云模型和混沌粒子群算法的多目标无功优化

赵文清，王立玮，董月

华北电力大学控制与计算机工程学院，河北保定 071003

电力系统的无功优化是指在系统结构参数和负荷情况给定的条件下，以满足系统各运行方式约束为前提，通过对系统控制变量的优化计算，最大限度地提高系统电压稳定性，改善电压质量，降低网损。具有非线性、多目标、多约束、同时含有连续变量和离散变量等特点。当前关于无功优化的方法很多，传统的经典算法具有不可避免的局限性，无法处理离散变量，随着人工智能和计算机技术的发展，出现了很多智能算法如遗传算法、蚁群算法［1］、免疫算法［2］、粒子群算法［3］及混沌优化算法［4］等，并相继被引入到电力系统的无功优化问题，取得了较好的效果。其中尤以粒子群算法的研究最为突出，基本粒子群优化算法(particle swarm optimizer，PSO)自1995年由Kennedy和 Eberhart提出以来，因其具有易实现、操作简单、参数较少等性能，发展迅速且应用广泛。然而，在搜索的初期收敛速度较快，在后期容易陷入局部最优且收敛速度慢，这些是阻碍PSO算法进一步推广应用的主要缺点。

针对上述粒子群优化算法的不足之处，从前期混沌优化到后期改进其惯性权重参数入手，对基本粒子群算法进行整体改进。基本PSO是随机生成初始解，这对算法精确度很不利，很可能存在搜索盲区。利用混沌算法具有遍历性的优点，对粒子群进行混沌初始化，在整个搜索空间里形成杂乱而有序的初始种群。研究表明［5］惯性权重对PSO算法的性能有较大影响，关于改进惯性权重的方法已有很多，文献［6］提出在迭代中对惯性权重进行线性递减处理的改进策略，文献［7］提出在设定的范围内动态自适应调整惯性权重的改进策略。这2种方法都在不同程度上优化了算法，但存在改进不彻底和方法死板的问题，致使改进效果不显著。云模型［8-9］的云滴具有随机性和稳定倾向性的特性，将云模型理论与粒子群结合，应用正态云发生器自适应动态调整［10］粒子的惯性权重。此外，可以对符合一定条件的粒子进行基于云模型的变异，赋给粒子群全面搜索的能力，保证其及时跳出局部最优。综合以上考虑，文中提出了基于云模型和混沌粒子群算法的多目标无功优化。

1 多目标无功优化模型

1.1 目标函数

电力系统的无功优化技术要求建立以即有功网损PLoss最小、电压偏差ΔU最小和静态电压稳定裕度ΔV最大的多目标无功优化模型，数学模型如下:

式中:Gk为节点i，j之间的支路k的电导，NB为参与有功网损计算的系统支路条数，Tk为变压器k的变比，Ui是节点i的电压幅值，Uj是节点j的电压幅值，θij为节点i和j之间的电压相角差，为节点额定电压幅值，ΔUimax为最大允许电压偏差，NL为系统的负荷节点数。

1.2 功率潮流约束条件

1)节点的有功功率和无功功率平衡约束如下:

式中:Gij、Bij、θij分别表示节点i和j之间的电导、电纳和相角差，Pgi、Qgi分别表示节点i发电机的有功功率和无功功率，Pdi、Qdi分别表示负荷节点的有功功率和无功功率，Qci代表节点i所加并联电容器的无功补偿量，Ni为节点总数。

2)变量约束条件。

控制变量约束条件:

1.3 多目标无功优化的模糊解法

文中试图把多目标模型转化为单目标模型之后再进行求解。首先把上述3个无功优化子目标转化为在［0，1］区间取值的隶属度函数。个体某种指标越差，相应的隶属度值越大。优化的目的是将隶属度值最大的指标最小化。采用隶属函数线性函数解法。对于式(1)，设3个子目标函数对应的隶属度函数分别为μ1(x)、μ2(x)、μ3(x):

根据交模糊判决，原问题可转化为单目标形式，则可以根据式(6)求解得到多目标无功优化最优解x*:，其中，μp(x1，x2)为最优隶属度［11］。

2 改进的混沌粒子群算法

2.1 标准粒子群优化算法

设在一个D维目标搜索空间，粒子群为M，向量Xi=(xi1xi2… xij… xid)表示粒子群在D维空间中第i个粒子的位置，j表示变量xi的第j维分量;向量Vi=(vi1vi2… vid)表示第i个粒子的“飞行”速度，决定粒子在搜索空间单位迭代次数的位移;Pi=(pi1，pi2，…，pid)表示第 i个粒子的历史最优位置;Pg=(pg1，pg2，…，pgd)表示当下整个粒子群中搜索到的最好位置;第i个粒子从n－1代迭代到n代按式(7)来调整速度和相应的位置［12］:

