帮助学生树立运用函数思想方法思考问题的意识，并学会建立适当的函数模型解决问题，以深化对函数概念和相关知识的理解.函数思想的渗透、落实与领悟，可以借助如下途径达成.一是函数知识与其他知识结合；二是函数问题与学生的现实生活结合；三是函数思想与方程、变换、优化等数学思想方法有机结合.函数思想方法是中学数学的重要思想方法之一.在数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展过程中，应尽力向学生渗透函数思想方法，充分发挥函数思想方法的指导作用，这对形成学生良好的思维品质大有益处.这也是进一步落实新课程标准，培养学生创新能力所必需的.因此，作为数学教师，应对函数思想的统领和融合给予足够的重视.

综上所述，在数学教学中教师着眼于局部性研究是必须的基础工程，这是上好一堂课，让课堂效果得到保证的前提.但仅仅依靠局部性研究是不够的，更需要整体性研究来保证课堂效能.普朗克曾经说过：“科学是内在的统一体，它被分解为单位的部门不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限.”数学的内在统一、紧密联系尤为显著.所以，整体性研究要求单个知识全面认识，多个知识串联成线，板块知识及时融合.而且要求课堂教学不仅要考虑知识结构，更要考虑思维结构和生命结构，只有这样的数学课堂教学，才能让学生掌握核心知识、提高思维品质、丰富生命内涵.

【作者简介】浦叙德（1966—），男，江苏无锡人，中学高级教师，无锡市名教师，无锡市首批中小学名师工作室领衔人，无锡市新区初中数学教研员和首批名师工作室领衔人，长期从事初中数学教育教学及研究工作，先后获得“省优秀教研员”、“省优秀中考指导老师”、“省课改先进个人”、“省初中教育研究先进个人”、“无锡市优秀教育工作者”等荣誉称号，曾在《中学数学教学参考》《中学数学教育》《中小学数学》《中学数学》等省级及以上杂志、报刊发表文章90多篇，其中中文核心和教育类核心期刊10多篇，参编各类数学书籍十多本.

（责任编辑 黄桂坚）

先以“函数”与“方程”“不等式”等板块知识为例.我们知道，如果把函数、方程、不等式板块放在一起来认识，可以认为“方程”、“不等式”是“函数”的特殊情形.我们可以通过如“求抛物线y=x2-x-6与x轴两个交点之间的距离”体会函数与方程之间的紧密联系；还可以通过如“父亲、母亲、叔叔和个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠，这2家旅行社的原价均为100元/人，试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠”体会函数、方程、不等式之间的紧密联系.一旦学生能够把三者时时联系在一起理解和运用，可以说这三个板块之间的融合已经达成.

再以“函数思想”为例说明.函数思想的建立和发展，沟通了常量数学与变量数学之间的关系.抽象的函数概念、统领的函数思想必须经过具体的应用才能得到深刻理解.数学教学可以从日常生活、生产实际中选取学生熟悉的、能够接受的实际问题用函数的思想解决，帮助学生树立运用函数思想方法思考问题的意识，并学会建立适当的函数模型解决问题，以深化对函数概念和相关知识的理解.函数思想的渗透、落实与领悟，可以借助如下途径达成.一是函数知识与其他知识结合；二是函数问题与学生的现实生活结合；三是函数思想与方程、变换、优化等数学思想方法有机结合.函数思想方法是中学数学的重要思想方法之一.在数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展过程中，应尽力向学生渗透函数思想方法，充分发挥函数思想方法的指导作用，这对形成学生良好的思维品质大有益处.这也是进一步落实新课程标准，培养学生创新能力所必需的.因此，作为数学教师，应对函数思想的统领和融合给予足够的重视.

