函数的基本性质

赵攀峰

函数的基本性质包括函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等. 在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

函数的基本性质是函数知识的核心，是研究函数、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的“重头戏”. 如何利用函数性质是解题的难点与关键.

重点难点

1. 函数的单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）.

深化（单调性定义的等价形式）：设x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函数；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是减函数.

（2）单调区间：如果函数y=f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.

2. 函数的最值

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，称M是函数y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函数的奇偶性

（1）定义：若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数.

（2）性质：①f（x）为奇函数？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）为偶函数？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函数？圳f（x）的图象关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图象关于原点对称.

③奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

④在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.

⑤若奇函数f（x）的定义域中含有0，则必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件.

4. 函数的周期性

（1）定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数，其中T称作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期.

（2）性质：①f（x+T）=f（x）常写作fx+=fx-.

②若T是函数y=f（x）的周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常数，且a≠0），则f（x）是一个以2a为周期的周期函数.

方法突破

1. 单调性的证明方法

（1）定义法：如果对于函数f（x）的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上单调递增（单调递减）.

（2）导数法：在某个区间（a，b）内，如果f ′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f ′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.

2. 单调区间的求法及表示

单调区间的求法：定义法、导数法、图象法、复合函数法.

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以在求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结.

3. 函数奇偶性的判断

主要根据定义判断函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）. 该定义包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确、简洁地解决问题；②判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断关系式f（x）+f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数）是否成立.

函数的基本性质包括函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等. 在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

函数的基本性质是函数知识的核心，是研究函数、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的“重头戏”. 如何利用函数性质是解题的难点与关键.

重点难点

1. 函数的单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）.

深化（单调性定义的等价形式）：设x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函数；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是减函数.

（2）单调区间：如果函数y=f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.

2. 函数的最值

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，称M是函数y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函数的奇偶性

（1）定义：若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数.

（2）性质：①f（x）为奇函数？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）为偶函数？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函数？圳f（x）的图象关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图象关于原点对称.

③奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

④在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.

⑤若奇函数f（x）的定义域中含有0，则必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件.

4. 函数的周期性

（1）定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数，其中T称作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期.

（2）性质：①f（x+T）=f（x）常写作fx+=fx-.

②若T是函数y=f（x）的周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常数，且a≠0），则f（x）是一个以2a为周期的周期函数.

方法突破

1. 单调性的证明方法

（1）定义法：如果对于函数f（x）的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上单调递增（单调递减）.

（2）导数法：在某个区间（a，b）内，如果f ′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f ′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.

2. 单调区间的求法及表示

单调区间的求法：定义法、导数法、图象法、复合函数法.

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以在求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结.

3. 函数奇偶性的判断

主要根据定义判断函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）. 该定义包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确、简洁地解决问题；②判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断关系式f（x）+f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数）是否成立.

函数的基本性质包括函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等. 在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.

函数的基本性质是函数知识的核心，是研究函数、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的“重头戏”. 如何利用函数性质是解题的难点与关键.

重点难点

1. 函数的单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）.

深化（单调性定义的等价形式）：设x1，x2∈[a，b]，那么（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0？圳■>0？圳f（x）在[a，b]上是增函数；（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]<0？圳■<0？圳f（x）在[a，b]上是减函数.

（2）单调区间：如果函数y=f（x）在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.

2. 函数的最值

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；②存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么，称M是函数y=f（x）的最大值（最小值）.

3. 函数的奇偶性

（1）定义：若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数.

（2）性质：①f（x）为奇函数？圳f（-x）= -f（x）？圳f（-x）+f（x）=0；f（x）为偶函数？圳f（x）=f（-x）=f（x）？圳f（x）-f（-x）=0.

②f（x）是偶函数？圳f（x）的图象关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图象关于原点对称.

③奇函数在对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

④在公共定义域内：两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.

⑤若奇函数f（x）的定义域中含有0，则必有f（0）=0. 但要注意f（0）=0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件.

4. 函数的周期性

（1）定义：若存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x+T）=f（x），则称f（x）为周期函数，其中T称作f（x）的周期. 若所有的T值中存在一个最小的正数，则称它为f（x）的最小正周期.

（2）性质：①f（x+T）=f（x）常写作fx+=fx-.

②若T是函数y=f（x）的周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是y=f（x）的周期，即f（x+kT）=f（x）.

③若对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（x+a）=-f（x）或f（x+a）=或f（x+a）=-（a是常数，且a≠0），则f（x）是一个以2a为周期的周期函数.

方法突破

1. 单调性的证明方法

（1）定义法：如果对于函数f（x）的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f（x2）），那么就说f（x）在区间D上单调递增（单调递减）.

（2）导数法：在某个区间（a，b）内，如果f ′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f ′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.

2. 单调区间的求法及表示

单调区间的求法：定义法、导数法、图象法、复合函数法.

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以在求解函数的单调区间时，必须先求出函数的定义域. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结.

3. 函数奇偶性的判断

主要根据定义判断函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f（x）定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）. 该定义包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确、简洁地解决问题；②判断f（x）与f（-x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断关系式f（x）+f（-x）=0（奇函数）或f（x）-f（-x）=0（偶函数）是否成立.