一种基于小波分析的阈值去噪算法

曹亚君 陈树宁

摘 要：利用信号和噪声在小波变换中不同尺度上具有不同的特性，提出了基于小波变换的去噪方法。经过小波变换后的信号，在其小波系数中包含了实际信号的重要信息特征，表现为幅值较大的小波系数，而噪声产生的小波系数幅值较小。通过在不同尺度上选取适当的阈值，对大于和小于该阈值的小波系数进行相应的处理，以得到去噪后的信号。

关键词：小波变换；阈值；算法

图像是人类传递信息的主要媒介。图像以其信息量大，传输速度快，作用距离远等一系列优点成为人类获取信息的重要来源和利用信息的重要手段[1]。由于图像在获取和传输的过程中会受到各种噪声的干扰，对信号的处理、传输和存储造成极大的影响，噪声的去除就显得尤为重要。传统的图像去噪主要是在空域或频域的局部内进行的。如通过各种滤波器对图像去噪的顺序统计滤波器、均值滤波器、Wiener滤波器等，以及基于傅里叶变换的去噪方法。但是这些方法对图像信号的处理要么完全在空间域，要么完全在频率域，而对图像信号来说它的频率特征往往随着空间位置的变化而变化，因此小波理论正好解决了这个问题[2]。目前，基于小波分析的图像去噪技术已成为图像去噪的一个重要方法。

1 阈值去噪原理

小波阈值去噪的具体处理过程是：在不同尺度上对含有噪声的信号进行小波分解，保留最大尺度上（低分辨率下）的全部小波系数，对于其他尺度上的高频小波系数，通过设定一个阈值，将幅值小于该阈值的小波系数置零，而把幅值大于该阈值的小波系数予以保留，或者做相应的“收缩”处理[3]。最后将经过阈值处理后所得到的小波系数利用小波逆变换进行重构，以恢复出原始信号。设观测信号如下：

f（k）=s（k）+n（k） （1）

其中s（k）为原始信号，n（k）是方差为σ2的高斯白噪声，且服从N（0，σ2）。对上式进行离散小波变换，其中变换后的小波系数Wf（j，k）简记为Wj，k，由小波变换的线性性质可知，Wj，k由两部分组成，一部分为原始信号s（k）的小波系数简记为uj，k，另一部分为噪声的小波系数简记为vj，k[4]。

小波閾值去噪算法的基本步骤为：

⑴对含有噪声的信号f（k）进行小波变换，得到变换后的小波系数Wj，k；⑵对小波系数进行阈值处理，选择合理的阈值处理策略，对Wj，k进行估计，得到估计出来的小波系数 ，使 尽可能小；（3）利用处理后的系数 对原始信号f（k）进行重构，得到的 即为去除噪声之后的信号。

利用小波阈值法进行去噪，在最大程度抑制噪声的同时，也能够很好的保留信号的细节特征，因而具有较好的去噪效果。相关研究己经证明了软阈值去噪产生的估计信号是光滑的，而硬阈值方法则可以在均方误差意义上得到对原始信号的近似最优估计。小波阈值法去噪的关键是如何选取最优的阈值函数和阈值。

2 阈值函数的选取

由于选取的阈值函数不一样，就会产生对小波域中大于和小于阈值的小波系数使用不同的方法策略。对常用的几种阈值函数阐述各个阈值函数的特点，并详细分析它们在去噪时的性能[5]。（下面各式中λ表示所选取的阈值）

硬阈值函数：

软阈值函数：

由上图可知，硬阈值函数对分解后的小波系数进行处理时，将保留绝对值大于阈值λ的小波系数，而对于绝对值小于阈值λ的小波系数则置为零。而软阈值函数对小波系数的处理策略是将绝对值大于阈值λ的小波系数向原点方向收缩一个固定值λ，对于绝对值小于阈值λ的小波系数与硬阈值函数作相同的处理。两种阈值函数的区别在于：硬阈值函数在均方误差意义上优于软阈值函数，对图像的边缘和细节信息的特征可以很好的保留，然而它在λ处不连续，这就会使得重构后的图像会产生伪吉布斯现象，即图像的不连续点周围会产生振荡图像的视觉失真。经过软阈值处理的图像会相对平滑，软阈值函数的处理策略保证在阈值λ处是连续的，从而导致重构后的图像与原图像的误差程度。如果 ，则真实值和估计值就会有恒定的偏差，这样重构后的图像可能会使边缘和细节信息产生模糊，而且软阈值处理后的图像在均方误差意义上比硬阈值要大。