综上所述，在数学教学中教师着眼于局部性研究是必须的基础工程，这是上好一堂课，让课堂效果得到保证的前提.但仅仅依靠局部性研究是不够的，更需要整体性研究来保证课堂效能.普朗克曾经说过：“科学是内在的统一体，它被分解为单位的部门不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限.”数学的内在统一、紧密联系尤为显著.所以，整体性研究要求单个知识全面认识，多个知识串联成线，板块知识及时融合.而且要求课堂教学不仅要考虑知识结构，更要考虑思维结构和生命结构，只有这样的数学课堂教学，才能让学生掌握核心知识、提高思维品质、丰富生命内涵.

【作者简介】浦叙德（1966—），男，江苏无锡人，中学高级教师，无锡市名教师，无锡市首批中小学名师工作室领衔人，无锡市新区初中数学教研员和首批名师工作室领衔人，长期从事初中数学教育教学及研究工作，先后获得“省优秀教研员”、“省优秀中考指导老师”、“省课改先进个人”、“省初中教育研究先进个人”、“无锡市优秀教育工作者”等荣誉称号，曾在《中学数学教学参考》《中学数学教育》《中小学数学》《中学数学》等省级及以上杂志、报刊发表文章90多篇，其中中文核心和教育类核心期刊10多篇，参编各类数学书籍十多本.

（责任编辑 黄桂坚）

先以“函数”与“方程”“不等式”等板块知识为例.我们知道，如果把函数、方程、不等式板块放在一起来认识，可以认为“方程”、“不等式”是“函数”的特殊情形.我们可以通过如“求抛物线y=x2-x-6与x轴两个交点之间的距离”体会函数与方程之间的紧密联系；还可以通过如“父亲、母亲、叔叔和个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠，这2家旅行社的原价均为100元/人，试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠”体会函数、方程、不等式之间的紧密联系.一旦学生能够把三者时时联系在一起理解和运用，可以说这三个板块之间的融合已经达成.

再以“函数思想”为例说明.函数思想的建立和发展，沟通了常量数学与变量数学之间的关系.抽象的函数概念、统领的函数思想必须经过具体的应用才能得到深刻理解.数学教学可以从日常生活、生产实际中选取学生熟悉的、能够接受的实际问题用函数的思想解决，帮助学生树立运用函数思想方法思考问题的意识，并学会建立适当的函数模型解决问题，以深化对函数概念和相关知识的理解.函数思想的渗透、落实与领悟，可以借助如下途径达成.一是函数知识与其他知识结合；二是函数问题与学生的现实生活结合；三是函数思想与方程、变换、优化等数学思想方法有机结合.函数思想方法是中学数学的重要思想方法之一.在数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展过程中，应尽力向学生渗透函数思想方法，充分发挥函数思想方法的指导作用，这对形成学生良好的思维品质大有益处.这也是进一步落实新课程标准，培养学生创新能力所必需的.因此，作为数学教师，应对函数思想的统领和融合给予足够的重视.

综上所述，在数学教学中教师着眼于局部性研究是必须的基础工程，这是上好一堂课，让课堂效果得到保证的前提.但仅仅依靠局部性研究是不够的，更需要整体性研究来保证课堂效能.普朗克曾经说过：“科学是内在的统一体，它被分解为单位的部门不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限.”数学的内在统一、紧密联系尤为显著.所以，整体性研究要求单个知识全面认识，多个知识串联成线，板块知识及时融合.而且要求课堂教学不仅要考虑知识结构，更要考虑思维结构和生命结构，只有这样的数学课堂教学，才能让学生掌握核心知识、提高思维品质、丰富生命内涵.

【作者简介】浦叙德（1966—），男，江苏无锡人，中学高级教师，无锡市名教师，无锡市首批中小学名师工作室领衔人，无锡市新区初中数学教研员和首批名师工作室领衔人，长期从事初中数学教育教学及研究工作，先后获得“省优秀教研员”、“省优秀中考指导老师”、“省课改先进个人”、“省初中教育研究先进个人”、“无锡市优秀教育工作者”等荣誉称号，曾在《中学数学教学参考》《中学数学教育》《中小学数学》《中学数学》等省级及以上杂志、报刊发表文章90多篇，其中中文核心和教育类核心期刊10多篇，参编各类数学书籍十多本.

（责任编辑 黄桂坚）