查漏补缺之函数与导数

廖军

函数在高考中占有重要的地位，以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年高考命题的新趋势. 导数作为研究函数的工具，在高考的地位也不可小视. 因此，本文对函数与导数的知识作一梳理，希望对同学们有所帮助.

1. 函数的基本概念

（1）了解函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.

（3）了解简单的分段函数.

注意：（1）函数的值域和最值是函数考查中的重点. 常见的求函数值域和最值的方法有换元法、配方法、分离常数法、单调函数法、均值不等式法、几何法等.

（2）分段函数是指自变量在不同的范围内，其对应法则也不同的函数. 常常考查求函数值、求函数解析式、求反函数、求函数最值.

2. 函数的图象和性质

（1）理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的方法.

（2）了解函数的奇偶性，掌握奇、偶函数的性质.

（3）了解函数的周期性.

（4）掌握常见函数图象的基本作法，掌握函数图象的平移、对称、翻折和伸缩变换.

注意：（1）判断函数的单调性，常常有图象法、定义法、复合函数法、导数法，但如果是在解答题中证明或判断函数单调性时，则只能用定义法和导数法.

（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域关于原点是否对称.

（3）若函数f（x）是奇函数并且在x=0处有定义，则f（0）=0，这条性质切记.

（4）识记以下重要结论：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；②若函数在其定义域上存在反函数，则原函数和反函数在各自的定义域内具有相同的单调性；③函数f（x）的图象关于直线x=a对称？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函数f（x）的图象关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 几种常见的函数

（1）掌握二次函数、三次函数的图象和性质.

（2）掌握幂的运算，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（3）掌握对数的概念及其运算性质， 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.

（4）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 能够用二分法求相应方程的近似解（仅限新课程地区）.？摇

（5）能够熟练处理常见抽象函数的定义域、解析式、函数值和单调性等.

注意：（1）处理函数的有关问题，一定要形成“定义域优先”的原则.

（2）指数函数和对数函数是典型的超越函数，且互为反函数. 在实际试题中，往往是与指数函数或对数函数有关的复合函数，要注意复合函数的单调性判断规律，即“同增异减”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重点，要能利用二次函数图象来寻求充要条件，常常是抓端点值、对称轴和判别式.

（4）抽象函数的常见处理方法有特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、联想类比转化法等. 记住以下常见抽象函数模型所对应的具体函数，这对我们解题有帮助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 导数的运算

（1）理解导数的几何意义.

（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如y=f（ax+b）的复合函数）的导数.

注意：（1）利用导数的几何意义求切线斜率是高考的热点，那么如何求呢？先求出曲线y=f（x）在点P（x0， f（x0））处的切线斜率k=f ′（x0），再由点斜式得到切线方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），请注意在某点处的切线与过某点处的切线的求法有区别.

（2）求复合函数的导数请注意：要能正确拆分复合函数，即要明确该复合函数由哪些基本函数复合而成，适当选取中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导；求导时，应由外及里，逐层求导.

（3）导数的运算、函数与导数的应用交汇，以考查导数的应用（单调性、极值、最值、方程根的情况）为主，同时考查导数的计算.

5. 导数的应用

（1）了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

（3）会利用导数解决某些实际问题.

注意：（1）函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，则“f ′（x）>0”是“f（x）在区间上单调递增”的充分不必要条件，因为完全有可能出现f ′（x）=0的情况，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函数递减的情况类似）.

（2）求函数极值时，不能单凭f ′（x）=0就判断函数有极值，一定要检验f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符号，若左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；若左右同号，那么f（x）在这个根处无极值.

（3）导数经常与函数的单调性、不等式、方程根的分布、解析几何中的切线问题结合.endprint

函数在高考中占有重要的地位，以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年高考命题的新趋势. 导数作为研究函数的工具，在高考的地位也不可小视. 因此，本文对函数与导数的知识作一梳理，希望对同学们有所帮助.

1. 函数的基本概念

（1）了解函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.

（3）了解简单的分段函数.

注意：（1）函数的值域和最值是函数考查中的重点. 常见的求函数值域和最值的方法有换元法、配方法、分离常数法、单调函数法、均值不等式法、几何法等.

（2）分段函数是指自变量在不同的范围内，其对应法则也不同的函数. 常常考查求函数值、求函数解析式、求反函数、求函数最值.

2. 函数的图象和性质

（1）理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的方法.

（2）了解函数的奇偶性，掌握奇、偶函数的性质.

（3）了解函数的周期性.

（4）掌握常见函数图象的基本作法，掌握函数图象的平移、对称、翻折和伸缩变换.

注意：（1）判断函数的单调性，常常有图象法、定义法、复合函数法、导数法，但如果是在解答题中证明或判断函数单调性时，则只能用定义法和导数法.

（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域关于原点是否对称.

（3）若函数f（x）是奇函数并且在x=0处有定义，则f（0）=0，这条性质切记.

（4）识记以下重要结论：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；②若函数在其定义域上存在反函数，则原函数和反函数在各自的定义域内具有相同的单调性；③函数f（x）的图象关于直线x=a对称？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函数f（x）的图象关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 几种常见的函数

（1）掌握二次函数、三次函数的图象和性质.

（2）掌握幂的运算，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（3）掌握对数的概念及其运算性质， 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.

（4）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 能够用二分法求相应方程的近似解（仅限新课程地区）.？摇

（5）能够熟练处理常见抽象函数的定义域、解析式、函数值和单调性等.

注意：（1）处理函数的有关问题，一定要形成“定义域优先”的原则.

（2）指数函数和对数函数是典型的超越函数，且互为反函数. 在实际试题中，往往是与指数函数或对数函数有关的复合函数，要注意复合函数的单调性判断规律，即“同增异减”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重点，要能利用二次函数图象来寻求充要条件，常常是抓端点值、对称轴和判别式.

