一类四阶奇异非线性积分边值问题正解的存在性

王全义，邹黄辉

（华侨大学 数学科学学院，福建 泉州362021）

1 预备知识

两端简单支撑的弯曲弹性梁的平行状态可用四阶两点边值问题

来描述［1］，关于这类边值问题的正解存在性已受到广泛的研究［2－5］，微分方程的积分边值问题在热传导、等离子物理、化学工程、流体力学等方面具有广泛的应用背景.因此，微分方程的积分边值问题受到许多学者的广泛关注［6－10］.本文将研究四阶奇异非线性积分边值问题

的正解的存在性.式（2）中：f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×［0，＋∞），（－∞，＋∞））；h，k∈C（［0，1］×［0，＋∞），［0，＋∞））；w∈C（（0，1），［0，＋∞））；ξ（s）和η（s）在［0，1］上是非减的；在边值条件（2）中的积分是Riemann－Stieljes积分.

显然，非线性项f（t，u，p）是可变号的，且w（t）在t＝0，1可能是奇异的.此外，当ξ（s）≡0，η（s）≡0，w（t）≡1时，边值问题（2）退化为问题（1）.对于具非线性积分边界条件的四阶非线性微分方程的边值问题（2）的正解存在性问题很少有人研究过.

假设下面的条件成立：

H′1）设f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×（0，＋∞］，（－∞，＋∞）），且当［0，1］时，f（t，u，p）≥0.

2 一些引理

设X是Banach空间，K⊂X非空，且满足

1）对任意u，v≥0，任意x，y∈K，有ux＋vy∈K；

2）若x∈K，－x∈K，则x＝0，那么称K为X中的一个锥.

记空间E＝C2［0，1］，在E中定义范数，则E在范数‖x‖下成为一个Banach空间.在E中定义一个锥K，记Kr＝｛x∈K∶‖x‖≤r｝，∂Kr＝｛x∈K∶‖x‖＝r｝，＝｛x∈K∶r≤‖x‖≤R｝，其中：0＜r＜R.

引理1［11］设X是Banach空间，P是X中的一个锥，Ω1和Ω2是X中的开集，0∈Ω1，⊂Ω2，T∶P∩／Ω1→P是全连续算子，如果下列条件之一满足，即

1）若x∈P∩∂Ω1，则‖Tx‖≤‖x‖；若x∈P∩∂Ω2，则‖Tx‖≥‖x‖；

2）若x∈P∩∂Ω1，则‖Tx‖≥‖x‖；若x∈P∩∂Ω2，则‖Tx‖≤‖x‖.那么算子T在P∩（ˉΩ2／Ω1）中有不动点.

引理2函数G（t，s）定义为

那么，当t，s∈［0，1］时，有

引理3假设条件H1），H2）成立，若如下的边值问题

有一个正解x（t），x（t）≥min｛t，1－t｝‖x‖，t∈［0，1］，G（t，s）由式（3）定义，那么积分边值问题（2）至少有一个正解u（t），且

引理4假设条件H1），H2）成立，如果的积分方程

有一个正解x＝x（t），G（t，s）由式（3）定义，那么x＝x（t）是边值问题（5）的一个正解.

为了应用引理1，锥定义为

m（t）由式（4）给出.算子T∶K→C［0，1］定义为

引理5假设条件H1），H2）成立，那么T（K）⊂K，而且T∶K→K是全连续的.

3 正解的存在性

G（t，s）和m（t）分别由式（3），式（4）给出.

如果条件H2）成立，显然I5是有界的，且0＜I5≤M＋M0，其中

定理1假设条件H1），H2）成立，如果f∞≥0，I1＜1＜I2，则边值问题（2）至少有一个正解.

证明 考虑式（8）定义的算子T∶K→C［0，1］，由引理5可知T∶K→K是全连续的.又因为I1＜1，0＜I5≤M＋M0，因此存在ε1＞0，使得I1＋ε1I5＜1.对此ε1＞0，存在r1＞0，使得当t∈［0，1］，0＜p≤r1，2u≤p时，就有

