一类不确定切换模糊时滞系统的可靠控制

吴金男,张 乐

一类不确定切换模糊时滞系统的可靠控制

吴金男,张 乐

(沈阳大学信息工程学院,辽宁沈阳 110004)

研究了一类不确定切换模糊时滞系统的可靠控制问题.当执行器“严重失效”而未失效部分不能镇定原系统时,采用多Lyapunov函数方法构造状态反馈可靠控制器,使得闭环系统对于所有允许的执行器失效,在所设计的状态反馈可靠控制器下是渐近稳定的,并以线性矩阵不等式形式给出了使闭环系统渐近稳定的条件.最后,通过仿真结果验证了结论的正确性.

切换系统;模糊系统;执行器失效;可靠控制;多Lyapunov函数

切换系统作为一类重要的混杂系统,有着十分广泛的应用背景和重要的理论研究价值,近年来,在这方面的研究取得了丰硕成果[13].同时,模糊系统[46]的理论和方法研究受到了广泛重视.T S模型是模糊系统中最为有效的系统模型之一,基于此模型的系统稳定性分析及可靠控制问题研究取得了丰硕成果[710].文献[11]针对一类具有输入及输出端扰动的TS模糊系统,在线性矩阵不等式区域内定义了非线性系统的稳态及动态广义性能指标,采用多Lyapunov函数方法,提出了基于LMI的鲁棒可靠输出反馈控制器的设计,从而保证闭环系统在传感器或执行器发生结构性故障时的稳态及动态性能.文献[12]讨论了一类Lipschitz时滞非线性广义系统的H∞可靠跟踪控制问题,采用多Lyapunov函数方法,给出了可靠控制器存在的充分条件,使得闭环系统正则无脉冲并且指数稳定,并利用线性矩阵不等式技巧给出了可靠控制器的设计方法.

若一个系统用模糊系统方法进行建模,即描述为一个模糊系统,同时系统中含有离散动态,如离散切换信号,则这类系统就称为切换模糊系统[13].文献[14]针对状态不可测的切换模糊系统,提出了一类切换模糊控制系统的输出反馈控制问题.根据切换技术和常用的平行分布补偿控制器设计方法,给出了切换模糊观测器和切换模糊控制器的设计,采用Lyapunov函数方法,研究了使闭环输出反馈控制系统渐近稳定的充分条件,但并未考虑闭环系统存在时滞情况下系统的稳定性控制问题.文献[15]针对TS切换模糊系统,采用多Lyapunov函数方法,考虑了在不确定性和时滞存在的情况下系统的状态反馈控制问题,并给出了使系统渐近稳定的矩阵不等式条件以及切换律设计,但并未考虑到执行器“严重失效”对系统的稳定性以及可靠性的影响,会造成控制系统的预期目标不理想.

1 问题描述

考虑如下连续T S模糊模型描述的子系统全是模糊时滞系统的切换系统:

式中,Riσ代表第i条模糊规则;ξ=(ξ1,ξ2,…,ξp)是模糊前件变量;Miσp是模糊集合;Niσ是模糊规则数,分段常值函数σ∈M={1,2,…,m}表示切换信号;x(t)∈Rn是状态变量;uσ(t)∈Rm是系统的控制输入;h表示时滞时间;Aq,Ahσi,Bq是已知的适当维数的常数矩阵.

可以得到如下第r个子模糊系统的全局模型

式中, :

式中,Mi

rj(ξj(t))表示ξj(t)属于模糊集Mirj的隶属度;ΔAr为系统中的不确定矩阵,具有如下结构:

式中,Mri,Eri是具有适当维数的常数矩阵;Fri(t)是未知函数矩阵,并且满足FTri(t)Fri(t)≤I.

对于系统(2),可以得到如下切换模糊系统:

其中,将Bri所对应的Θri,以及的列元素取0,即可得到BΘri,.由式(7)可知

2 主要结果

下面针对不确定切换模糊时滞系统进行稳定性分析及可靠控制问题的研究,并利用多Lyapunov函数方法,给出使不确定切换模糊时滞系统(6)渐近稳定的充分条件,并以线性矩阵不等式的形式给出.

引理 给定适当维数的常数值矩阵D,M,E, F(t),函数矩阵F(t)满足不等式FT(t)F(t)≤I,则如下结果成立:

假设 假设Ahri为时间摄动矩阵,满足

式中,h为时滞常数.

