基于偏相关性分析的多设计要求快速优化设计方法

王 丹，白俊强，朱 军，华 俊，孙智伟

（1.西北工业大学 航空学院，西安 710072；2.中国航空研究院，北京 100012）

0 引 言

飞行器气动外形设计是飞行器设计中的重要内容，其直接影响了飞行器的气动性能和飞行品质，而气动性能和飞行品质的提高，离不开气动外形设计工具和设计方法的改进与发展。

气动外形的设计方法可以分为三大类：一类是经验设计方法，即利用已有的设计经验，依据流场特性分析，对气动外形进行改进，使其性能更优；一类是直接求解空气动力反问题的设计方法，如翼型设计中，通常为给定目标压力分布，对初始翼型进行修型、数值模拟计算迭代以期其压力分布逼近目标压力分布，这类方法通常称为反设计方法［1－2］；第三类则是将空气动力学正问题求解即计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，CFD）方法与优化算法相结合形成的各种气动外形优化设计方法。气动外形优化设计方法对设计经验依赖较少，减小了人为因素的影响，且优化理论和算法发展到现在已比较成熟，给予了优化设计方法强有力的支撑，因此该方法在气动外形设计中广为应用。

为了提高气动性能和缩短设计周期，现代飞行器设计对气动外形设计提出了更高的要求，希望在设计过程中能兼顾多学科、多目标、多约束的设计要求，最终得出工程实用的设计结果，且设计耗时较少。当前的气动外形优化设计方法在处理这种多设计要求的问题时主要有两种途径：一种是将多个目标通过加权处理转化为单个目标［3］，再进行优化，如评价函数法［4－5］；另一种是建立在Pareto解集基础上的多目标方法［6－8］。但是这两种方法在处理多个设计要求时，存在以下问题：对于第一种方法，每个目标的权重系数对优化设计结果影响很大，在设计目标较多时，这种方法往往难以给出合适的各个设计目标之间的权重比；对于第二种方法，在设计目标较多时，为了能够搜索到较优解，往往需要较大的种群规模（目标个数越多，所需种群规模越大），这样会使优化效率大大降低，提高优化设计成本。这两种方法存在的问题是由其本身的优化设计模型所决定的，而建立合适的优化设计模型是开展多设计要求优化设计方法的前提。

针对上述优化设计方法的缺点和不足，本文发展了基于偏相关性分析的多设计要求快速优化设计方法。该方法提出一种新的优化设计模型的建立方法和优化计算过程中对设计变量约束的处理方法，通过对设计变量和设计目标进行偏相关性分析和回归分析，将设计目标转换为对设计变量的约束，并由设计变量的约束对优化过程中的个体进行筛选处理。本文发展的方法避免了多目标向单目标转换时目标权重系数选择困难的问题，而相对于Pareto多目标方法，由于通过设计变量约束将优化过程中的个体锁定在可行域内，大大缩减了优化过程中CFD求解次数，节省了优化时间，提高了优化效率。文中应用建立的基于偏相关性分析的多设计要求快速优化设计方法对RAE 2822和 HSNLF（1）－0213翼型进行了多设计要求的优化设计。其中在对RAE 2822的设计中将本文设计方法与Pareto多目标优化设计方法进行对比，结果表明本文的设计方法具有较高的优化效率；对HSNLF（1）－0213的设计结果完全符合其设计要求，并且气动性能有较大提高。通过这两个算例验证证明了本文设计方法的有效性和可靠性。

1 多设计要求快速优化设计方法

本文建立的基于偏相关性分析的多设计要求快速优化方法，能有效简化优化设计模型并提高优化设计效率、缩短优化设计时间，其流程图如图1所示。与以往的优化设计方法相比，本文方法的特点体现在优化设计模型的建立和优化求解过程中对设计变量约束的处理方法上。

图1 多设计要求快速优化设计方法流程图Fig.1 Flow chart of the fastoptimization design with multi－requirements

以一个机翼气动外形优化问题来说明本文的多设计要求快速优化设计方法。要求对原始机翼进行气动外形优化设计，设计变量为该机翼3个站位剖面的翼型几何外形控制变量，每个剖面各10个共计30个设计变量（x1，x2，...，x30）。设计要求为：在巡航状态（Ma＝0.785，Cl＝0.575）具有高的升阻比、较小的低头力矩；在低速时（Ma＝0.2）具有较大的最大升力系数；速度在巡航马赫数附近变化时（Ma＝0.765、Ma＝0.805，攻角为巡航攻角）其升阻比变化较小；该站位剖面相对厚度不低于原始机翼剖面相对厚度。