式中:ω为惯性权值，vi(t)为粒子i在t时刻运动速度，xi(t)为粒子i当前位置，pi(t)为粒子i的个体最优值，pg(t)为粒子i的全局最优值，c1和c2为加速系数，通常取值为2，r1和r2是仅在［0，1］范围内取值的随机数，n为迭代次数。

2.2 云理论

云模型是为定性和定量之间的相互转换提供了一种手段，主要刻画了客观世界中事物或人类知识不确定性概念和确定数值之间的模糊性和随机性。

云模型利用期望Ex、熵En、超熵He表示它的数字特征，这3个数字特征可以表示上的定量特征。当μA(x)服从正态分布时，称为正态云模型。

定义2 正态云发生器，实现了从定性语言值到其定量表示之间的不确定转换，可用以下算法描述:

1)生成以En为期望值，He为标准差的一个正态随机数E'n;

2)生成Ex为期望值，E'n绝对值为标准差的一个正态随机数x，其中，x称为论域空间中的一个云滴;

4)重复1)～3)，直到产生N个云滴终止。

2.3 混沌思想

基本粒子群算法采用随机生成初始粒子，存在无法遍及整个空间的缺点。而混沌具有遍历特性，采用混沌算法产生初始解，将大大增加粒子种群的多样性，增加全局寻优能力。目前应用较广的混沌系统是Logistic映射:

式中:zk为混沌变量，μ为控制参数。当 μ=3.571448时，该映射开始进入混沌状态，当μ=4时，混沌系统处于完全混沌状态，文中采用Logistic完全混沌迭代方程zk+1=4zk(1－zk)，zk∈(0，1)完成粒子的混沌初始化处理。

2.4 云自适应粒子群调整进化策略

设定favg=为粒子群的平均适应值，按此将种群分成为靠近最优粒子的种群、较靠近最优粒子的种群及远离最优粒子的3个子群，其中fi为粒子Xi在第k次迭代的适应度值;首先将粒子群按照favg分为2部分，优于favg的适应值求平均得到f'avg，次于favg的适应值求平均得到f″avg;再根据f'avg和f″avg将粒子群分成3部分，具体分配策略如下:

第1部分粒子的fi＜f'avg，这些粒子是距离最优值很近的粒子，接下来要做的就是加快全局收敛的速度，到达最优值即可，故ω取最小值ω =0.4。

第2 部分的粒子 fi∈［f'avg，f″avg］，这部分粒子是种群中普通的粒子，作为重点处理对象，由正态云发生器非线性动态调整粒子Xi的惯性权重。自适应粒子群惯性权重ω生成算法如下:

式中:c1、c2为控制参数，由于0＜＜1，所以ω ∈［0.4，0.9］，因而ω会随着粒子的适应度发生变化，适应度小的粒子即可获得较小的ω值。

第3部分的粒子fi＞f″avg，这部分的粒子距离最优值很远，为群体中较差的粒子，需要加大跨度搜索，故ω取最大值，ω =0.9。

2.5 云变异粒子群优化算法调整策略

通常若粒子连续N代都没有更新则认为此时的粒子群陷入局部最优，文中利用如下方法对这部分粒子进行变异操作:通过正态云发生器的期望Ex、熵En及超熵He对满足变异条件的粒子完成变异操作。在这3个参数的控制下产生下一代子种群。具体实现策略如下:

当粒子群满足变异条件时，即达到预先设定的变异阈值N，变异阈值的设置通过反复实验来设定一个常数，选定当下全体粒子的全局最优点为pg，变异策略如下:令正态云算子的数字特征分别为Ex=pg，En=2pg，He=En/10，根据定义 2 中的一维正态云发生器完成粒子的变异操作。

3 云模型和混沌粒子群算法的电力系统无功优化

综上所述，给出基于云模型和混沌粒子群算法CAVCPSO的多目标求解流程如图1所示。

图1 CAVCPSO算法对多目标无功优化问题的求解流程

l)初始化算法中需要的参数，包括输入潮流数据，设定控制变量的约束范围、种群规模、设定最大迭代次数等。

2)在符合1)中控制变量约束范围时，利用2.3节的混沌算法初始化种群中粒子的速度和位置，粒子的维数为系统控制变量的个数。

3)确定各子目标和约束的隶属度，据1.3节模糊解法将多目标优化模型转化单目标优化模型。

4)进行潮流计算，得到的每个粒子当前的适应度值，对每个粒子依据进化策略进行进化操作，确定出当前个体最优值和全局最优值，将种群分成3个子群，根据3.4节云自适应粒子群调整进化策略进行迭代更新，确定出新一代的Xi的速度和位置以及每个粒子全局最优位置和个体最优值及适应值。

