E类保序严格部分一一变换半群的极大逆子半群

龙伟锋，游泰杰

（贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵阳550001）

0 引 言

设［n］＝｛1，2，…，n｝并赋予自然序，Singn和Pn分别表示［n］上的奇异变换半群和部分变换半群.对α∈Pn，若对于任意的x，y∈dom（α），x≤y蕴含xα≤yα，则称α为保序部分变换.设POn为Pn中除恒等变换外所有保序部分变换构成的集合，则POn是Pn的子半群［1］，称为保序部分变换半群.记On＝POn∩Singn，则On是POn的子半群［1］，称为（奇异）保序变换半群.令In表示［n］上的对称逆半群.设α∈In，若对任意的x，y∈dom（α），x≤y蕴含xα≤yα，则称α为保序部分一一变换.记POIn为In中除恒等变换外的所有保序部分一一变换构成的集合，则POIn是In的一个逆子半群［2］，称为保序（严格）部分一一变换半群.

目前，对具有保序性质变换半群极大子半群的研究已有很多结果［3－7］.文献［3］给出了保序变换半群On的具有某种性质的极大子半群；文献［4］刻画了有限保序部分一一变换半群极大逆子半群的完全分类；文献［5］讨论了奇异保序变换半群的极大正则子半群；文献［6］给出了有限部分保序变换半群POn的具有某种性质的极大子半群；文献［7］研究了保序部分变换半群POn的极大子半带.

文献［8］引入了保E＊关系部分一一变换半群.设X为有限集合，E为X 上的等价关系，且IX为X上的对称逆半群.令

IE＊（X）＝ ｛f∈IX：对任意的x，y∈dom（f），（x，y）∈E当且仅当（f（x），f（y））∈E｝，则IE＊（X）为IX的逆子半群，称为保E＊关系部分一一变换半群.文献［8］讨论了它的Green关系与秩.本文在文献［8］与文献［4］的基础上，将保E＊关系与有序性引入到对称逆半群中，考虑一类新的半群，即E类保序严格部分一一变换半群.令X为有限集合，E为X上的等价关系，且IE＊（X）为保E＊关系部分一一变换半群.设f∈IE＊（X），任取x，y∈dom（f），若（x，y）∈E，x≥y 当且仅当（f（x），f（y））∈E，f（x）≥f（y），则称f为（X 上的）E类保序部分一一变换.令OIE＊（X）为所有X 上的E类保序严格部分一一变换之集，易验证OIE＊（X）是IE＊（X）（IX）的逆子半群，称为E类保序严格部分一一变换半群.

任取x，y∈X，若x≤y，定义［x，y］＝｛z∈X：x≤z≤y｝.对于一般情形，即对任意的有限全序集X和X上的任意等价关系，很难描述半群OIE＊（X）的结构.因此，先考虑一种特殊情形.本文总假设X＝｛1，2，…，nm｝（n≥3，m≥2）为全序集，E为X 上的等价关系，满足

其中Ai＝［（i－1）n＋1，in］，i＝1，2，…，m.对于两个变换的复合表示为gf：首先作用f，然后作用g.

设S是OIE＊（X）的逆子半群.若S满足：对OIE＊（X）任意的逆子半群T，有S⊂T⇒T＝OIE＊（X），则称S是OIE＊（X）的一个极大逆子半群.本文在上述全序集与等价关系下讨论OIE＊（X）的极大逆子半群.

1 预备知识

根据文献［8］的结果，IE＊（X）的Green关系有如下刻画：fRg 当且仅当Im（f）＝Im（g），fLg 当且仅当dom（f）＝dom（g），fHg当且仅当Im（f）＝Im（g）且dom（f）＝dom（g）.

由于任意半群及其正则子半群的Green关系中R，L，H 关系是一致的，注意到OIE＊（X）是IE＊（X）的正则子半群（因为OIE＊（X）是IE＊（X）的逆子半群），则下列引理成立：

引理1 对任意的f，g∈OIE＊（X），fRg 当且仅当Im（f）＝Im（g），fLg 当且仅当dom（f）＝dom（g），fHg当且仅当Im（f）＝Im（g）且dom（f）＝dom（g）.

为叙述方便，在OIE＊（X）上引入如下二元关系.

引理2 JΔ是OIE＊（X）上的等价关系，且H⊆JΔ，L⊆JΔ，R⊆JΔ.

下面分3种情况讨论.

②i＜j.令

下证f＝ηξ.由η，ξ的定义，易验证dom（ηξ）＝dom（f），且

此外，考虑当x∈dom（f）＼Ap时，ηξ（x）＝η（f（x））＝f（x）.故f＝ηξ.

③i＞j.证明类似于②的证明.

设

①i＝j.证明类似于情形1）中①的证明.

②i＜j.令

下证f＝ηξ.由ξ，η的定义，易验证dom（ηξ）＝dom（f），且

③i＞j.证明类似于②的证明.

易知OIE＊（X）的顶端JΔ类有如下nm个L类与nm个R类：

其中1≤k≤nm.用Hij表示Rj与Li所确定的H 类Li∩Rj.注意到OIE＊（X）中元素的有序性，则OIE＊（X）的幂等元只含于Hii，且Hii中只含有唯一的幂等元（此幂等元为X＼｛i｝上的恒等变换）.

2 主要结果

定理1 设X＝｛1，2，…，nm｝（n≥2，m≥3），若（Σ，Λ）是X的一个二划分（即Σ∪Λ＝X，Σ∩Λ＝Ø），则

为OIE＊（X）的极大逆子半群.反之，对OIE＊（X）的任一极大逆子半群M，存在X的某个二划分（Σ，Λ），使得M＝M（Σ，Λ）.