本文发展的快速多设计要求优化方法将建立一种新的优化设计模型，步骤如下：

1）选择最重要的设计要求“巡航状态升阻比最大”为设计目标；

2）将次重要的设计要求“低速最大升力系数（Clmax）最大”、“巡航马赫数附近的升阻比变化量（Δ（Cl／Cd））较小”，通过偏相关性分析、回归分析转换将其为对设计变量的约束，具体做法如下。

①选取一定数目样本点，计算出30个设计变量分别对Clmax、Δ（Cl／Cd）的偏相关性系数；

②通过偏相关性系数判断设计变量与Clmax、Δ（Cl／Cd）的相关程度；找出与设计要求相关程度较大的设计变量，采用回归分析方法，利用这些设计变量分别建立Clmax、Δ（Cl／Cd）的回归方程：

其中xi为与设计要求相关程度较大的设计变量；aiobj为回归方程中对应xi的系数，由回归分析得出。

③给出Clmax、Δ（Cl／Cd）的可接受范围，设Clmax≥c1，Δ（Cl／Cd）≤c2，易得出对设计变量的约束

g（xl，xm，...，xn，alΔk，amΔk，...，anΔk）≤c2；则设计要求到设计变量的转换完成。

3）对于其余的设计要求如巡航力矩系数不减小、站位剖面翼型相对厚度不减小等，均作为约束条件。

最终建立的优化设计模型将为：max（Cl／Cd）cruise

其中 （t／c）cross1、（t／c）cross2、（t／c）cross3分别为机翼三个站位剖面翼型相对厚度。

优化设计模型建立好后，可以开始优化设计计算。在优化设计计算过程中，对于每一次优化迭代，在生成子个体时，首先判断该个体对应的设计变量是否满足约束

若满足，则判定该个体处在可行域内，允许它作为优化设计过程中的一个个体参与优化；若不满足，则判定其在可行域之外，直接淘汰，重新生成子个体。很显然，这样的处理方法将优化设计直接锁定在可行域内进行，避免了很多不必要的计算量，将提高优化效率，缩短优化设计时间。

2 优化设计中的偏相关性分析

本文的多设计要求快速优化设计方法在建立优化设计模型时，利用设计变量与设计要求之间的偏相关系数来选择与设计要求有较大相关性的设计变量，通过线性回归分析建立这些设计变量与设计要求的线性回归方程，最终实现设计要求到设计变量约束的转换。其中，设计变量与设计要求之间的偏相关系数的计算以统计学中偏相关分析理论为基础。

变量之间的关系可以分为两类，一类是确定性关系，即通常的函数关系；另一类是非确定关系，即相关关系。统计学中，相关分析以分析变量间的线性关系为主，研究它们之间线性相关密切程度，相关系数则是这一程度的指示。相关系数有多种表示形式，适用于描述不同问题中变量之间的相关关系［9］，如皮尔逊积矩相关系数（Pearson）：（适用于计量资料，仅限于简单线性相关关系的测定）；斯皮尔曼等级相关系数（Spearman）：（适用于等级资料，测定两等级之间的联系强度）；复相关系数：（适用于计量资料，测定一个因变量同多个自变量之间的相关关系）；偏相关系数：（适用于计量资料，多元回归中测定在其它自变量固定不变时，单个变量同因变量的相关关系）。

在多元相关分析中，偏相关系数描述当其他变量固定后，给定的任意两个变量之间的相关系数，真正反映两个变量相关关系，适用于表达设计变量与设计要求的相关关系，因此，本文选择偏相关性系数来判断设计变量与设计要求的相关程度。

在本文计算中，偏相关系数借助简单相关系数所构成的相关系数对称矩阵来计算［9－11］。

设有n个变量X1，X2，…，Xn，每两个变量间的简单相关系数为rij（i，j＝1，2，…，n），rij可由下式计算得到：

其中是变量Xi的平均值。由简单相关系数所构成的相关系数对称矩阵如下：

本文通过回归方程实现设计要求到设计变量约束的转换。回归分析建立在统计学理论基础之上，通过对样本点分析研究建立自变量与应变量之间的关系表达式，该关系表达式称为回归方程［12－13］。

在进行了设计变量与设计要求偏相关性分析的基础上，利用设计要求与设计变量之间的偏相关性系数判断其相关程度，选择与设计要求相关程度较大的设计变量，采用线性回归分析方法，建立这些设计变量与

