微分方程在流行病学方面的运用
2014-11-04蒋长安
摘 要：确定性模型是流行病数学模型中最基本、最重要的模型之一，对确定性模型中的两个分支模型进行初步探讨，旨在介绍微分方程在流行病学中的简单运用。
关键词：微分方程；流行病；运用
流行病的数学模型通常是描述疾病在其传播过程中各种重要因素之间相互关系的数学方程，一般说来可分为“确定性模型”和“随机性模型”，本文只探讨“确定性模型”。
确定性模型的特点是在疾病流行过程中的每一时刻，发生的新病例数均为确定的数值，而且当模型的初值一经给定，整个流行过程的发展及结局就被确定。为了建立模型通常将人群分为感染类（即已被疾病感染的人群）、易感染类（即尚未被疾病感染的人群）及移除类（即患病死亡，痊愈或隔离的人群）等类别。在疾病传播过程中，人群中的每个成员都会改变其流行病学状态和类别，比如，一个易感染者受感染后变为感染者，或一个感染者因死亡或隔离转入移除类。但是在确定的时刻，各个类别是互不相交的，即每个成员都归属于确定的一个类别，不能同时属于两类或更多的类。
一、无移除的简单模型
无移除的模型是最简单的流行病学模型，这种模型假定疾病是通过人群内成员之间接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，故所有的易感染者最终都将变为感染者。这种模型适用于有高度的传染力，但尚未发展到死亡或需要隔离的疾病，如，某种上呼吸道感染。
为了建立这类流行病数学模型，我们对人群及流行病学状态作如下假设：
1.在时刻t的易感染人数和感染人数分别为S和I；
2.人群是封闭的总人数为N，在这N个人中开始时只有一个感染者；
3.人群中各成员之间接触是均匀的，易感染者转为感染者的变化率与当时易感染人数与感染人数的乘积成正比。
二、催化模型
上世纪50年代，科学家Muench将在化学反应体系中的催化作用机理的思想应用于流行病学领域，提出了一组流行病学催化模型。而且已被应用于沙眼，乙型肝炎及血吸虫病等流行病的描述。借以定量估计某种疾病在某一地区的“传染力”，评价防治效果，以及检验疾病分布和流行特点的某些假设。
Muench的催化模型作如下假设：
1.在开始时（t=0），被研究的人群全为易感染者；
2.某病在该人群中的感染力（又称传染力）是恒定的。传染力与环境、生物、社会及经济诸方面的因素有关，它可用单位人口在单位时间（通常为一年）内的有效接触数来衡量，而所谓有效接触系指足以使易感染者发生感染的接触；
3.感染某病后，可对在时间t被感染的比率y作出估计；
4.被研究的人群中，发生流动、死亡等因素可忽略不计。
下面介绍两种催化模型：
（1）简单催化模型
设开始时（t=0），人群中易感染者的总量为1，经过时间t，感染的比率为y，则1-y为未感染的相对量。如果在单位时间内每一个个体的有效接触率为r，而且易感染者（阴性者）以恒定的传染力r转变为感染者（阳性者）后，感染不再转变为阴性，即以如下形式表示：阴性 在初始条件t=0，y=0时，解得y=1-e- r t
（2）可逆催化模型
在流行病学中，有时会遇到这种情况，一方面，人群以传染力 转变为感染者或免疫者，临床症状为阳性；另一方面，免疫者或阳性者又以率b转变为易感染者（或阴性者），并且他们又以率a转为阳性者。
参考文献：
[1]F.S.梅里特.工程技术常用数学.北京：科学技术出版社，1976.
[2]北大数力系.常微分方程与无穷级数.北京：人民教育出版社，1978.
[3]邹国源.微分方程的应用举例：导弹打飞机.高等数学研究，1997（02）.
作者简介：蒋长安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：医用数学。
摘 要：确定性模型是流行病数学模型中最基本、最重要的模型之一，对确定性模型中的两个分支模型进行初步探讨，旨在介绍微分方程在流行病学中的简单运用。
关键词：微分方程；流行病；运用
流行病的数学模型通常是描述疾病在其传播过程中各种重要因素之间相互关系的数学方程，一般说来可分为“确定性模型”和“随机性模型”，本文只探讨“确定性模型”。
确定性模型的特点是在疾病流行过程中的每一时刻，发生的新病例数均为确定的数值，而且当模型的初值一经给定，整个流行过程的发展及结局就被确定。为了建立模型通常将人群分为感染类（即已被疾病感染的人群）、易感染类（即尚未被疾病感染的人群）及移除类（即患病死亡，痊愈或隔离的人群）等类别。在疾病传播过程中，人群中的每个成员都会改变其流行病学状态和类别，比如，一个易感染者受感染后变为感染者，或一个感染者因死亡或隔离转入移除类。但是在确定的时刻，各个类别是互不相交的，即每个成员都归属于确定的一个类别，不能同时属于两类或更多的类。
一、无移除的简单模型
无移除的模型是最简单的流行病学模型，这种模型假定疾病是通过人群内成员之间接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，故所有的易感染者最终都将变为感染者。这种模型适用于有高度的传染力，但尚未发展到死亡或需要隔离的疾病，如，某种上呼吸道感染。
为了建立这类流行病数学模型，我们对人群及流行病学状态作如下假设：
1.在时刻t的易感染人数和感染人数分别为S和I；
2.人群是封闭的总人数为N，在这N个人中开始时只有一个感染者；
3.人群中各成员之间接触是均匀的，易感染者转为感染者的变化率与当时易感染人数与感染人数的乘积成正比。
二、催化模型
上世纪50年代，科学家Muench将在化学反应体系中的催化作用机理的思想应用于流行病学领域，提出了一组流行病学催化模型。而且已被应用于沙眼，乙型肝炎及血吸虫病等流行病的描述。借以定量估计某种疾病在某一地区的“传染力”，评价防治效果，以及检验疾病分布和流行特点的某些假设。
Muench的催化模型作如下假设：
1.在开始时（t=0），被研究的人群全为易感染者；
2.某病在该人群中的感染力（又称传染力）是恒定的。传染力与环境、生物、社会及经济诸方面的因素有关，它可用单位人口在单位时间（通常为一年）内的有效接触数来衡量，而所谓有效接触系指足以使易感染者发生感染的接触；
3.感染某病后，可对在时间t被感染的比率y作出估计；
4.被研究的人群中，发生流动、死亡等因素可忽略不计。
下面介绍两种催化模型：
（1）简单催化模型
设开始时（t=0），人群中易感染者的总量为1，经过时间t，感染的比率为y，则1-y为未感染的相对量。如果在单位时间内每一个个体的有效接触率为r，而且易感染者（阴性者）以恒定的传染力r转变为感染者（阳性者）后，感染不再转变为阴性，即以如下形式表示：阴性 在初始条件t=0，y=0时，解得y=1-e- r t
（2）可逆催化模型
在流行病学中，有时会遇到这种情况，一方面，人群以传染力 转变为感染者或免疫者，临床症状为阳性；另一方面，免疫者或阳性者又以率b转变为易感染者（或阴性者），并且他们又以率a转为阳性者。
参考文献：
[1]F.S.梅里特.工程技术常用数学.北京：科学技术出版社，1976.