证明：1）证明设X＝｛1，2，…，nm｝（n≥2，m≥3），若（Σ，Λ）是X 的一个二划分（即Σ∪Λ＝X，Σ∩Λ＝Ø），则式（1）为OIE＊（X）的极大逆子半群.

知f，g∈H（Σ，Σ）∪H（Λ，Λ）.设f∈Hij，g∈Hks（i，j，k，s∈X）.若f，g∈H（Σ，Σ），知i，j，k，s∈Σ，则易验证gf∈H（Σ，Σ）或gf∈.若f，g∈H（Λ，Λ），同理gf∈H（Λ，Λ）或gf∈.若f∈H（Σ，Σ），g∈H（Λ，Λ），由于（Λ，Σ）是一个二划分，则gh∈.若f∈H（Λ，Λ），g∈H（Σ，Σ），同理gh∈.从而M（Σ，Λ）是OIE＊（X）的一个子半群.

其次，M（Σ，Λ）为 OIE＊（X）的逆子半群.对任意的f∈M（Σ，Λ），下证f 的唯一逆元f－1∈M（Σ，Λ）.由于是OIE＊（X）的逆子半群，可设f∈H（Σ，Σ）∪H（Λ，Λ）.由对称性，不妨设f∈H（Λ，Λ），则存在i，j∈Λ，使得f∈Hij.从而f在IX中的唯一逆元f－1∈Hji⊆H（Λ，Λ）⊆M（Σ，Λ），进而 M（Σ，Λ）是OIE＊（X）的一个逆子半群.

最后，证明M（Σ，Λ）为OIE＊（X）的极大逆子半群.设S为OIE＊（X）的任一个真包含 M（Σ，Λ）的逆子半群，则存在g∉M（Σ，Λ）且g∈S∩［H（Σ，Λ）∪H（Λ，Σ）］.由对称性，不妨设g∈H（Σ，Λ），则存在k∈Σ，s∈Λ，使得g∈Hks.注意到S是OIE＊（X）的逆子半群，可知g在OIE＊（X）的唯一逆元g－1在H（Λ，Σ）中.任取f∈H（Σ，Λ），不妨设f∈Hij（i∈Σ，j∈Λ），则存在h∈Hik，t∈Hsj，使得f＝tgh.从而H（Σ，Λ）⊆H（Λ，Λ）gH（Σ，Σ）⊆S.同理可证，H（Λ，Σ）⊆H（Σ，Σ）g－1H（Λ，Λ）⊆S，因此S＝OIE＊（X）.综上所述，M（Σ，Λ）为OIE＊（X）的一个极大逆子半群.

2）证明对OIE＊（X）的任一极大逆子半群M，存在X的某个二划分（Σ，Λ），使得M＝M（Σ，Λ）.

首先，证明对OIE＊（X）的任意极大逆子半群 M，都有 Hii⊆M（i∈｛1，2，…，nm｝）.

① 若存在i∈｛1，2，…，nm｝，使得 Hii∩M＝Ø，从而 M∩Li＝Ø 且M∩Ri＝Ø.令Σ1＝｛i｝，Λ1＝X＼Σ1.显然，M（Σ1，Λ1）是OIE＊（X）的极大逆子半群.注意到 Hii⊆M（Σ1，Λ1），知 M 真包含于M（Σ1，Λ1），这与极大性矛盾，从而Hii⊆M.

其次，证明若f∈M∩Hij（i，j∈｛1，2，…，nm｝），则Hij⊆M.由于Hjj∈M，则Hij⊆Hjjf⊆M.

最后，证明对OIE＊知（X）的任一极大逆子半群 M，存在X 的某个二划分（Σ，Λ），使得M＝M（Σ，Λ）.由于幂等元只含在Hii（1≤i≤nm）中，且 Hii⊆M（i∈｛1，2，…，nm｝），故存在非幂等元f∈，但f∉M.不妨设f∈Hks，则f∈Rk.Rk中有nm个R类：Hk1，Hk2，…，Hk（nm）.注意到若f∈M∩Hij（i，j∈｛1，2，…，nm｝），则 Hij⊆M，从而对任意的 H 类Hij有Hij⊆M 或Hij∩M＝Ø（j∈｛1，2，…，nm｝）.设 在 Rk中 与 M 相 交 为 Ø 的 H 类 有q 个，记 为 Hki1，Hki2，…，Hkiq.令Λ＝｛i1，i2，…，iq｝，Σ＝X＼Λ.下 证 M ＝M （Σ，Λ）.由 M 与 M （Σ，Λ）的 极 大 性， 只 需 证 明［H（Σ，Λ）∪H（Λ，Σ）］∩M＝Ø.不妨设存在f∈M∩H（Σ，Λ），即存在i∈Σ，r∈Λ，使得f∈M∩Hir，从而Hir⊆M.由i∈Σ，则Hki⊆M.易见HirHki＝Hkr，从而Hkr⊆M，这与r∈Λ矛盾.故H（Σ，Λ）∩M＝Ø.同理可证，H（Λ，Σ）∩M＝Ø，从而［H（Σ，Λ）∪H（Λ，Σ）］∩M＝Ø.注意到（Σ，Λ）为X的一个二划分，知M（Σ，Λ）是OIE＊（X）的一个极大逆子半群.由M⊆M（Λ，Σ）且M 具有极大性，则M＝M（Λ，Σ）.

综上所述结论成立.

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