5)判断是否达到变异阈值N，达到则按2.5节云变异粒子群优化算法调整策略对粒子群进行变异操作，否则直接转步骤6)。

6)若满足终止条件，就结束迭代，并且输出最优解，否则转步骤4)。

4 算例分析

多目标无功优化求解流程的主要步骤如下:

文中选择IEEE30节点系统和IEEE118节点系统作为测试仿真系统算例，在MATLAB7.0平台之上编制文中所提算法的多目标无功优化程序和系统潮流计算程序，潮流计算采用牛顿－拉夫逊法。

实验数据均采用标么值，其中基准功率为100 MVA，变压器变比的调节步长定为0.025，变比调节在0.90 ～1.10 p.u.之间，上下档位数为 ±8，补偿电容QC调节步长为0.04，分10档，补偿上限设定为0.5 p.u.，初始电压及变压器的初始变比均设为1.0。粒子群规模n=40，学习因子c1=c2=2，ωmin=0.4，ωmax=0.9，最大迭代次数 Maxiter=100，变异阈值 N=0.2。

实验1 相同条件下，对每个算法分别独立运行50次，将PSO、云自适应粒子群算法(CAPSO)和文中提出的云自适应变异混沌粒子群算法(CAVCPSO)3种算法应用在IEEE 30节点系统的平均优化结果进行对比，对比结果如表1所示。由表1可知，文中提出的CAVCPSO算法进行多目标无功优化计算后，有功网损由5.51 MW 降到4.87 MW，降幅为11.62%，其结果明显优于其他2种算法，通过与CAPSO算法的对比，证明了混沌思想和变异策略的有效性，此外，其他2个子目标函数值也均有较好改善。

表1 IEEE30节点系统的平均优化结果对比

实验2 在相同基本条件下，再将实验1的优化结果与文献［3］中的免疫算法(IA)进行对比实验，各优化算法得到的平均优化结果如表2所示。由表2可知，免疫算法(IA)的多目标优化结果平均值相比基本粒子群算法的优化结果，有功网损和电压偏移量次于PSO算法，但是，静态电压稳定裕度指标优于PSO，而CAVCPSO算法的有功网损、电压偏移量和静态电压稳定裕度指标均优于其他2种算法，进一步验证了文中所提CAVCPSO算法的可行性。

表2 IEEE30节点系统的平均优化结果对比

文中对IEEE 30节点系统上4种算法优化后各控制变量的最优值进行了计算，结果如表3。

表3 4种算法优化后控制变量的值

表3 中，V1、V2、V5、V8、V11、V13 代表 6 台发电机节点位置编号;T1～T4代表4台变压器;Q10、Q24代表补偿电容器。由表3可知，CAVCPSO算法优化后的所有节点电压、控制变量的值均距其上下限有一定的距离，没有越过无功电源的出力极限，可以用于求解无功优化目标函数与系统电压安全之间的冲突问题。据以上比较结果表明，文中所提方法进行多目标无功优化可以得到高质量的优化解。

图2所示为PSO算法、IA算法、CAPSO算法和CAVCPSO算法在求解多目标无功优化过程中有功网损目标函数的收敛曲线图。从图2可以看出，有功网损随迭代次数的变化曲线可以直观看出，通过与云模型结合后的CAPSO算法搜索速度和优化效率都明显提高，目标函数显著增优;而CAVCPSO算法在最初几代降速很快，表明利用混沌初始化可使CAVCPSO算法从好的初始值完成快速寻优。图2也验证了文中所提CAVCPSO算法的收敛性好。

图2 各优化算法网损收敛特性曲线

实验3 将免疫算法(IA)、基本粒子群算法(PSO)和云自适应变异混沌粒子群算法(CAVCPSO)3种算法应用在IEEE 118节点系统的平均优化结果进行对比，结果如表4所示。由表4可知，通过CAVCPSO算法优化计算后，有功网损下降 10.63% ，电压偏移量由0.1418下降到0.0362，静态电压稳定裕度由0.1585提高到0.1958，说明在求解高维复杂优化问题时，CAVCPSO算法依然具有明显优化效果。CAVCPSO算法的这种特点是其在复杂系统中的应用成为可能。

表4 IEEE118节点系统的平均优化结果

5 结束语

粒子群算法作为应用最广泛的智能算法之一，因固有缺点阻碍了其进一步推广。文中分析了粒子群算法的迭代特点和规律，总结造成缺陷的原因及解决方法，逐一对其进行改进，自早期到后期完成对粒子群算法的全面改进，提高了算法的性能。

将改进算法应用到多目标无功优化问题中，通过对IEEE30节点系统和IEEE118节点系统2个典型算例进行多次优化运算，结果表明文中提出的CAVCPSO算法有效的解决了粒子群算法早熟、易陷入局部最优等不足，且该算法用于解决多目标无功优化问题是有效可行的。

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