那么由式（6）～式（9），当t∈［0，1］，t∈∂Kr1时，可得

故有

因为I2＞1，m（0）＝m（1）＝0，故存在ε2＞0，0＜δ＜1／2，使得

对ε2＞0，存在r22＞0，使得当t∈［0，1］，0≤2u≤p，p≥r22时，有

取r2＝max｛r1＋1，δ－1r22｝，所以当t∈［δ，1－δ］，x∈∂Kr2时，有

于是当x∈∂Kr2，t∈［0，1］时，由式（7），（11），（12）可得

故有

由引理4，式（10），（13）知算子T∶K∩（／Kr1）→K满足引理1中的所有条件.因此由引理1知有一个不动点x0∈ˉKr1，r2，r1≤‖x0‖≤r2，且x0（t）≥min｛t，1－t｝‖x0‖，t∈［0，1］.由式（8），引理3，4知边值问题（2）至少有一个正解u0，且，u0（t）≥min｛t，1－t｝‖u0‖，t∈［0，1］.定理1证毕.

在定理1的证明中，假设1＜I2＜＋∞.但是对于I2＝＋∞，容易证明定理1也是成立的.

定理2假设条件H1），H2）成立，如果f∞，f0≥0，I4＜1＜I3，则边值问题（2）至少有一个正解.

在定理2中假设1＜I3＜＋∞，但是当I3＝＋∞时，容易证明定理2的证明也是成立的.

假设以下条件成立：

由引理2得，条件H2），H′2）是等价的.

定理3设条件H1），H′2）成立，而且假设存在4个常数ρ1，ρ2，δ，λ，且ρ1＞0，ρ2＞0，ρ1≠ρ2，0＜δ＜1／2，0≤λ＜1使得条件H3）为

条件H4）为

那么积分边值问题（2）至少有一个正解u，使得在ρ2和ρ2之间.

因为当h（t，p）≡0，k（t，p）≡0，ξ（s）≡0，η（s）≡0，w（t）≡1，边值问题（2）退化为边值问题（1）.这时在定理3中，，并且如果取λ＝0，δ＝1／4，那么立即可得

推论1假设H′1）成立，又存在两个正数ρ1，ρ2且ρ1≠ρ2使得

那么边值问题（1）至少有一个正解u，使得在ρ2和ρ2之间.

显然，推论1中的f（t，u，－p）是可以变号的，并且也不要求maxf0，minf0，maxf∞，minf∞∉｛0，＋∞｝，而且推论1中的条件H′3），H′4）也大大弱于文献［5］的定理中的条件H5），H6），因此推论1大大优于文献［5］的定理3.1.从而定理3推广和改进了文献［5］的定理3.1.

定理4假设条件H1），H2）成立，如果f∞，f0≥0，I2＞1，I3＞1，且存在b＞0，使得，其中

那么边值问题（2）至少有两个正解.

在定理4中，假设1＜I2，I3＜＋∞，但是当I2＝＋∞或I3＝＋∞时，定理4仍然成立.

［1］GPTA C P.Existence and uniqueness theorem for a bending of an elastic beam equation［J］.Appl Anal，1988，26（2）：289－304.

［2］MA Ru－yun，XU Ling.Existence of positive solutions of a nonlinear fourth－order boundary value problem［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23（5）：537－543.

［3］MA Ru－yun，XU Jia.Bifurcation from interval and positive solutions of a nonlinear fourth－order boundary value problem［J］.Nonlinear Analysis，2010，72（1）：113－122.

［4］CUI Yu－jun，ZOU Yu－mei.Existence and Uniqueness theorems for fourth－order singular boundary value problems［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，58（7）：1449－1456.

［5］LIU Bing.Positive solutions of fourth order two－point boundary value problems［J］.Appl Math Comput.2004，148（2）：407－420.

［6］张兴秋.奇异四阶积分边值问题正解存在唯一性［J］.应用数学学报，2010，33（1）：38－50.

［7］MA Hui－li.Symmetric positive solutions for nonlocal boundary value problems of fourth order［J］.Nonlinear Analysis，2008，68（3）：645－651.

［8］ZHANG Xue－mei，GE Wei－gao.Positive solutions for a class of boundary－value problems with integral boundary conditions［J］.Computers and Mathematics with Applications，2009，58（2）：203－215.

［9］KONG Ling－ju.Second order singular boundary value problems with integral boundary conditions［J］.Nonlinear Analysis，2010，72（5）：2628－2638.

［10］邹黄辉，王全义.一类四阶微分方程积分边值问题正解的存在性［J］.华侨大学学报：自然科学版，2011，32（6）：699－704.

［11］郭大均.非线性范函分析［M］.济南：山东科学技术出版社，2002：314－315.