其中rij＝rji，（i，j＝1，2，…，n）。

设Δ为此矩阵的行列式，即Δ＝，则变量Xi与Xj之间的偏相关系数为：

这里Δij、Δii、Δjj分别为Δ中元素rij、rii、rjj的代数余子式。

同理，在优化设计中，设计变量与设计目标的偏相关系数可由以下计算得到：

设有设计变量a1，a2，…，an；设计目标b1，b2，…，bm；若要计算设计变量ai对设计目标bj的偏相关系数，则可令a1＝X1，a2＝X2，…，an＝Xn，bj＝Xn＋1。由式（1）可得X1，X2，…，Xn＋1中任意两个变量的简单相关系数rij（i，j＝1，2，…，n＋1）；由式（2）可知相关系数对称矩阵为：

于是设计变量ai对设计目标bj的偏相关系数为

偏相关性分析是建立在统计学理论的基础之上的，需要有一定的统计样本来支撑分析，两个变量之间的偏相关性系数的计算也涉及到样本的平均值，因此，在优化设计中，计算设计变量与设计目标之间的偏相关系数之前，先要选取一定数量的设计样本点并计算出这些样本点所对应的设计目标值。

3 优化设计中设计要求到设计变量约束的转换

设计要求之间的多元线性回归方程，继而通过给定设计目标的范围，结合回归方程得出设计变量的约束条件，最终实现将设计目标转换为对设计变量的约束。

由统计学分析可知，当偏相关系数小于0.3时，变量之间为弱相关；当偏相关系数大于等于0.3时，变量之间存在准线性关系［14，15］。因此，认为偏相关系数大于0.3的设计变量与设计要求的相关程度较大，选择该设计变量进行回归分析。在对设计变量与设计目标进行了偏相关性分析之后，找到与设计要求之间存在准线性关系的设计变量即偏相关系数大于0.3的设计变量，对这些设计变量进行线性回归分析，建立其与设计要求的近似线性回归方程如下：

设与设计要求的气动参数Q存在偏相关关系的设计变量有xi（i＝1，…，m），利用线性回归分析，建立气动参数Q与这几个设计变量的线性方程，设方程为：

其中：ai、b为线性回归方程的系数，这些系数值通过最小二乘法来确定，所用样本点与求解偏相关系数时的样本点相同。

给定设计目标Q的范围如Q≥c0，则得出a1x1＋…aixi…＋amxm＋b≥c0，于是设计目标转换为对设计变量的约束。

4 算例分析

4.1 算例1

对一个二维翼型进行优化设计，初始翼型为RAE2822，设计要求为：M∞＝0.73，α＝2.79°，Re＝6.5×106时升阻比最大，升力系数在0.78≤Cl≤0.82范围内变化，力矩系数Cm≥－0.0897；当攻角在1.29°≤α≤3.29°范围内变化时升阻比变化较小；翼型相对厚度（t／c）≥0.12。攻角在1.29°≤α≤3.29°范围内变化时升阻比变化较小，运用数学语言描述即为：

要求k＿sum较小。

在翼型优化中，参数化方法采用Hicks－Henne型函数线性叠加的方法［16］，选取14个型函数叠加来描述翼型几何外形，其中前7个用于描述翼型的厚度，后7个用于描述翼型的弯度，设计变量为这14个型函数叠加时的系数；优化算法采用遗传算法，种群规模30个，变异因子0.1，交叉因子0.9，迭代30次时停止优化；自动网格生成调用商用软件Gridgen中的宏命令完成；CFD计算采用RANS求解器，LUSGS时间推进方法，Roe格式进行空间离散，湍流模型选为SSTk－ω模型。

在本算例中，为了将本文的优化设计方法和多目标优化设计方法进行比较，选择了多目标优化设计中应用较广的Pareto遗传算法作为对比方法，将本文方法的优化结果与Pareto遗传算法的优化结果进行比较。其中，Pareto遗传算法优化设计模型为：

Pareto遗传算法的群体规模为30，交叉概率为0.9，变异概率为0.1，共进化50代。

对于本文提出的优化设计方法，其优化模型建立如下。选择M∞＝0.73，α＝2.79°，Re＝6.5×106时升阻比最大作为设计目标，将攻角在1.29°≤α≤3.29°范围内变化时升阻比变化较小即要求k＿sum较小转换为对设计变量的约束；其余设计要求均作为约束。将k＿sum较小的要求转换为对设计变量的约束的步骤如下：