（4）抽象函数的常见处理方法有特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、联想类比转化法等. 记住以下常见抽象函数模型所对应的具体函数，这对我们解题有帮助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 导数的运算

（1）理解导数的几何意义.

（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如y=f（ax+b）的复合函数）的导数.

注意：（1）利用导数的几何意义求切线斜率是高考的热点，那么如何求呢？先求出曲线y=f（x）在点P（x0， f（x0））处的切线斜率k=f ′（x0），再由点斜式得到切线方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），请注意在某点处的切线与过某点处的切线的求法有区别.

（2）求复合函数的导数请注意：要能正确拆分复合函数，即要明确该复合函数由哪些基本函数复合而成，适当选取中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导；求导时，应由外及里，逐层求导.

（3）导数的运算、函数与导数的应用交汇，以考查导数的应用（单调性、极值、最值、方程根的情况）为主，同时考查导数的计算.

5. 导数的应用

（1）了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

（3）会利用导数解决某些实际问题.

注意：（1）函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，则“f ′（x）>0”是“f（x）在区间上单调递增”的充分不必要条件，因为完全有可能出现f ′（x）=0的情况，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函数递减的情况类似）.

（2）求函数极值时，不能单凭f ′（x）=0就判断函数有极值，一定要检验f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符号，若左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；若左右同号，那么f（x）在这个根处无极值.

（3）导数经常与函数的单调性、不等式、方程根的分布、解析几何中的切线问题结合.endprint

函数在高考中占有重要的地位，以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年高考命题的新趋势. 导数作为研究函数的工具，在高考的地位也不可小视. 因此，本文对函数与导数的知识作一梳理，希望对同学们有所帮助.

1. 函数的基本概念

（1）了解函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数.

（3）了解简单的分段函数.

注意：（1）函数的值域和最值是函数考查中的重点. 常见的求函数值域和最值的方法有换元法、配方法、分离常数法、单调函数法、均值不等式法、几何法等.

（2）分段函数是指自变量在不同的范围内，其对应法则也不同的函数. 常常考查求函数值、求函数解析式、求反函数、求函数最值.

2. 函数的图象和性质

（1）理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的方法.

（2）了解函数的奇偶性，掌握奇、偶函数的性质.

（3）了解函数的周期性.

（4）掌握常见函数图象的基本作法，掌握函数图象的平移、对称、翻折和伸缩变换.

注意：（1）判断函数的单调性，常常有图象法、定义法、复合函数法、导数法，但如果是在解答题中证明或判断函数单调性时，则只能用定义法和导数法.

（2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域关于原点是否对称.

（3）若函数f（x）是奇函数并且在x=0处有定义，则f（0）=0，这条性质切记.

（4）识记以下重要结论：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；②若函数在其定义域上存在反函数，则原函数和反函数在各自的定义域内具有相同的单调性；③函数f（x）的图象关于直线x=a对称？圳f（a+x）=f（a-x）？圳f（2a-x）= f（x）；④函数f（x）的图象关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b？圳f（2a-x）+f（x）=2b.

3. 几种常见的函数

（1）掌握二次函数、三次函数的图象和性质.

（2）掌握幂的运算，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

（3）掌握对数的概念及其运算性质， 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点.

（4）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 能够用二分法求相应方程的近似解（仅限新课程地区）.？摇

（5）能够熟练处理常见抽象函数的定义域、解析式、函数值和单调性等.

注意：（1）处理函数的有关问题，一定要形成“定义域优先”的原则.

（2）指数函数和对数函数是典型的超越函数，且互为反函数. 在实际试题中，往往是与指数函数或对数函数有关的复合函数，要注意复合函数的单调性判断规律，即“同增异减”.

（3）一元二次方程的根的分布是考查的重点，要能利用二次函数图象来寻求充要条件，常常是抓端点值、对称轴和判别式.

（4）抽象函数的常见处理方法有特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、联想类比转化法等. 记住以下常见抽象函数模型所对应的具体函数，这对我们解题有帮助.

①f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=kx（k≠0）.

②f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）？坩f（x）=ax（a>0，a≠1）.

③f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）？坩f（x）=logax（a>0，a≠1）.

4. 导数的运算

（1）理解导数的几何意义.

（2）能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如y=f（ax+b）的复合函数）的导数.

注意：（1）利用导数的几何意义求切线斜率是高考的热点，那么如何求呢？先求出曲线y=f（x）在点P（x0， f（x0））处的切线斜率k=f ′（x0），再由点斜式得到切线方程y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0），请注意在某点处的切线与过某点处的切线的求法有区别.

（2）求复合函数的导数请注意：要能正确拆分复合函数，即要明确该复合函数由哪些基本函数复合而成，适当选取中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导；求导时，应由外及里，逐层求导.

（3）导数的运算、函数与导数的应用交汇，以考查导数的应用（单调性、极值、最值、方程根的情况）为主，同时考查导数的计算.

5. 导数的应用

（1）了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

（3）会利用导数解决某些实际问题.

注意：（1）函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，则“f ′（x）>0”是“f（x）在区间上单调递增”的充分不必要条件，因为完全有可能出现f ′（x）=0的情况，如f（x）=x3， f ′（x）=3x2≥0（函数递减的情况类似）.

（2）求函数极值时，不能单凭f ′（x）=0就判断函数有极值，一定要检验f ′（x）在方程f ′（x）=0的根左、右的值的符号，若左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；若左右同号，那么f（x）在这个根处无极值.

（3）导数经常与函数的单调性、不等式、方程根的分布、解析几何中的切线问题结合.endprint