[2]北大数力系.常微分方程与无穷级数.北京：人民教育出版社，1978.
[3]邹国源.微分方程的应用举例：导弹打飞机.高等数学研究，1997（02）.
作者简介：蒋长安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：医用数学。
摘 要：确定性模型是流行病数学模型中最基本、最重要的模型之一，对确定性模型中的两个分支模型进行初步探讨，旨在介绍微分方程在流行病学中的简单运用。
关键词：微分方程；流行病；运用
流行病的数学模型通常是描述疾病在其传播过程中各种重要因素之间相互关系的数学方程，一般说来可分为“确定性模型”和“随机性模型”，本文只探讨“确定性模型”。
确定性模型的特点是在疾病流行过程中的每一时刻，发生的新病例数均为确定的数值，而且当模型的初值一经给定，整个流行过程的发展及结局就被确定。为了建立模型通常将人群分为感染类（即已被疾病感染的人群）、易感染类（即尚未被疾病感染的人群）及移除类（即患病死亡，痊愈或隔离的人群）等类别。在疾病传播过程中，人群中的每个成员都会改变其流行病学状态和类别，比如，一个易感染者受感染后变为感染者，或一个感染者因死亡或隔离转入移除类。但是在确定的时刻，各个类别是互不相交的，即每个成员都归属于确定的一个类别，不能同时属于两类或更多的类。
一、无移除的简单模型
无移除的模型是最简单的流行病学模型，这种模型假定疾病是通过人群内成员之间接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，故所有的易感染者最终都将变为感染者。这种模型适用于有高度的传染力，但尚未发展到死亡或需要隔离的疾病，如，某种上呼吸道感染。
为了建立这类流行病数学模型，我们对人群及流行病学状态作如下假设：
1.在时刻t的易感染人数和感染人数分别为S和I；
2.人群是封闭的总人数为N，在这N个人中开始时只有一个感染者；
3.人群中各成员之间接触是均匀的，易感染者转为感染者的变化率与当时易感染人数与感染人数的乘积成正比。
二、催化模型
上世纪50年代，科学家Muench将在化学反应体系中的催化作用机理的思想应用于流行病学领域，提出了一组流行病学催化模型。而且已被应用于沙眼，乙型肝炎及血吸虫病等流行病的描述。借以定量估计某种疾病在某一地区的“传染力”，评价防治效果，以及检验疾病分布和流行特点的某些假设。
Muench的催化模型作如下假设：
1.在开始时（t=0），被研究的人群全为易感染者；
2.某病在该人群中的感染力（又称传染力）是恒定的。传染力与环境、生物、社会及经济诸方面的因素有关，它可用单位人口在单位时间（通常为一年）内的有效接触数来衡量，而所谓有效接触系指足以使易感染者发生感染的接触；
3.感染某病后，可对在时间t被感染的比率y作出估计；
4.被研究的人群中，发生流动、死亡等因素可忽略不计。
下面介绍两种催化模型：
（1）简单催化模型
设开始时（t=0），人群中易感染者的总量为1，经过时间t，感染的比率为y，则1-y为未感染的相对量。如果在单位时间内每一个个体的有效接触率为r，而且易感染者（阴性者）以恒定的传染力r转变为感染者（阳性者）后，感染不再转变为阴性，即以如下形式表示：阴性 在初始条件t=0，y=0时，解得y=1-e- r t
（2）可逆催化模型
在流行病学中，有时会遇到这种情况，一方面，人群以传染力 转变为感染者或免疫者，临床症状为阳性；另一方面，免疫者或阳性者又以率b转变为易感染者（或阴性者），并且他们又以率a转为阳性者。
参考文献：
[1]F.S.梅里特.工程技术常用数学.北京：科学技术出版社，1976.
[2]北大数力系.常微分方程与无穷级数.北京：人民教育出版社，1978.
[3]邹国源.微分方程的应用举例：导弹打飞机.高等数学研究，1997（02）.
作者简介：蒋长安，男，1954年12月出生，本科，研究方向：医用数学。