1）采样。选用拉丁超立方方法在设计变量变化范围内生成样本点300个，数值模拟计算得到每个样本点在Ma＝0.73，Re＝6.5×106，攻角分别为1.29°、2.79°、3.29° 时 的 升 阻 比 （Cl／Cd）α＝1.29、（Cl／Cd）α＝2.79、（Cl／Cd）α＝3.29；由式（7）得到每个样本点对应的k＿sum的值；

2）求偏相关系数。由式（1）、式（4）、式（5）计算得到翼型的14个设计变量c1，c2，…，c14分别与k＿sum之间的偏相关系数见表1，其中当偏相关系数小于0.3时记为0；

表1 设计变量与k＿sum的偏相关系数Table 1 Prtial correlation coefficient between design variable and k＿sum

3）线性回归分析。由表一可以看出，与k＿sum的偏相关系数大于0.3的设计变量为c5、c13、c14，因此建立该三个设计变量与k＿sum之间的回归方程：

由步骤（1）中得到的样本点，通过最小二乘法对式（8）进行线性回归拟合求解系数a1、a2、a3、b，最终得到如下回归方程：

4）设计变量约束的转换。在优化设计中，若设当k＿sum≤13.0时，符合“攻角在1.29°≤α≤3.29°范围内变化时升阻比变化较小”这一设计要求，则令k＿sum≤13.0，由式（9）易得：

则式（10）为在优化设计中对设计变量c5、c13、c14的约束。

5）建立优化设计模型。由以上分析计算，最终建立优化设计模型如下：

建立好优化设计模型后，开始进行优化设计，其流程图如图2所示。

本文的多设计要求快速优化设计方法和Pareto遗传算法优化结果对比如图3所示。

图4给出了Pareto遗传算法迭代50次后得到的Pareto前沿，可以看到可行域个体在该前沿阵列中分布较为均匀，说明Pareto遗传算法优化结果兼顾了多目标设计的要求。图4中箭头所指个体为从Pareto前沿中挑选出来个体，其为符合k＿sum≤13.0的条件下Cl／Cd最大的个体，以该个体做为Pareto方法优化出的最优个体。图3是优化前后翼型几何外形的对比，可以看出本文的多设计要求快速优化设计方法得到的翼型较之Pareto遗传算法优化出的翼型其前缘半径较小，后加载较大，翼型相对厚度略有减小。

图2 优化设计流程图Fig.2 Flow chart of theoptimization design

图3 优化前后翼型比较Fig.3 The foils before and after optimization

图4 Pareto优化结果Fig.4 The results of Pareto

图5是优化前后压力分布的比较，明显可以看出，Pareto遗传算法优化得到的压力分布减弱了原始翼型压力分布中的较强的激波，但在翼型上翼面约42%弦长处出现了一道弱激波；而多设计要求快速优化设计方法优化出的翼型其压力分布只在上翼面约55%弦长处有很微弱的压力恢复凸台，由此可见本文的多设计要求快速优化设计方法得到的压力分布优于Pareto遗传算法优化出的。

图5 优化前后压力分布比较Fig.5 The pressure coefficients before and after optimization

图6是优化前后升力系数的对比，图7则给出了优化前后升阻比的比较。在攻角为2.79°时两种优化方法得到的升力系数差别不大，均符合0.78≤Cl≤0.82的设计要求，但多设计要求快速优化设计方法得到的最大升力系数较大；由图7的升阻比曲线对比可以看出，在攻角为2.79°时多设计要求快速优化设计方法优化出的升阻比要比原始翼型的高出约27%，比Pareto遗传算法的结果高出约12%。

图6 优化前后升力曲线比较Fig.6 The lift curve before and after optimization

图7 优化前后升阻比比较Fig.7 The lift／drag ratio curve before and after optimization

对一个优化设计方法的评价除了看得到的结果是否在符合设计要求的前提下更优以外，还要看优化设计是否能在较短的时间内得出较优的结果，而优化设计的耗时主要集中在优化过程中的CFD求解运算上。在本算例中，Pareto遗传算法多设计要求快速优化设计方法共计调用CFD求解器4500次，而多设计要求快速优化设计方法在取样、优化设计中共计调用CFD求解器1800次，节省的时间十分可观。

4.2 算例2

本算例以HSNLF（1）－0213翼型为初始翼型，设计要求为：

1）M∞＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106时升阻比最大；

2）M∞＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106时，翼型上表面转捩位置（Xtr＿upα＝2°）大于0.5；