A.G.Bruce分析了软、硬阈值方法分别在高斯噪声条件下的偏差、方差以及L2风险公式，所得出的结论如下：

⑴给定阈值λ，软阈值总比硬阈值方法造成的方差小。

⑵当系数充分大时，软阈值比硬阈值方法的方差造成的偏差大。

⑶当小波系数在阈值λ的很小邻域内时，硬阈值方法有较大的偏差、方差及L2风险；两种方法在小波系数较小时，造成的L2风险都很小。

为了克服硬阈值和软阈值函数在去噪处理中的缺点，Gao等提出了一种半软阈值函数，其对阈值的处理策略如下面表达式：

上式中λ1和λ2分别为下阈值和上阈值，λ1的选取与信号的特征有关，当信号有较多的细节时，可将其取为较小的值，以保留信号细节；当信号细节较少时，可取为较大的值，以更大程度的去除噪声[6]。由上式还可以得出，当λ2→∞时，即为软阈值的形式，当λ1=λ2时，可转化为硬阈值形式，因此该方法是一种软硬折衷的方法，既有连续性又能保留较大的小波系数。然而由于该方法中要确定两个阈值，故算法的复杂度较大。

基于以上几个阈值函数在图像处理中存在的问题，在后续的阈值函数研究中，一些学者在文献中又提出了如下的阈值函数，以改进图像去噪后的效果。

模平方处理方法：

容易验证，当 时，有

因此可知，由公式（5）估计出来的小波系数 的值是介于软、硬阈值方法之间的，当 时， 的表达式为非线性函数，并且随着 不断增大， 与Wj，k的差值越来越小。

半软、硬闽值函数：

上式为软、硬折衷阈值方法估计小波系数的表达式，其中β为调整因子，适当调整其大小可以获得较好的去噪效果。当β分别取1或0时，式（7）即变为软阈值和硬阈值方法。当0<β<1时，由上式得到的小波系数 介于硬阈值和软阈值之间，因此，该方法称为软、硬折衷阈值法。

该表达式不仅看上去非常简洁，而且有相当不错的去噪效果。由于软阈值方法估计出来的 ，当 时，即 和Wj，k之间存在恒定的偏差，因此有必要减小此偏差；然而，如果将此偏差减小到零，即变为硬阈值方法，但是这种方法也不是最好的，因为 本身就是由uj，k和vj，k组成的，所以将 值限定在 之间有可能会使得估计出来的小波系数 ，更接近真实的信号小波系数uj，k。折中法阈值函数有效的解决了传统软硬阈值存在的不足，改善了去噪性能[7]。

3 阈值选取需注意的地方

阈值选取的好坏直接影响着图像去噪后的效果，如果阈值选取的过大，则在去除噪声的同时，也去除了一部分图像的小波系数，使重构后的图像信息损失过大，不能很好的恢复出图像的本质信息；如果阈值选取过小，则在较大程度的保留图像小波系数的同时，也保留了大部分的噪声信息，经小波重构后的图像还是含有很大强度的噪声，对后续的图像处理会带来不利的影响；因此，怎样选取合适的阈值，是阈值去噪算法研究的重点[8]。目前，阈值的选取主要分为全局阈值和局部阈值，全局阈值是指对不同尺度上的所有小波系数或者同一层次中的小波系数采用相同的阈值进行处理，这种方法会“过扼杀”小波系数；局部阈值是考虑到某一点或某一局部区域的小波系数特点，灵活判断出是由图像还是噪声产生的小波系数，以自适应的选取合适的阈值，达到最大限度的保留图像信息和去除噪声的目的。

4 结束语

基于小波变换的阈值去噪方法是实现最简单、计算量最小的一种去噪方法，因此得到广泛的应用。然而关键的问题是阈值和阈值函数的选取，阈值是和噪聲方差紧密相关的，对噪声方差估计的精度直接影响着去噪的效果，同时能否选取合适的阈值函数也是去噪效果好坏的一个重要方面。虽然在理论上证明并且找到了最优的通用阈值，然而在实际应用中，其去噪效果不是特别理想，如何根据具体情况选取合适的阈值，仍是今后研究的重点。

[参考文献]

[1]张娜.图像显示中的色彩空间转换研究与实现[D].上海交通大学，2007.

[2]黄玉昌，侯德文.基于改进小波阈值函数的指纹图像去噪[J].计算机工程与应用，2014（6）：179-181.

[3]李伟.基于小波变换的图像去噪方法[J].数字通信，2010（1）：80-84.

[4]Sardy S，Tseng P，Bruce A.Robust wavelet denoising[J].IEEE Trans on Signal Processing，2001，49（6）：1146-1152.

[5]高雪娟，高占国.图像小波阈值去噪算法研究[J].电光与控制，2007，14（6）：148-151.

[6]阮秋琦.数字图像处理学[M].第二版.北京.电子工业出版社.2007.

[7]邵鸿翔，高宏峰.改进小波阈值去噪方法处理FBG传感信号[J].2014，44（1）：73-76.

[8]王绪四.基于小波与轮廓波变换的改进图像去噪算法研究[D].湘潭大学，2012.