定理1 假设存在同时非负或同时非正的实数βrλ,以及正定矩阵Pr和一组正数∂rj,0＜ε1r＜1,使得

成立,则存在状态反馈可靠控制器

和控制器增益参数

以及切换律σ(x(t))∈M={1,2,…,m},使得不确定切换模糊系统(6)渐近稳定.

证明 不失一般性,设βrλ≥0,当式(9)成立时,可得到如下结论:

当xT(t)(Pλ-Pr)x(t)≥0(∀x(t)≠0,r,λ∈)时,则有

取Lyapunov函数:

式中,Pr为满足式(9)的正定对称矩阵.

根据引理及假设,可得

根据定理1中的0＜ε1r＜1,可得

将式(5)、式(10)、式(11)代入式(15),可得

根据引理,可得

由上述结论可得˙Vr(x(t))＜0(∀x(t)≠0).

当βrλ≤0时,同理可证.

综上所述,在所设计的状态反馈可靠控制器(10)以及控制器增益参数(11)下,不确定切换模糊系统(6)渐近稳定.

闭环不确定切换模糊时滞系统(6)在原点渐近稳定.

目前,许多控制系统分析设计问题以及特殊约束条件都可转化为一组线性矩阵不等式的可行性问题来处理,给应用带来了极大的方便.近年来,线性矩阵不等式被大量地应用在解决系统与控制中的一些问题,并随着MATLAB中LMI工具箱的推出,受到越来越多的关注.但由于式(9)为非二次型,不能够使用LMI工具箱进行求解,需要通过一些数学方法将定理1中的稳定性条件转换为求解线性矩阵不等式问题.这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之一.

控制理论研究中经常遇到二次矩阵不等式,通过Schur引理,将式(17)转化为线性矩阵不等式,可以得到如下定理:

定理2 假设存在同时非负或同时非正的实数βrλ,以及正定矩阵Pr和一组正数∂rj,0＜ε1r＜1,使得

成立,则存在状态反馈可靠控制器(10)和控制器增益参数(11),以及切换律σ(x(t))∈M={1, 2,…,m},使得不确定切换模糊系统(6)渐近稳定.

证明 根据式(17),可得

将式(19)分别左乘、右乘对角矩阵diag[Pr-1I I],可得

所以

3 仿真结果

考虑如下不确定切换模糊系统: R11:若ξ1=M111,则

R12:若ξ2=M121,则

R22:若ξ2=M221,则

其中

R21:若ξ1=M211,则

,

选取隶属度函数,分别为

取参数∂11=∂12=∂21=∂22=0.5,解LMI(18),可得如下正定矩阵:

令

则Ω1∪Ω2=Rn{0}.给出如下切换律的设计:

选取初始点x(0)=[-3,1]T,时滞时间为t=3 s,利用MATLAB软件进行仿真,系统的状态响应曲线如图1所示.

图1 系统的状态响应曲线Fig.1 State response curve of the system

由图1可以看出,当执行器“严重失效”时,采用定理1或定理2中的充分稳定条件,可使不确定切换模糊时滞系统在所设计的控制器下是渐近稳定的,并取得了良好的控制效果.验证了结论的有效性和正确性.

4 结 语

本文研究了一类不确定切换模糊时滞系统的可靠状态反馈控制的设计问题,采用多Lyapunov函数方法,设计了可靠状态反馈控制器,并给出了使闭环系统在任意切换律下渐近稳定的充分条件,并以LMI形式给出.最后,通过数值仿真实例,验证了该设计方法的正确性.

[1] 董学平,温锐,刘红亮.一类时滞分布参数切换系统的鲁棒容错控制[J].控制与决策,2012,27(2):332336. (Dong Xueping,Wen Rui,Liu Hongliang.Robust Faulttolerant Control for a Class of Distibuted Parameter Switched System with Time-delay[J].Control and Decision,2012,27(2):332336.)

[2]Fan G W,Liu Z Y,Chen H.Feedback Control of Discrete Linear Switching Systems with Bounded State and Control Input in the Presence of Disturbances[J].Automatica, 2010,36(8):11151121.

[3]李莉莉,邵诚.一类Lipschitz非线性切换系统基于观测器的H∞输出跟踪控制[J].控制与决策,2012,27(2):304307. (Li Lili,Shao Cheng.Observer-based H∞Output Tracking Control for a Class of Switched Lipschitz Nonlinear Systems[J].Control and Decision,2012,27 (2):304307.)

[4]Li P,Jin F J.Adaptive Fuzzy Control for Unknown Nonlinear Systems with Perturbed Dead-zone Inputs[J]. Automatica,2010,36(4):573579.