3）M∞＝0.69，α＝0°，Re＝6.0×106时，翼型上表面转捩位置（Xtr＿upα＝0°）大于0.6；

4）M∞＝0.69的最大升力系数大于1.0；

5）M∞＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106时，升力系数Cl不减小；

6）翼型最大厚度（t／c）在0.125～0.135之间。

此处优化设计的主要目的在于使翼型上表面在较大迎角范围内保持层流以减小阻力、提高升阻比。优化设计要求有7个之多，若用多目标优化设计，将前三个设计要求作为目标，后三个作为约束，则优化目标嫌多，Pareto遗传算法优化的可行域确定的复杂程度加大，影响优化精度，且Pareto前沿阵列需用较多的迭代次数才能收敛，这无疑增加了优化时间；若选前两个设计要求作为优化目标，后四个作为约束条件，则约束条件太多，惩罚因子不好确定。

本文的多设计要求快速优化设计方法则能很好的解决多设计要求的气动优化问题。选择第1个设计要求作为设计目标，将第2、3、4个设计要求转换为对设计变量的约束，将第5、6个设计要求作为约束。

优化过程中参数化方法和优化算法同上一个算例；CFD方法采用RANS求解器，LU－SGS时间推进方法，Roe格式进行空间离散，选用γ－模型进行转捩预测。

采用拉丁超立方方法选取样本点300个，进行Ma＝0.69，攻角为2°、0°及Ma＝0.69时的最大升力系数CFD评估计算，通过偏相关性分析得到设计变量与M＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106时翼型上表∞面转捩位置（Xtr＿upα＝2°）、M∞＝0.69，α＝0°，Re＝6.0×106时翼型上表面转捩位置（Xtr＿up）及M＝α＝0°∞0.69的最大升力系数的偏相关性系数如表2，当偏相关系数小于0.3记为0。

表2 偏相关系数Table 2 The partial correlation

由表2中选择与设计要求偏相关系数大于0.3的设计变量，利用线性回归分析，分别建立Xtr＿upα＝0°、Xtr＿upα＝2°以及Cl＿max的线性回归方程如下：

由第2、3、4点设计要求，结合方程（11）、（12）、（13）得到对设计变量的约束为：

由以上分析建立优化设计模型如下：

优化过程中，遗传算法种群规模30，交叉因子0.9，变异因子0.1，迭代50代停止，优化流程图如图2所示。

表3给出了优化前后翼型的气动性能对比，可以看出，最终优化得到的翼型保证了Ma＝0.69时最大升力系数大于1.0、攻角2°时升力系数不减小、攻角0°时上翼面转捩位置大于0.6、攻角2°时上翼面转捩位置大于0.5的设计要求，并且在Ma＝0.69、攻角为2°时升阻比比初始翼型提高了27.2%。由此可见，本文的优化设计方法满足了所有设计要求，而且设计结果较好。

表3 优化前后气动特性Table 3 Aerodynamic characteristics before and after optimization

图8给出了优化前后翼型几何外形的对比，图9、10、11分别给出了优化前后翼型的压力分布（Ma＝0.69、攻角为2°）、升力曲线和升阻比曲线。可以力曲线较原始翼型的向上平移了一个差量，亦即在相看出，优化得出的翼型上翼面转捩位置比原始翼型更靠后，其上翼面保持了更长的层流段；最优翼型的升同攻角下，最优翼型具有更大的升力系数；最优翼型的最大升力系数增大，失速迎角也有所提高；由升阻比曲线可以看出优化后的升阻比在攻角为2°时有很大的提高。

图8 优化前后翼型比较Fig.8 The foils before and after optimization

图9 优化前后压力分布比较Fig.9 The pressure coefficients before and after optimization

图10 优化前后升力曲线比较（Ma＝0.69）Fig.10 The lift curve before and after optimization（Ma＝0.69）

图11 优化前后升阻比比较（Ma＝0.69）Fig.11 The lift／drag ratio curve before and after optimization（Ma＝0.69）

