函数的概念及其表示

周喻鸣

函数是整个高中数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占有相当大的比例. 从近几年的高考试题来看，对本部分内容的考查，稳中求变，向着更灵活的方向发展. 对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用问题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果.

重点难点

本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.

重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.

难点：函数的概念，求函数的解析式.

方法突破

1. 理解映射的概念，应注意以下几点

（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.

（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.

（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

2. 理解函数的概念，应注意以下几点

（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.

（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.

3. 求函数定义域的基本思路

如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：

（1）分母不能为0.

（2）对数的真数必须为正.

（3）偶次根式中被开方数应为非负数.

（4）零指数幂中，底数不等于0.

（5）负分数指数幂中，底数应大于0.

（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.

如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.

注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.

4. 求函数解析式的基本策略

函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.

（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.

（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.

（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.

（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.endprint

函数是整个高中数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占有相当大的比例. 从近几年的高考试题来看，对本部分内容的考查，稳中求变，向着更灵活的方向发展. 对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用问题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果.

重点难点

本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.

重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.

难点：函数的概念，求函数的解析式.

方法突破

1. 理解映射的概念，应注意以下几点

（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.

（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.

（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

2. 理解函数的概念，应注意以下几点

（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.

（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.

3. 求函数定义域的基本思路

如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：

（1）分母不能为0.

（2）对数的真数必须为正.

（3）偶次根式中被开方数应为非负数.

（4）零指数幂中，底数不等于0.

（5）负分数指数幂中，底数应大于0.

（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.

如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.

注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.

4. 求函数解析式的基本策略

函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.

（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.

（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.

（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.

（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.endprint

函数是整个高中数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占有相当大的比例. 从近几年的高考试题来看，对本部分内容的考查，稳中求变，向着更灵活的方向发展. 对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用问题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果.

重点难点

本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.

重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.

难点：函数的概念，求函数的解析式.

方法突破

1. 理解映射的概念，应注意以下几点

（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.

（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.

（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.

（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.

（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.

2. 理解函数的概念，应注意以下几点

（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.

（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.

3. 求函数定义域的基本思路

如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：

（1）分母不能为0.

（2）对数的真数必须为正.

（3）偶次根式中被开方数应为非负数.

（4）零指数幂中，底数不等于0.

（5）负分数指数幂中，底数应大于0.

（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.

如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.

注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.

4. 求函数解析式的基本策略

函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.

（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.

（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.

（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.

（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.

（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.endprint