[5] 张乐,井元伟.基于非脆弱控制器设计的不确定模糊系统稳定性研究[J].控制与决策,2007,22(3):329332. (Zhang Le,Jing Yuanwei.Stability of a Class of Uncertain Fuzzy Systems Based on Non-fragile Controller Design [J].Control and Decision,2007,22(3):329332.)

[6]Yang D D,Zhang H G.Robust H∞Networked Control for Uncertain Fuzzy Systems with Time-delay[J]. Automatica,2007,33(7):726730.

[7]Feng J,Wang S Q.Reliable Fuzzy Control for a Class of Nonlinear Networked Control Systems with Time Delay [J].Automatica,2012,38(7):10911099.

[8] 杨红,陶冠男,牛盾,等.基于观测器的一类不确定切换模糊系统的鲁棒控制[J].沈阳大学学报:自然科学版, 2013,25(3):226230. (Yang Hong,Tao Guannan,Niu Dun,et al.Robust Controller for a Class of Switched Fuzzy Systems Based on Observer[J].Journal of Shenyang University:Natural Science,2013,25(3):226230.)

[9] 张乐,杨红,井元伟.一类不确定切换模糊系统的鲁棒可靠自适应控制[J].东北大学学报:自然科学版,2008,29 (9):12281231. (Zhang Le,Yang Hong,Jing Yuanwei.Robust and Reliable Adaptive Control of a Class of Uncertain Switched Fuzzy Systems[J].Journal of Northeastern University: Natural Science,2008,29(9):1228 1231.)

[10] 汪锐,刘建昌,赵军.一类线性不确定切换时滞系统的可靠保成本控制[J].控制理论与应用,2006,23(6):10011004. (Wang Rui,Liu Jianchang,Zhao Jun.Reliable Guaranteed-cost Control for a Class of Uncertain Switched Linear Systems with Time-delay[J].Control Theory& Applications,2006,23(6):10011004.)

[11] 陶洪峰,胡寿松.广义性能指标下TS模糊系统的鲁棒可靠控制[J].控制理论与应用,2010,27(5):589596. (Tao Hongfeng,Hu Shousong.Robust Reliable Control of T-S Fuzzy Systems under the Generalized Performance Indexes[J].Control Theory&Applications,2010,27 (5):589596.)

[12] 任洁,陆国平,张小美.一类时滞广义非线性系统H∞可靠跟踪控制[J].控制理论与应用,2010,27(11):15431550. (Ren Jie,Lu Guoping,Zhang Xiaomei.Reliable H-infinity Tracking Control for a Class of Time-delay Nonlinear Singular Systems[J].Control Theory&Applications, 2010,27(11):15431550.)

[13]Yang Hong,Zhang Le,Liu Xiaodong.Robust Tracking Control for Switched Fuzzy Systems with Fast Switching Controller[J].Mathematical Problems in Engineering, 2012,2012(11):121.

[14]刘毅,赵军.基于输出反馈的切换模糊控制设计[J].东北大学学报:自然科学版,2008,29(1):9 12. (Liu Yi,Zhao Jun.Output Feedback Based Design of Switching Fuzzy Control[J].Journal of Northeastern University:Natural Science,2008,29(1):912.)

[15] 刘毅,赵军.一类不确定切换模糊时滞系统的鲁棒控制[J].控制工程,2010,17(5):618620. (Liu Yi,Zhao Jun.Robust Control for a Class of Uncertain Switched Fuzzy Time-delay Systems[J]. Control Engineering of China,2010,17(5):618620.)

【责任编辑:王 颖】

Reliable Control for a Class of Uncertain Switched Fuzzy Time-delay Systems

Wu Jinnan,Zhang Le
(School of Information Engineering,Shenyang University,Shenyang 110004,China)

The reliable control of a class of uncertain switched fuzzy time-delay systems is presented. When the actuator is serious failure and the residual part of actuator cannot make original system stable,state feedback reliable controller is built by using multiple Lyapunov function method.Closedloop system is asymptotic stability under the switched state feedback controller.The asymptotic stability conditions of closed-loop system is given in terms of linear matrix inequality.Finally,a numerical example illustrates the effectiveness of the proposed approach.

switched systems;fuzzy systems;actuators failure;reliable control;multiple Lyapunov function

2095-5456(2014)01-0055-06

TP 273

A

2013 09 23

国家自然科学基金资助项目(61004039);辽宁省教育厅基金资助项目(L2010374).

吴金男(1988),女,辽宁沈阳人,沈阳大学硕士研究生.