由以上分析可知，本文的多设计要求快速优化设计在处理这种多设计要求的气动优化问题时效果较好，证明该方法在气动优化设计中切实可行。

5 结 论

现代气动优化设计对设计者提出了更高的要求，希望在设计过程中能充分考虑到多个设计要求以达到设计结果工程可用的目的。本文提出的多设计要求快速优化设计方法正是针对这种多设计要求问题，将多个设计要求转换为对设计变量的约束，从而简化了优化设计模型，减少了优化过程中CFD求解器调用的次数，缩短了优化时间。文中算例1以RAE2822翼型为初始翼型，分别采用Pareto遗传算法优化设计方法和多设计要求快速优化设计方法对其进行了优化，结果表明多设计要求快速优化设计方法能在较短的时间内得到符合设计要求的结果；算例2以HSNLF（1）－0213翼型为初始翼型，其气动设计要求达7个之多，采用多设计要求快速优化设计方法对其进行优化，结果完全符合设计要求，证明了该设计方法的可行性。

［1］EYI S，LEE K D.Inverse airfoil design using the Navier－Stokes equations［R］.AIAA 1993－0972.

［2］KIM H J，RHO O H.Aerodynamic design of transonic wing using the target pressure optimization approach［R］.AIAA 1998－0599.

［3］YANG X X，LI X B，XIAO F.Overview of intelligent optimization algorithm and its application in flighe vehicles optimization design［J］.JournalofAstronautics，2009，11：（30）.（in Chinese）杨希祥，李晓斌，肖飞.智能优化算法及其在飞行器优化设计领域的应用综述［J］.宇航学报，2009，11（30）.

［4］LIN C Y，DONG J L.The method and theory of multi－objective［M］.Press of Jilin Education，1992.（in Chinese）林锉云，董加礼.多目标优化的方法和理论［M］.吉林教育出版社，1992.

［5］WU W D，HUANG H Z，LI H B.Judgement function solution of symmetric fuzzy optimization［J］.JournalofDalianUniversity ofTechnology，2003，43（3）.（in Chinese）吴卫东，黄洪钟，李海滨.对称模糊优化模型评价函数解法［J］.大连理工大学学报，2003，43（3）.

［6］CHRISTOPHER A M，ACHILLE M.Development of a Paretobased concept selection method［R］.AIAA 2002－1231.

［7］XIA L，GAO Z H，LI Tian.Investgation of integrated multidisciplimary and multi－objective optimization of the aircraft configuration design method［J］.ACTAAerodynamicaSinica，2003，21（3）：275－281.（in Chinese）夏露，高正红，李天.飞行器外形多目标多学科综合优化设计方法研究［J］.空气动力学学报，2003，21（3）：275－281.

［8］XIA L.Investigation into collaborative optimization design techniques of aircraft aerodynamics and stealth performances［D］.［PhD thesis］.Xi′an：Northwestern Polytechnical University.2004.（in Chinese）夏露.飞行器外形气动、隐身综合优化设计方法研究［D］.［博士学位论文］.西安：西北工业大学，2004.

［9］HAO L R，et al.SPSS practicality statistic analysis［M］.Press of Water Conservancy and Water－electricity，China.（in Chinese）郝黎仁，等.SPSS实用统计分析［M］.中国水利水电出版社.

［10］RUAN G H，Cai J Q，Zhu Z H.Statistic analysis application tutorial［M］.Beijing：Press of Qinghua University，2003，7.（in Chinese）阮桂海，蔡建琼，朱志海.统计分析应用教程［M］.北京：清华大学出版社，2003，7.

［11］YANG Q，HU B.Using matrix to fifure random vector′s correlative degree［J］.JournalofWuhanUniversityofTechnology，2002，6：26－3.

［12］XUE W.Statistic analysis and apply of SPSS［M］.Press of People′s University of China，2001，11.（in Chinese）薛薇.统计分析与SPSS的应用［M］.中国人民大学出版社，2001，11.

［13］JI J Z.Statistic principle［M］.Press of Business of China，1997.（in Chinese）姬景周.统计学原理［M］.中国商业出版社，1997.

［14］FENG Q L，ZENG W Y.Fuzzy least absolute linear regression［J］.JournalofBeijingNormalUniversity（NaturalScience），2008，44（4）.（in Chinese）冯启磊，曾文艺.模糊最小一乘线性回归［J］.北京师范大学学报（自然科学版），2008，44（4）.

［15］SUN J，LU Z Z.Fuzzy linear regression and its applications in fuzzy reliability analysis［J］.JournalofNorthwesternPolytechnicalUniversity，2006，24（1）.（in Chinese）孙颉，吕震宙.模糊线性回归及其在模糊可靠性分析中的应用［J］.西北工业大学学报，2006，24（1）.

［16］RAYMOND M H，PRESTON A H.Wing design by numerical optimization［J］.JournalofAircraft，1978，15（7）：407－412.